5.1.1 平均变化率(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“函数的平均变化率”，通过气温日变化曲线图导入，引导学生从实际问题中抽象概念，衔接导数概念学习，搭建从具体到抽象的认知支架。 其特色在于以生活实例（如退烧药体温变化）培养数学抽象，结合图象与解析式强化数学运算，通过分层训练提升应用意识。学生能深化概念理解，教师可借助结构化内容高效教学。

5.1　导数的概念 5.1.1　平均变化率 第五章　导数及其应用 1 课标要求 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义（数学抽象）. 2.体会平均变化率在实际生活中的应用（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【问题】　（1）从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段， 它的数学意义是什么？ （2）如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是 25 ℃，10时的气温是29 ℃，12时的气温是30 ℃，那么如何比较从6时到10 时与从10时到12时气温变化的大小？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　函数的平均变化率 1. 函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为 ⁠. 2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度 是平均变化率的“ ⁠”. 提醒：对平均变化率的再理解：①函数在区间[x1，x2]上有意义；②实 质：函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比. 　 数量化　 视觉化　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平均变化率只能是正数. （　×　） （2）在平均变化率的定义中，自变量x的改变量Δx＝x2－x1可取任意实 数. （　×　） （3）利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是 “粗糙不精确的”. （　√　） （4）平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f（x）在相应区间上越“陡 峭”，反之亦然. （　√　） × × √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·无锡月考）已知函数y＝f（x）的图象如图所示.设函数y＝f （x）从－1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的 大小关系为（　　） A. v1＞v2 B. v1＝v2 C. v1＜v2 D. 不能确定 解析：记v1＝ ＝tan α1，v2＝ ＝tan α2，由图易知α1＜α2，所以v1＜v2.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 函数f（x）＝x－1－1在区间[2，3]上的平均变化率为 ⁠. 解析：函数f（x）＝x－1－1在区间[2，3]上的平均变化率为 ＝－ . － 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 11 题型一　平均变化率的概念 〔多选〕某物体的位移公式为s＝s（t），从t0到t0＋Δt这段时间 内，下列理解正确的有（　　） A. （t0＋Δt）－t0为自变量的改变量 B. t0为函数值的改变量 C. Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）为函数值的改变量 D. 为s（t）在区间[t0，Δt＋t0]上的平均变化率 解析：由自变量的改变量、函数值的改变量、平均变化率的概念易得A、C、D正确. √ √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 平均变化率概念的理解 （1）要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f （x）为常数函数，则Δy＝0； （2）求点x0附近的平均变化率可用 表示； （3）平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均 变化率也不同. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 当函数y＝f（x）的自变量x从x1变化到x2时，函数值的增量与相应自变 量的增量之比是（　　） A. f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率 B. f（x）在x1处的变化率 C. f（x）在x2处的变化率 D. f（x）在区间[x1，x2]上的变化量 解析：　由平均变化率的定义知：当函数y＝f（x）的自变量x从x1变化 到x2时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x1，x2]上 的平均变化率，故选A. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　由函数的图象研究平均变化率 （链接教科书第188页例1）某病人吃完退烧药后他的体温变化如图所 示： 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （1）试分别求当x从0 min变化到20 min及x从20 min变化到30 min时体温y 相对于时间x的平均变化率； 解：当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 ＝－0.025（℃/min）. 当时间x从20 min变到30 min时体温y相对于时间x的平均变化率为 ＝－0.05（℃/min）. （2）利用（1）的结果说明哪段时间体温变化较快？ 解：由（1）知｜－0.05｜＞｜－0.025｜，故体温从20 min到30 min这段 时间下降得比0 min到20 min这段时间要快. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 由函数图象求函数平均变化率的步骤 第一步：求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步：借助图象求函数值的改变量Δy＝y2－y1； 第三步：求平均变化率 ＝ . 规律方法 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）在下列区间上平均变化率最 大的是（　　） A. [1，2] B. [2，3] C. [3，4] D. [4，7] √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　函数f（x）在区间上的平均变化率为 ，由函数f（x）的图象 可得，在区间[4，7]上， ＜0，即函数f（x）在区间[4，7]上的平均变 化率小于0.在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时， ＞0且Δx相同，故只 需找Δy最大的即可，由f（x）的图象可知，函数f（x）在区间[3，4]上 的Δy最大，故函数f（x）在区间[3，4]上的 最大，所以函数f（x）在 区间[3，4]上的平均变化率最大.故选C. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　由函数解析式求平均变化率 （链接教科书第189页例3、例4）已知函数f（x）＝3x2＋5，求f （x）： （1）在区间[0.1，0.2]上的平均变化率； 解：因为f（x）＝3x2＋5， 所以函数f（x）在区间[0.1，0.2]上的平均变化率为 ＝ ＝0.9. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率. 解：f（x0＋Δx）－f（x0） ＝3（x0＋Δx）2＋5－（3 ＋5） ＝3 ＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3 －5 ＝6x0Δx＋3（Δx）2. 函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝6x0＋3Δx. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率 ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 已知函数f（x）＝x＋ ，分别计算f（x）在自变量x从1变到2和从3变到 5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快. 解：自变量x从1变到2时，函数f（x）的平均变化率为 ＝ ＝ ； 自变量x从3变到5时，函数f（x）的平均变化率为 ＝ ＝ . 因为 ＜ ，所以函数f（x）＝x＋ 在自变量x从3变到5时函数值变化得 较快. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 某物体的运动方程为s（t）＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度 为（　　） A. 2 B. 3 C. －2 D. －3 解析：　 ＝ ＝－3. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 函数y＝f（x）＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m 的值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析：　根据题意，函数f（x）＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率 为 ＝ ＝m＋1，则m＋1＝3，解得m＝2. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·常州月考）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0， 2]上的平均变化率为 ⁠. 解析：由折线图可知当x＝0时y＝1.5，当x＝2时，y＝3，所以在[0，2] 上的平均变化率为 ＝ . ​ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 27 1. 已知函数f（x）＝x2＋1，则当x由2变到2.1时，函数值的改变量为 （　　） A. 0.40 B. 0.41 C. 0.43 D. 0.44 解析：　Δy＝f（2.1）－f（2）＝2.12＋1－（22＋1）＝4.41－4＝0.41，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析：　 ＝ ＝ ＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·苏州月考）函数f（x）＝x2＋2c（c∈R）在区间[1，3]上的 平均变化率为（　　） A. 2 B. 4 C. 2c D. 4c 解析：　∵f（x）＝x2＋2c，∴该函数在区间[1，3]上的平均变化率为 ＝ ＝ ＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 正方体的棱长从1增加到2时，正方体体积的平均膨胀率为（　　） A. 8 B. 7 C. D. 1 解析：　设正方体的棱长为a，则V＝a3，则正方体的棱长从1增加到2 时，正方体体积的平均膨胀率为 ＝ ＝7，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 对于以下四个函数，在区间[1，1.3]上函数的平均变化率最大的是 （　　） A. y＝x B. y＝x2 C. y＝x3 D. y＝ 解析：　A中，函数y＝x，则Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.3；B中，函 数y＝x2，则Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.69；C中，函数y＝x3，则Δy＝f （1.3）－f（1）＝1.197；D中，函数y＝ ，则Δy＝f（1.3）－f（1） ≈－0.23.所以平均变化率最大的是C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t ＝ ，f（x）在[t，6]上的平均变化率为 ⁠. 解析：因为函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所 以 ＝ ＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而 t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2（舍去）.所以f（x）在[t，6]上的平 均变化率为 ＝ ＝ ＝10. 5 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. （2026·南通月考）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在 时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为 ， ， ，则 三者的大小关系为 （用“＜”连接）. 解析：由平均变化率的几何意义知： ＝kOA， ＝kAB， ＝kBC，由图 象知：kOA＜kAB＜kBC，即 ＜ ＜ . ＜ ＜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位： mg/mL）来表示，它是关于时间t（单位：min）的函数，表示为c＝c （t），下表给出了c（t）的一些函数值： t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c（t） 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 则此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化率为 ⁠ mg/（mL·min）. 解析：易得此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化 率为 ＝ ＝－0.002（mg/（mL·min））. － 0.002　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知正弦函数y＝ sin x在区间 和 上的平均变化率分别为 k1，k2，则k1，k2的大小关系为 ⁠. 解析：函数y＝ sin x在 上的平均变化率为k1＝ ＝ ＝ . 函数y＝ sin x在 上的平均变化率k2＝ ＝ ＝ ，∵ ＞ ，∴k1＞k2. k1＞k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车 从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试判断哪辆车的刹 车性能好？ 解：甲车速度的平均变化率为 ＝－5（m/s2）.乙车速度的平均变化率 为 ＝－4.5（m/s2），平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车 后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·扬州月考）A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关 的用电量W1（t），W2（t）与时间t（天）的关系如图所示，则一定有 （　　） A. 两机关节能效果一样好 B. A机关比B机关节能效果好 C. A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用 电量在[0，t0]上的平均变化率大 D. A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都 小于0，由平均变化率的几何意义知，在[0，t0]上A机关用电量的平均变 化率小于B机关用电量的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法中 正确的是 .（填序号） ③ ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范围内， 甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于 乙的平均速度；④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝ ，故①②错误；在t0 到t1范围内，甲的平均速度为 ，乙的平均速度为 .因为s2－s0＞s1 －s0，t1－t0＞0，所以 ＞ ，故③正确，④错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 圆柱形容器，其底面直径为2 m，高度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s 的速率放出，则液面高度的平均变化率为 m/s. 解析：设放出液体t秒后的液面高度为y m，则π·12·y＝π·12×1－ 0.01t，∴y＝1－ t，则液面高度的平均变化率为 ＝ ＝－ （m/s），故液面高度的平均变化率为－ m/s. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝ sin t，t∈ ［0， ］. （1）分别求s（t）在区间［0， ］和［ ， ］上的平均速度； 解：物体在区间［0， ］上的平均速度为 ＝ ＝ ＝ . 物体在区间［ ， ］上的平均速度为 ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：由（1）可知 － ＝ ＞0，所以 ＜ .作出函数s（t）＝ sin t在［0， ］上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝ sin t在［0， ］上随着t的增大，函数值s（t）变化的越来越慢. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $