5.2.2 函数的和、差、积、商的导数(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦函数和差积商的导数这一核心知识点，前承基本初等函数导数公式，后接复杂函数求导应用。通过实际问题引入，以问题驱动呈现四则运算法则及推广，分题型构建学习支架，助力学生逐步掌握求导方法。 该资料以质点运动、网购支付等实际情境培养数学眼光，通过一题多解发展数学思维，规范步骤强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后练习题与综合题帮助学生查漏补缺，提升数学运算与应用能力。

5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 课标要求 　　能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数（数学运算）. 　　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及的一些函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的初等函数，如某质点运动，运动距离s与时间t的函数为s（t）＝t2＋；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x－ln x（x≥1）等. 【问题】　（1）由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？ （2）除用定义法之外，是否有更简便的求导方法呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的和、差、积、商的求导法则 1.条件：f（x），g（x）是可导的. 2.结论：（1）（f（x）±g（x））'＝　f'（x）±g'（x）　； （2）（Cf（x））'＝Cf'（x）（C为常数）； （3）（f（x）g（x））'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　； （4）'＝　（g（x）≠0）　. 提醒：（1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形（一般化），即（u（x）±v（x）±…±w（x））'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）；（2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即（u（x）v（x）·…·w（x））'＝u'（x）v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）v（x）·…·w'（x）；（3）注意（）'≠. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（ex＋cos ）'＝ex.（　√　） （2）当g（x）≠0时，＝.（　√　） （3）函数f（x）＝xln x的导数是f'（x）＝x.（　×　） 2.已知f'（x）是函数f（x）＝sin x－sin的导函数，则f'（）＝（　　） A.－ B.－ C. 解析：D　f（x）＝sin x－sin，则f'（x）＝cos x，故f'＝. 3.（2026·淮安月考）曲线f（x）＝x2＋2x在点（2，f（2））处的切线斜率为　4　. 解析：因为f（x）＝x2＋2x，所以f'（x）＝x＋2，则f'（2）＝2＋2＝4. 题型一　f（x）±g（x）的导数 （链接教科书第205页例2）求下列函数的导数： （1）y＝x5－x3＋cos x； 解：y'＝（x5）'－（x3）'＋（cos x）'＝5x4－3x2－sin x. （2）y＝lg x－ex. 解：y'＝（lg x－ex）'＝（lg x）'－（ex）'＝－ex. 规律方法 　　两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），对每一项分别利用基本初等函数的求导公式求导即可. 求下列函数的导数： （1）y＝x4－x2－x＋3； 解：∵y＝x4－x2－x＋3，∴y'＝4x3－2x－1. （2）y＝x3＋sin x. 解：∵y＝x3＋sin x，∴y'＝3x2＋cos x. 题型二　f（x）g（x）和的导数 （链接教科书第205页例3）求下列函数的导数： （1）y＝x2＋xln x； 解： y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）' ＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1. （2）y＝； 解：y'＝（）'＝＝. （3）〔一题多解〕y＝（2x2－1）（3x＋1）. 解：法一　y'＝[（2x2－1）（3x＋1）]' ＝（2x2－1）'（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）' ＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 法二　因为y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y'＝（6x3＋2x2－3x－1）' ＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝18x2＋4x－3. 规律方法 1.先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数. 2.如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. 求下列函数的导数： （1）y＝x3ex； 解： y'＝（x3）'ex＋x3（ex）'＝（3x2＋x3）ex. （2）y＝x2＋tan x； 解：因为y＝x2＋， 所以y'＝（x2）'＋（）' ＝2x＋＝2x＋. （3）y＝. 解：y'＝ ＝＝. 题型三　导数四则运算法则的应用 （1）记函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝3xf'（2）－2ln x，则f（1）＝（　D　） A.1　　　 B.2 C.　　　 D. 解析：∵f'（x）＝3f'（2）－，∴f'（2）＝3f'（2）－1，解得f'（2）＝，∴f（x）＝x－2ln x，∴f（1）＝. （2）（2026·连云港月考）曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是（　B　） A. B. C.1 D.2 解析：设曲线y＝xln x在点M0（x0，y0）处的切线与直线x－y－2＝0平行.∵y'＝ln x＋1，∴y＝xln x在点M0处的切线斜率为k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是. 规律方法 1.解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个要素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系； （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 2.含f'（c）函数的求导问题的解决策略 含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当常系数处理. 1.若函数f（x），g（x）满足f（x）＋xg（x）＝x2－1，且f（1）＝1，则f'（1）＋g'（1）＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　当x＝1时，f（1）＋g（1）＝0，由f（1）＝1，得g（1）＝－1.原式两边求导，得f'（x）＋g（x）＋xg'（x）＝2x，当x＝1时，f'（1）＋g（1）＋g'（1）＝2，得f'（1）＋g'（1）＝2－g（1）＝2－（－1）＝3.故选C. 2.已知函数f（x）＝x2sin x＋xcos x，则其导函数f'（x）的部分图象大致是（　　） 解析：C　因为f（x）＝x2sin x＋xcos x，所以f'（x）＝（x2＋1）cos x，所以f'（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A、B；又f'（0）＝1，故排除选项D.故选C. 1.设函数y＝－2exsin x，则y'＝（　　） A.－2excos x B.－2exsin x C.2exsin x D.－2ex（sin x＋cos x） 解析：D　y'＝－2（exsin x＋excos x）＝－2ex（sin x＋cos x）. 2.已知函数f（x）＝ax2＋c，且f'（1）＝2，则a＝（　　） A.1 B. C.－1 D.0 解析：A　∵f（x）＝ax2＋c，∴f'（x）＝2ax，又∵f'（1）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1. 3.（2026·泰州月考）曲线f（x）＝xln x在点（1，f（1））处的切线的方程为　x－y－1＝0　. 解析：f'（x）＝1＋ln x，则曲线在点（1，f（1））处切线的斜率k＝f'（1）＝1，又f（1）＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×（x－1），即x－y－1＝0. 4.求下列函数的导数： （1）〔一题多解〕f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）； （2）f（x）＝－2x. 解：（1）法一　f'（x）＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）·（2x＋2）＝3x2. 法二　∵f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8. ∴f'（x）＝3x2. （2）f'（x）＝－2x·ln 2＝－2x·ln 2 ＝＋ln x－2xln 2. 1.下列式子不正确的是（　　） A.（3x2＋cos x）'＝6x－sin x B.（ln x－2x）'＝－2xln 2 C.（2xsin x）'＝2cos x D.（）'＝ 解析：C　（3x2＋cos x）'＝6x－sin x，（ln x－2x）'＝－2xln 2，（2xsin x）'＝2sin x＋2xcos x，'＝. 2.曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（　　） A.y＝－2x＋1 B.y＝－3x＋2 C.y＝2x－3 D.y＝x－2 解析：A　y＝的导数为y'＝－，在点（1，－1）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1. 3.（2026·扬州月考）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（　　） A.－ cm/s B. cm/s C.－ cm/s D. cm/s 解析：B　由题意得，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. 4.已知曲线y＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（　　） A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1 C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1 解析：D　因为y'＝aex＋ln x＋1，所以y'｜x＝1＝ae＋1，所以曲线在点（1，ae）处的切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1，所以解得故选D. 5.〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝3cos x B.f（x）＝x＋sin x C.f（x）＝x＋ D.f（x）＝ex＋x 解析：BC　由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋cos x为偶函数；对于C选项，f'（x）＝1－为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故选B、C. 6.〔多选〕（2026·常州月考）已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其导函数为f'（x），则（　　） A.f（0）＝－1 B.f'（0）＝1 C.f（0）＝1 D.f'（0）＝－1 解析：BC　因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C. 7.设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝　1　. 解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1. 8.已知函数f（x）＝f'（）·cos x＋sin x，则f'（）＝　－1　，f（）＝　1　. 解析：∵f'（x）＝－f'（）·sin x＋cos x，∴f'（）＝－f'（）×＋，得f'（）＝－1.∴f（x）＝（－1）cos x＋sin x.∴f（）＝1. 9.曲线f（x）＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积为　1　. 解析：由题意可知，f'（x）＝x·ex，f'（1）＝2，∴切线方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线f（x）＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1. 10.求下列函数的导数： （1）y＝ln x＋；（2）y＝； （3）y＝（x2＋9）（x－）；（4）y＝. 解：（1）y'＝（ln x＋）'＝（ln x）'＋（）'＝－. （2）y'＝（）'＝ ＝－. （3）y＝x3＋6x－，y'＝3x2＋＋6. （4）y'＝ ＝＝. 11.（2026·苏州质检）已知f（x）＝x2＋sin（＋x），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（　　） 解析：A　∵f（x）＝x2＋sin（＋x）＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f'（）＝－＜0，排除C，故选A. 12.过坐标原点O可作曲线f（x）＝x＋xcos x的切线条数为（　　） A.1　　　 B.2 C.3　　　 D.无数 解析：B　f'（x）＝1＋cos x－xsin x，设切点为A（x0，x0＋x0cos x0），则在切点A处的切线方程为y－（x0＋x0cos x0）＝（1＋cos x0－x0sin x0）（x－x0），即y＝（1＋cos x0－x0sin x0）x＋sin x0，将（0，0）代入得sin x0＝0，即x0＝kπ（k∈Z），当k为偶数时，1＋cos x0－x0sin x0＝2，当k为奇数时，1＋cos x0－x0sin x0＝0，所以切线方程为y＝2x或y＝0，所以过坐标原点O作曲线f（x）＝x＋xcos x的切线条数为2，故选B. 13.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝　5　. 解析：依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝2x，h'（x）＝－4，∴即∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5. 14.已知a为实数，函数f（x）＝（x－a）. （1）若f'（1）＝0，求实数a的值； （2）若a＝3，求函数f（x）的图象在x＝4处的切线方程. 解：（1）由题意得函数的定义域为[0，＋∞）， f'（x）＝＋＝（x＞0）. 因为f'（1）＝0，所以a＝3. （2）当a＝3时，f（x）＝（x－3），f'（x）＝， 所以f'（4）＝，f（4）＝2， 所以函数f（x）的图象在x＝4处的切线方程为y－2＝（x－4），即y＝x－7. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $