5.1.2 第3课时 导数(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦导数的定义、几何意义及导函数，以物理学中物体运动轨迹的切线方向为情境导入，通过问题“曲线在点A处的切线斜率是什么”，搭建从具体物理现象到抽象数学概念的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于情境导入联系现实世界，培养学生用数学眼光观察问题，自我诊断与典例研析结合，通过定义辨析、几何意义应用等题型，训练数学思维的推理能力，帮助学生理解导数本质，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第3课时　导数 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的．例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同． 【问题】　如果设曲线的方程为y=f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？ 知识点　导数 1.导数的定义 设函数y=f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），若Δx无限趋近于时，比值=无限趋近于一个　　　　，则称f（x）在x=x0处　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 并称该常数A为函数f（x）在x=x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作　　　　 ．即f′（x0）=． 提醒：对导数概念的再理解：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y=f（x）在x=x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值． 2.导数的几何意义 导数f′（x0）的几何意义就是曲线y=f（x）在点　　　　　　处的切线的　　　　． 3.导函数的定义 若f（x）对于区间（a，b）内任一点都可导，则f（x）在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f（x）的导函数，记作　　　　． 提醒：函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）、导函数f′（x）之间的区别与联系：①区别：（ⅰ）f′（x0）是在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f′（x）是函数f（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在x=x0处的函数值． 【想一想】 若函数y=f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在x=x0处的导数反映了函数在区间［x0，x0＋Δx］上变化的快慢程度．（　　） （2）函数y=f（x）在x=x0处的导数值与Δx的正负无关．（　　） （3）函数在x=x0处的导数f′（x0）是一个常数．（　　） （4）函数y=f（x）在x=x0处的导数值就是曲线y=f（x）在x=x0处的切线的斜率．（　　） 2.已知函数f（x）可导，且满足 =2，则函数y=f（x）在x=3处的导数为（　　） A．－1　 　B．－2　 　C．1　 　D．2 3.（2026•常州月考）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为2x－y＋1=0，则（　　） A．f′（x0）＞0　 　B．f′（x0）＜0 C．f′（x0）=0　 　D．f′（x0）不存在 题型一　导数的概念 若函数y=f（x）在x=x0处的导数等于a，则的值为（　　） A．0　　 　B．a　　 C．2a　　 　D．3a 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.利用定义求函数在某点处的导数，其格式采用的是求过一点的切线斜率，在求解时要注意分子、分母的对应关系． 2.导数的定义式可取不同的形式，常见的有： f′（x0）=， f′（x0）=．在这里h=Δx； f′（x0）=，在这里Δx=x－x0. 设函数f（x）在x=1处的导数为2，则=　　　　． 题型二　求函数在某点处的导数 已知f（x）=x2＋2. （1）求f（x）在x=1处的导数f′（1）； （2）求f（x）在x=a处的导数f′（a）． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的改变量Δy=f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化率=； （3）求导数f′（x0）= 1.函数f（x）=在x=2处的导数为（　　） A．2　 　B．－ C．　 　D．－ 2.函数y=在x=1处的导数为　　　　． 题型三　导函数 已知y=，则y′=　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求导函数的一般步骤 （1）求Δy=f（x＋Δx）－f（x）； （2）求=； （3）求．规律方法 已知函数f（x）=x2－x．则f′（x）=　　　． 题型四　导数的几何意义及应用 （2026•苏州月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（　　） A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）－f（2） B.0＜f′（2）＜f（3）－f（2）＜f′（3） C.0＜f′（3）＜f（3）－f（2）＜f′（2） D.0＜f（3）－f（2）＜f′（2）＜f′（3） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在x=x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y=f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小． 已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x－y＋2=0，则f′（1）=（　　） A.4　　 　B．－4　 　C．－2　　 　D.2 1.设f（x）是可导函数，且=－2，则f′（x0）=（　　） A.2　 　B．－1 C.1　 　D．－2 2.（2026•连云港月考）如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，则f′（x1）与f′（x2）的大小关系是（　　） A．f′（x1）＞f′（x2）　 　B．f′（x1）＜f′（x2） C．f′（x1）=f′（x2）　 　D．不能确定 3.求f（x）=x2在x=1处的导数． 完成课后作业　第五章　5.1　5.1.2　第3课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $