4.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦等差数列前n项和公式，通过唐代张南史《花》的字数问题情境导入，引导学生观察数列特征，衔接已学的等差数列定义与通项公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以文化情境激发学习兴趣，通过倒序相加法推导公式培养数学抽象能力，设计直接应用、求基本量、实际应用等分层题型，结合母题探究与跟踪训练，提升学生数学运算与建模素养，助力理解公式本质与灵活应用。

4.2.3　等差数列的前n项和 课标 要求 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系（数学抽象、数学运算）． 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题（数学建模、数学运算）． 第1课时　等差数列的前n项和公式 　　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　花． 深浅，　　　　　芬葩． 凝为雪，　　　　错为霞． 莺和蝶到，　　　苑占宫遮． 已迷金谷路，　　频驻玉人车． 芳草欲陵芳树，　东家半落西家． 愿得春风相伴去，一攀一折向天涯． 【问题】　从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等差数列的前n项和 1.数列的前n项和：对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn． 2.等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 公式 Sn=　　　　　 Sn=　　　　 提醒：（1）推导等差数列{an}的前n项和公式Sn=的方法称为倒序相加法，再将an=a1＋（n－1）d代入，得到公式Sn=na1＋d； （2）等差数列{an}的求和公式Sn=与梯形面积公式S梯形=类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n”．　 【想一想】 Sn=na1＋d（d≠0）与二次函数有什么关系？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．（　　） （2）若数列{an}的前n项和Sn=kn（k∈R），则{an}为常数列．（　　） （3）等差数列的前n项和等于其首项、第n项的等差中项的倍．（　　） 2.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=－2，则前10项和S10=（　　） A．－20　 　B．－40　　 C．－60　　　 　D．－80 3.已知数列{an}为等差数列，若a1=15，a5=25，则S5=　　　　． 4.等差数列{an}中，若a1=－1，S25=30，则公差d=　　　　． 题型一　等差数列前n项和公式的直接应用 （链接教科书第149页例1）已知数列{an}为等差数列． （1）若a1=3，a30=97，求S30； （2）若a1=80，d=－2，求S60； （3）若a25=12，求S49． （4）若a1=，an=－，Sn=－5，求n和d； （5）若a5＋a10=58，a4＋a9=50，求S10． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　当已知首项、末项和项数时，用公式Sn=较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式Sn=na1＋d较为简便．在运用公式Sn=时，注意结合等差数列的性质．　 　已知数列{an}中，a1=1，an=an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　　　　． 题型二　利用等差数列前n项和公式求基本量 （链接教科书第149页例2）（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=45，a5=7，则该数列的公差为（　　） A．－5　 　B．5 C．－3　 　D．3 （2）若a1＋a2＋a3＋a4=40，an－3＋an－2＋an－1＋an=80，Sn=210，求n． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 等差数列前n项和有关的基本计算方法与技巧 （1）公式法（基本量法）：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题； （2）性质法：等差数列前n项和Sn=与等差数列性质“若m＋n=p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an=ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性． 提醒：解题时要注意整体代换的思想． 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　） A．1　 　B．2 C．4　 　D．8 2.（2026•周口质检）在4和67之间插入一个n项的等差数列后，组成一个n＋2项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为　　　　． 题型三　等差数列前n项和Sn的应用 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2－30n． （1）求a1及an； （2）判断这个数列是否是等差数列． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 （变条件）若将本例中“Sn=2n2－30n”改为“Sn=－2n2＋n＋2”，试解决下列问题： （1）求{an}的通项公式； （2）判断{an}是否为等差数列． 规律方法 1.由Sn求通项公式an的步骤 （1）当n=1时，a1=S1； （2）当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an=Sn－Sn－1； （3）如果a1也满足当n≥2时，an=Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an=Sn－Sn－1，否则数列{an}的通项公式要分段表示为an= 2.由Sn判断{an}是否为等差数列的方法 若Sn是关于n的二次多项式，且无常数项（即常数项为0），即满足Sn=An2＋Bn的数列是等差数列．在求解选择题、填空题时可以运用Sn=n2＋（a1－）n来快速求解． 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 1.已知等差数列{an}，若a2=10，a5=1，则{an}的前7项的和是（　　） A．112　 　B．51　 　C．28　 　D．18 2.Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=2，S3=15，则a4=（　　） A．5　 　B．8　　 C．11　 　 D．13 3.（2026•珠海月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则数列{an}的公差d=　　　　． 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=－1，S3=3. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn． 完成课后作业　第四章　4.2　4.2.3　第1课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $