5.1.1 平均变化率(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案核心内容为函数的平均变化率，通过气温日变化曲线图创设情境，提出比较不同时段气温变化的问题，引导学生从实际现象抽象出数学概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 以核心素养为导向，情境导入培养数学抽象能力，典例研析结合图象与解析式提升数学运算和推理思维，多样化习题设计帮助学生理解概念并应用，促进学生用数学眼光观察、用数学思维解决问题，提升学习效率与学科素养。

5.1.1　平均变化率 课标 要求 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义（数学抽象）． 2.体会平均变化率在实际生活中的应用（数学运算）． 　　下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图． 【问题】　（1）从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段，它的数学意义是什么？ （2）如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25 ℃，10时的气温是29 ℃，12时的气温是30 ℃，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的平均变化率 1.函数f（x）在区间［x1，x2］上的平均变化率为　　　　　　． 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　”， 或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“　　　　　”．　 提醒：对平均变化率的再理解：①函数在区间［x1，x2］上有意义；②实质：函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平均变化率只能是正数．（　　） （2）在平均变化率的定义中，自变量x的改变量Δx=x2－x1可取任意实数．（　　） （3）利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．（　　） （4）平均变化率的绝对值越大，曲线y=f（x）在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．（　　） 2.（2026•无锡月考）已知函数y=f（x）的图象如图所示．设函数y=f（x）从－1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为（　　） A．v1＞v2　 　B．v1=v2 C．v1＜v2　 　D．不能确定 3.函数f（x）=x－1－1在区间［2，3］上的平均变化率为　　　　． 题型一　平均变化率的概念 〔多选〕某物体的位移公式为s=s（t），从t0到t0＋Δt这段时间内，下列理解正确的有（　　） A．（t0＋Δt）－t0为自变量的改变量 B．t0为函数值的改变量 C．Δs=s（t0＋Δt）－s（t0）为函数值的改变量 D．为s（t）在区间［t0，Δt＋t0］上的平均变化率 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 平均变化率概念的理解 （1）要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f（x）为常数函数，则Δy=0； （2）求点x0附近的平均变化率可用表示； （3）平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同． 当函数y=f（x）的自变量x从x1变化到x2时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是（　　） A．f（x）在区间［x1，x2］上的平均变化率 B．f（x）在x1处的变化率 C．f（x）在x2处的变化率 D．f（x）在区间［x1，x2］上的变化量 题型二　由函数的图象研究平均变化率 （链接教科书第188页例1）某病人吃完退烧药后他的体温变化如图所示： （1）试分别求当x从0 min变化到20 min及x从20 min变化到30 min时体温y相对于时间x的平均变化率； （2）利用（1）的结果说明哪段时间体温变化较快？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 由函数图象求函数平均变化率的步骤 第一步：求自变量的改变量Δx=x2－x1； 第二步：借助图象求函数值的改变量Δy=y2－y1； 第三步：求平均变化率=． 函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）在下列区间上平均变化率最大的是（　　） A．［1，2］　　　　 　B．［2，3］ C．［3，4］　　　　 　D．［4，7］ 题型三　由函数解析式求平均变化率 （链接教科书第189页例3、例4）已知函数f（x）=3x2＋5，求f（x）： （1）在区间［0.1，0.2］上的平均变化率； （2）在区间［x0，x0＋Δx］上的平均变化率． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx=x2－x1； 第二步，求函数值的改变量Δy=f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率=． 已知函数f（x）=x＋，分别计算f（x）在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 1.某物体的运动方程为s（t）=1－t2，则该物体在［1，2］内的平均速度为（　　） A．2　 　B．3 C．－2　 　D．－3 2.函数y=f（x）=x2－1在区间［1，m］上的平均变化率为3，则实数m的值为（　　） A.5　 　B.4 C.3　 　D.2 3.（2026•常州月考）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间［0，2］上的平均变化率为　　　　． 完成课后作业　第五章　5.1　5.1.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $