5.2.2 函数的和、差、积、商的导数(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“函数的和、差、积、商的导数”，通过质点运动距离与时间关系、商品网购支付款等实际情境导入，衔接基本初等函数导数公式，搭建从定义法到运算法则的学习支架。 其特色在于以数学眼光观察现实问题，通过题型分类（和差、积商、应用）与规律方法总结培养数学思维，结合切线问题、含f'(c)函数求导等实例提升数学语言表达能力。学生能强化运算能力与应用意识，教师可高效开展分层教学。

5.2　导数的运算 5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 第五章　导数及其应用 1 课标要求 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实 际生活中所涉及的一些函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除 运算得到的初等函数，如某质点运动，运动距离s与时间t的函数为s（t） ＝ t2＋ ；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x －ln x（x≥1）等. 【问题】　（1）由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数 该如何求导呢？ （2）除用定义法之外，是否有更简便的求导方法呢？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　函数的和、差、积、商的求导法则 1. 条件：f（x），g（x）是可导的. 2. 结论：（1）（f（x）±g（x））'＝ ⁠； （2）（Cf（x））'＝Cf'（x）（C为常数）； （3）（f（x）g（x））'＝ ⁠； （4） '＝ 　 （g（x）≠0） 　. f'（x）±g'（x）　 f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　 （g（x）≠0）　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 提醒：（1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限 个可导函数的情形（一般化），即（u（x）±v（x）±…±w（x））' ＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）；（2）函数的积的导数可以推广到有 限个函数的乘积的导数，即（u（x）v（x）·…·w（x））'＝u'（x） v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）v （x）·…·w'（x）；（3）注意（ ）'≠ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（ex＋ cos ）'＝ex. （　√　） （2）当g（x）≠0时， ＝ . （　√　） （3）函数f（x）＝xln x的导数是f'（x）＝x. （　×　） √ √ × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知f'（x）是函数f（x）＝ sin x－ sin 的导函数，则f'（ ）＝ （　　） A. － B. － C. 解析：　f（x）＝ sin x－ sin ，则f'（x）＝ cos x，故f' ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·淮安月考）曲线f（x）＝ x2＋2x在点（2，f（2））处的切 线斜率为 ⁠. 解析：因为f（x）＝ x2＋2x，所以f'（x）＝x＋2，则f'（2）＝2＋2＝4. 4 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 11 题型一　f（x）±g（x）的导数 （链接教科书第205页例2）求下列函数的导数： （1）y＝x5－x3＋ cos x； 解：y'＝（x5）'－（x3）'＋（ cos x）'＝5x4－3x2－ sin x. （2）y＝lg x－ex. 解：y'＝（lg x－ex）'＝（lg x）'－（ex）'＝ －ex. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或 差），对每一项分别利用基本初等函数的求导公式求导即可. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 求下列函数的导数： （1）y＝x4－x2－x＋3； 解：∵y＝x4－x2－x＋3，∴y'＝4x3－2x－1. （2）y＝x3＋ sin x. 解：∵y＝x3＋ sin x，∴y'＝3x2＋ cos x. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　f（x）g（x）和 的导数 （链接教科书第205页例3）求下列函数的导数： （1）y＝x2＋xln x； 解： y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）' ＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1. （2）y＝ ； 解：y'＝（ ）'＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）〔一题多解〕y＝（2x2－1）（3x＋1）. 解：法一　y'＝[（2x2－1）（3x＋1）]' ＝（2x2－1）'（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）' ＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 法二　因为y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y'＝（6x3＋2x2－3x－1）' ＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝18x2＋4x－3. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算 法则求导数. 2. 如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变 形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变 换后求导等. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 求下列函数的导数： （1）y＝x3ex； 解： y'＝（x3）'ex＋x3（ex）'＝（3x2＋x3）ex. （2）y＝x2＋tan x； 解：因为y＝x2＋ ， 所以y'＝（x2）'＋（ ）' ＝2x＋ ＝2x＋ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝ . 解：y'＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　导数四则运算法则的应用 （1）记函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝3xf'（2）－2ln x，则f（1）＝（　D　） A. 1 B. 2 C. D. 解析：∵f'（x）＝3f'（2）－ ，∴f'（2）＝3f'（2）－1，解得f'（2）＝ ，∴f（x）＝ x－2ln x，∴f（1）＝ . D 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）（2026·连云港月考）曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最 短距离是（　B　） A. B. B C. 1 D. 2 解析：设曲线y＝xln x在点M0（x0，y0）处的切线与直线x－y－2＝0平 行.∵y'＝ln x＋1，∴y＝xln x在点M0处的切线斜率为k＝ln x0＋1＝1，解 得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线x－y －2＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y －2＝0的最短距离是 . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个要素，其他 的条件可以转化为这三个要素间的关系； （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解 题时的易错点. 2. 含f'（c）函数的求导问题的解决策略 含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是 说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当 常系数处理. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 若函数f（x），g（x）满足f（x）＋xg（x）＝x2－1，且f（1）＝ 1，则f'（1）＋g'（1）＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：当x＝1时，f（1）＋g（1）＝0，由f（1）＝1，得g（1）＝－1.原式两边求导，得f'（x）＋g（x）＋xg'（x）＝2x，当x＝1时，f'（1）＋g（1）＋g'（1）＝2，得f'（1）＋g'（1）＝2－g（1）＝2－（－1）＝3.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知函数f（x）＝ x2 sin x＋x cos x，则其导函数f'（x）的部分图象大 致是（　　） 解析：　因为f（x）＝ x2 sin x＋x cos x，所以f'（x）＝（ x2＋1） cos x，所以f'（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A、B；又f' （0）＝1，故排除选项D. 故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 设函数y＝－2ex sin x，则y'＝（　　） A. －2ex cos x B. －2ex sin x C. 2ex sin x D. －2ex（ sin x＋ cos x） 解析：　y'＝－2（ex sin x＋ex cos x）＝－2ex（ sin x＋ cos x）. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知函数f（x）＝ax2＋c，且f'（1）＝2，则a＝（　　） A. 1 B. C. －1 D. 0 解析：　∵f（x）＝ax2＋c，∴f'（x）＝2ax，又∵f'（1）＝2a， ∴2a＝2，∴a＝1. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·泰州月考）曲线f（x）＝xln x在点（1，f（1））处的切线的 方程为 ⁠. 解析：f'（x）＝1＋ln x，则曲线在点（1，f（1））处切线的斜率k＝f' （1）＝1，又f（1）＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×（x－1），即x －y－1＝0. x－y－1＝0　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 求下列函数的导数： （1）〔一题多解〕f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）； 解：法一　f'（x）＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）·（2x＋2）＝3x2. 法二　∵f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8. ∴f'（x）＝3x2. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）f（x）＝ －2x. 解： f'（x）＝ －2x·ln 2＝ － 2x·ln 2＝ ＋ ln x－2xln 2. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. 下列式子不正确的是（　　） A. （3x2＋ cos x）'＝6x－ sin x B. （ln x－2x）'＝ －2xln 2 C. （2x sin x）'＝2 cos x D. （ ）'＝ 解析：　（3x2＋ cos x）'＝6x－ sin x，（ln x－2x）'＝ －2xln 2，（2x sin x）'＝2 sin x＋2x cos x， '＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 曲线y＝ 在点（1，－1）处的切线方程为（　　） A. y＝－2x＋1 B. y＝－3x＋2 C. y＝2x－3 D. y＝x－2 解析：　y＝ 的导数为y'＝－ ，在点（1，－1）处的切线斜 率k＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝ 在点（1，－1）处的切线方程为y＋1 ＝－2（x－1），即y＝－2x＋1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·扬州月考）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水 面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝ ，当t＝3时，水面下降的速度为（　　） A. － cm/s B. cm/s C. － cm/s D. cm/s 解析：　由题意得，h'（t）＝ ＝ ，所以h'（3）＝ ＝－ ，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知曲线y＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则 （　　） A. a＝e，b＝－1 B. a＝e，b＝1 C. a＝e－1，b＝1 D. a＝e－1，b＝－1 解析：　因为y'＝aex＋ln x＋1，所以y'｜x＝1＝ae＋1，所以曲线在点（1，ae）处的切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1，所以 解得 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f （x）的解析式可能为（　　） A. f（x）＝3 cos x B. f（x）＝x＋ sin x C. f（x）＝x＋ D. f（x）＝ex＋x 解析：由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3 sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋ cos x为偶函数；对于C选项，f'（x）＝1－ 为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕（2026·常州月考）已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f' （0）· cos x＋2，其导函数为f'（x），则（　　） A. f（0）＝－1 B. f'（0）＝1 C. f（0）＝1 D. f'（0）＝－1 解析：因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）· sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 设函数f（x）＝ .若f'（1）＝ ，则a＝ ⁠. 解析：由于f'（x）＝ ，故f'（1）＝ ＝ ，解得a ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 已知函数f（x）＝f'（ ）· cos x＋ sin x，则f'（ ）＝ 　 －1　，f （ ）＝ ⁠. 解析：∵f'（x）＝－f'（ ）· sin x＋ cos x，∴f'（ ）＝－f'（ ）× ＋ ，得f'（ ）＝ －1.∴f（x）＝（ －1） cos x＋ sin x.∴f（ ） ＝1. －1　 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 曲线f（x）＝ （x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积 为 ⁠. 解析：由题意可知，f'（x）＝ x·ex，f'（1）＝2，∴切线方程为y＝2 （x－1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线f （x）＝ （x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝ ×2×1＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 求下列函数的导数： （1）y＝ln x＋ ；（2）y＝ ； （3）y＝（x2＋9）（x－ ）；（4）y＝ . 解：（1）y'＝（ln x＋ ）'＝（ln x）'＋（ ）'＝ － . （2）y'＝（ ）'＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝x3＋6x－ ，y'＝3x2＋ ＋6. （4）y'＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·苏州质检）已知f（x）＝ x2＋ sin （ ＋x），f'（x）为f （x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（　　） 解析：∵f（x）＝ x2＋ sin （ ＋x）＝ x2＋ cos x，∴f'（x）＝ x－ sin x.易知f'（x）＝ x－ sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D. 由f'（ ）＝ － ＜0，排除C，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 过坐标原点O可作曲线f（x）＝x＋x cos x的切线条数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数 解析： 　f'（x）＝1＋ cos x－x sin x，设切点为A（x0，x0＋x0 cos x0）， 则在切点A处的切线方程为y－（x0＋x0 cos x0）＝（1＋ cos x0－x0 sin x0） （x－x0），即y＝（1＋ cos x0－x0 sin x0）x＋ sin x0，将（0，0）代入 得 sin x0＝0，即x0＝kπ（k∈Z），当k为偶数时，1＋ cos x0－x0 sin x0＝ 2，当k为奇数时，1＋ cos x0－x0 sin x0＝0，所以切线方程为y＝2x或y＝ 0，所以过坐标原点O作曲线f（x）＝x＋x cos x的切线条数为2，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－ 4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m ＝ ⁠. 解析：依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）处的 切线相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝2x，h' （x）＝ －4，∴ 即 ∵x0＞ 0，∴x0＝1，m＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知a为实数，函数f（x）＝ （x－a）. （1）若f'（1）＝0，求实数a的值； 解：由题意得函数的定义域为[0，＋∞）， f'（x）＝ ＋ ＝ （x＞0）. 因为f'（1）＝0，所以a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若a＝3，求函数f（x）的图象在x＝4处的切线方程. 解：当a＝3时，f（x）＝ （x－3），f'（x）＝ ， 所以f'（4）＝ ，f（4）＝2， 所以函数f（x）的图象在x＝4处的切线方程为y－2＝ （x－4），即y＝ x－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $