第4章 04-第2课时 等差数列的前n项和的性质及综合应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质、函数特征及综合应用，通过复习等差数列定义与前n项和公式导入，以题组形式搭建从基础性质（如S₃,S₆-S₃,S₉-S₆成等差）到函数特征（Sn二次函数求最值）再到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分层设计练习（基础、能力、创新），融入数学文化（高斯倒序相加、《九章算术》问题）与实际情境（报告厅座位、糖果分配），培养学生用数学眼光发现数量关系，用数学思维推理性质与最值，用数学语言表达模型。学生能提升应用与创新能力，教师可借助丰富题组优化教学。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.2　等差数列 4.2.3　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列的前n项和的性质及综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　等差数列前n项和的性质及其应用 1.[2026湖南永州道县敦颐高级中学开学考试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3 =3,S6 =10,则S9=         （　　 　） A.13　　　    B.17　　　    C.21　　　    D.23     C     解析　由等差数列前n项和的性质可得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,所以2(S6-S3)=S3+S9-S6,所以S9=21. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏苏州第十中学校阶段检测]设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若 = ,则 =  （　　 　） A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.2     A     解析    解法一: = = = = =  点拨:若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则 =   , 故A正确. 解法二:由题意得 = = = = = = ,故A正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北石家庄正定中学开学考试]设Sn是等差数列{an}的前n项和,Tn是数列 的前n项和.若S4=1 2,S8=40,则T12等于 （　　 　） A.49　　　    B.50　　　    C.51　　　    D.52     C     解析　设等差数列{an}的公差为d, 因为S4=12,S8=40, 所以 解得  所以Sn= + ×1= ,所以 = , 所以T12= ×(3+4+…+14)= × =51. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026福建漳州三中月考]已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且 = ,n∈ N*,则下列结论正确的有 (　　　　) A.数列 是递增数列 B. =  C.使 为整数的正整数n的个数为0 D. 的最小值为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, = = =2- ,易知数列 是递增数列,故A正确; 对于B,不妨令an=k(2n+1),bn=k(n+1),k≠0,则S7= = =63k,T5= = =20k, 所以 = ,故B错误; 对于C,由 =2- 可知,当n∈N*时,无论n为何值, 均不为整数,故C正确; 对于D,因为{an}和{bn}都是等差数列,且前n项和分别为Sn和Tn, 所以 = = = =2 ≥ ,所以 随n的增大而增大,所以当n=1时,  取得最小值,为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026天津第三中学月考]等差数列{an}共(2n+1)项,且奇数项的和为165,偶数项的和为150,则n=_____.     10 解析　设等差数列{an}的公差为d, 奇数项的和为a1+a3+…+a2n+1=(n+1)·a1+ ·2d=(n+1)(a1+nd)=165①, 偶数项的和为a2+a4+…+a2n=n(a1+d)+ ·2d=n(a1+nd)=150②, 由①-②,得a1+nd=15,代入②式,可得n×15=150,解得n=10. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　等差数列前n项和的函数特征及其应用 6.[2025江苏淮安期中]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a5+a7=6,S7=-7,则当Sn取最小值时,n的值为  （　　 　） A.3　　　    B.4　　　    C.5　　　    D.6     B     解析　设等差数列{an}的公差为d, 由题意及等差数列的性质可得3a5=6,解得a5=2, 易知S7= = =-7,解得a4=-1,所以d=a5-a4=3, 所以an=a4+(n-4)×3=-1+3n-12=3n-13,令an≥0,解得n≥ ,又n∈N*, 所以等差数列{an}的前四项为负数,从第五项开始为正数,所以当Sn取得最小值时,n的值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026重庆南开中学期中]已知等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值,且a13+3a15<0,a14a15<0,则Sn取得最 小正值时,n= （　　 　） A.1　　　    B.27　　　    C.28　　　    D.29     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值, 所以{an}的公差d<0, 由a14a15<0,可得a14>0,a15<0,所以数列{an}是首项a1>0,d<0的等差数列, 因为a13+3a15=a13+a15+2a15=2a14+2a15<0, 所以a14+a15<0, 则S27= =27a14>0, S28= = <0, 因此0<S1<S2<S3<…<S14,S14>S15>S16>…>S27>0>S28>…, 因为S27-S1=a2+a3+…+a26+a27=13(a14+a15)<0, 所以S27<S1, 则Sn取得最小正值时,n=27. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026江苏无锡玉祁高级中学月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a5=-4,S5=-40,则  (　　　　) A.a10=6 B.S10=-30 C.当且仅当n=6时,Sn取最小值 D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d,由a5=-4,S5=-40, 得 解得  所以an=2n-14,Sn= =n2-13n,则a10=6,S10=-30,A,B正确; 因为Sn=n2-13n= - ,所以当n=6或n=7时,Sn取得最小值,C不正确; 因为a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,所以a5+a6+a7+a8+a9+a10=6≠0,D不正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026江苏苏州昆山柏庐高级中学段考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=0,S15=25,则　      （　　　　 　） A.a5=0　　　     B.{Sn}中S5的值最小 C.当Sn<0时,n的最大值为9　　　     D.数列 的前10项和为-15     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d, 则 解得  所以an=-3+(n-1)× = - ,Sn= = n2- n. 对于A,a5= - =- ≠0,故A错误. 对于B,Sn= n2- n= (n-5)2- ,由二次函数的性质可知(Sn)min=S5=- ,故B正确. 对于C,令 n2- n<0,解得0<n<10,所以n的最大值为9,故C正确. 对于D,因为 = n- ,所以 是首项为-3,公差为 的等差数列,所以 的前10项和为10×(-3)+  × =-15,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025河南新乡联考]数列{bn}满足b1= ,bn+1=2- ,数列{an}满足an= ,n∈N*. (1)证明数列{an}是等差数列,并求其通项公式; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn是否存在最小值?若存在,求Sn的最小值及取得最小值时n的值;若不存 在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为bn+1=2- ,所以bn+1-1=1- = , 因为an= ,所以an+1= = , 所以an+1-an= - = =2, 因为b1= , 所以a1= =-5, 所以数列{an}是首项为-5,公差为2的等差数列, 所以an=-5+2(n-1)=2n-7. (2)Sn存在最小值. 易得Sn=n· =n· =n2-6n=(n-3)2-9, 由二次函数的性质可知当n=3时,Sn取得最小值,为S3=-9. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　等差数列前n项和的实际应用 11.[2025安徽合肥一中期末]《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作,书中有如下问题:“今 有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共出百钱,欲令高爵出少,以次渐多,问各几何?”意思是: “有大夫、不更、簪袅、上造、公士(爵位由高到低排列)5个人共出100钱,按照爵位从高到低每人所 出钱数成递增的等差数列,这5个人各出多少钱?”在这个问题中,若上造与公士共出52钱,则簪袅比大 夫多出 （　　 　） A.4钱　　　     B.8钱 C.10钱　　　    D.12钱     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设5人(爵位由高到低排列)所出的钱数依次为a1,a2,a3,a4,a5,该等差数列的公差为d(d>0), 依题意,a4+a5=52,a1+a2+…+a5=100,所以 解得  因此a3-a1=2d=8,即簪袅比大夫多出8钱. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏连云港期中调研]某校报告厅第一排有22个座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有 60个座位,则这个报告厅共有___________个座位.     820     解析　设报告厅每排的座位个数成等差数列{an},则首项a1=22,公差d=2,则an=2n+20, 令2n+20=60,得n=20, 所以这个报告厅共有 = =820个座位. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏苏州实验中学期中]王老师把100个糖果分给5个人,每人所得糖果个数成等差数列,且较多 的三份之和的 是较少的两份之和,则最少的一份糖果的个数为__________.     10     解析    设5个人分得的糖果个数从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5,公差为d, 所以  则  所以 可得  第1讲　描述运动的基本概念 题组四　与等差数列有关的数列求和 14.[2026江苏苏州期中]已知数列{an}中a1=1,a2=2,且满足an+2-an=1-(-1)n,则{an}的前30项和S30= （　　 　） A.225　　　    B.30 C.255　　　    D.285     C     解析　当n为奇数时,an+2-an=2,a1=1,此时an=n; 当n为偶数时,an+2-an=0,a2=2,此时an=2, 所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)= +2×15=255. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[多选题][2026江苏南京金陵中学期末]数列{an}满足 =2n+1(n∈N*),记数列{an-20}的 前n项和为Sn,则 (　　　　) A.an=2n+2 B.Sn=n2-19n C.数列{an}的前n项和为n2-17n D.Sn的最小值为-72     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由 =2n+1,得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1①, 当n=1时,a1=1×21+1=4;当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n②, 由①-②,得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,解得an=2(n+1), 当n=1时,a1=4满足上式, 所以an=2n+2(n∈N*),故A正确; 对于B,Sn=a1-20+a2-20+…+an-20=a1+a2+…+an-20n = -20n=n2-17n,故B错误; 对于C,数列{an}的前n项和为n2+3n,故C错误; 对于D,an-20=2n-18,当an-20<0时,n<9,当an-20>0时,n>9,且a9-20=0, 故当n=8或n=9时,{an-20}的前n项和Sn取得最小值,为S8=S9=82-17×8=-72,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025江苏镇江中学期中]记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=-15,且a1,a3,-a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式以及Sn取最小值时n的值; (2)求数列{|an|}的前16项和T16. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意得 即 解得a1=-7,d=2,所以an=2n-9,易知{an}为递增数列, 由 可得 解得 ≤n≤ , 又因为n∈N*,所以n=4,即n≤4时,an<0;n>4时,an>0,所以当n=4时,Sn取得最小值. (2)由(1)可知,a1,a2,a3,a4均为负数,且从a5开始,后面每一项均为正数, 故T16=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+a16 =(7+5+3+1)+(1+3+…+23)=16+ =16+144=160,故数列{|an|}的前16项和T16=160. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025江苏盐城期中]已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81. (1)求a1,a2,a3; (2)是否存在一个实数λ,使得数列 为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由; (3)已知数列{bn}满足bn=log2 ,n∈N*,其前n项和为Sn,求S62. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由an=2an-1+2n-1(n≥2),得a4=2a3+24-1=81,解得a3=33,同理可得a2=13,a1=5. (2)假设存在实数λ符合题意, 则 - 必是与n无关的常数, 易得 - = = =1- , 所以 =0,即λ=-1. 故存在实数λ,使得数列 为等差数列,λ=-1. (3)由(2)知数列 是等差数列,其首项为2,公差为1, 所以 =2+(n-1)×1=n+1,所以an=(n+1)·2n+1, 第1讲　描述运动的基本概念 则bn=log2 =log22n+log2 =n+log2 , 所以S62= +log2  × × ×…× ×  =31×63+log2 =1 953-5=1 948. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.2　等差数列 4.2.3　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列的前n项和的性质及综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　等差数列前n项和的性质 1.[2025河南部分名校联考]设Sn是等差数列{an}的前n项和,若 = ,则 = （　　 　） A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      A     解析　由题意得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,因为 = ,所以S8= S4,所以S8-S4= S4,(S8-S4)-S4= S4, 则数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项, S4为公差的等差数列, 则S12-S8=2S4,S16-S12= S4,所以S12= S4,S16=7S4,所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通海门中学月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若3S5-5S3=1,则5S7-7S5= （　　 　） A. 　　　    B.1　　　    C. 　　　    D.      D     解析    解法一:设等差数列{an}的公差为d,由3S5-5S3=1,得3(5a1+10d)-5(3a1+3d)=1,所以d= , 则5S7-7S5=5(7a1+21d)-7(5a1+10d)=35d= = . 解法二:因为{an}是等差数列,所以 也是等差数列, 由3S5-5S3=1,得 - = ,所以 - = ,即5S7-7S5= = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025江苏连云港期末]已知公差为d的等差数列{an}的前m(m为奇数)项的和为99,其中偶数项 之和为44,且a1-am=16,则(　　　　) A.m=9　　　    B.a5=13 C.d=-2　　　    D.a6=11     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得前m项中奇数项的和为99-44=55, 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则前m项中奇数项的和S奇=  ,前m项中偶数项的和S偶=  , 因此 = = = ,解得m=9,A正确; 易得S奇-S偶=  -  = =11,又m=9,所以a5=11,B错误; d= =- =-2,C正确; a6=a5+d=11-2=9,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100=___________.     101     解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知,Sm=135,前m项中偶数项的和S偶=63,∴奇数 项的和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+ = = =72-63=9, ∵Sm= =135,∴m=15, 又∵am-a1=14,∴a1=2,d= = =1,∴a100=a1+99d=101. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　等差数列前n项和的函数特征 5.[多选题][2026江苏镇江期中]已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10<S8<S9,则下列 说法正确的是 （　　　　 　） A.当n=9时,Sn最大 B.使得Sn<0成立的n的最小值为18 C.|a8+a9|>|a10+a11| D.数列 中的最小项为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,得 所以 所以 故当n=9时,Sn最大,故A正确; 由S10<S8<S9,得a9+a10<0,所以a8+a11<0, 故a10+a11-(a8+a9)=4d<0,a10+a11+a8+a9<0,所以|a8+a9|<|a10+a11|,故C错误; 由上述分析可得a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…, 故S17= =17a9>0,S18= =9(a9+a10)<0, 当n≤17时,Sn>0,当n≥18时,Sn<0,所以使得Sn<0成立的n的最小值为18,故B正确; 易知当n≤9或n≥18时, >0,当9<n<18时, <0, 由0>a10>a11>…>a17,S10>S11>S12>…>S17>0,可知 中的最小项为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江苏宿迁如东高级中学段考]已知等差数列{an}满足2a7=5a11>0,数列{bn}满足bn=  (n∈N*),数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则 （　　　　 　） A.{an}为递减数列 B.当n=13时,Sn取得最大值 C.{bn}没有最大项 D.当n=11时,Tn取得最大值     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d. 对于A,由2a7=5a11, 可得2a1+12d=5a1+50d,得a1=- d, 由2a1+12d>0,得2 +12d>0,解得d<0,所以{an}为递减数列,故A正确; 对于B,Sn=na1+ d=- dn+ dn2- dn= dn2- dn,其图象开口向下,对称轴方程为n= =13 , 因为n为正整数,所以当n=13时,Sn取得最大值,故B正确; 对于D,bn=  =  第1讲　描述运动的基本概念 =  =  = · , 当n≤11时,bn= · >0, 当n=12时,b12= · = <0, 当n=13时,b13= · =- >0, 第1讲　描述运动的基本概念 当n≥14时,bn= · <0, 因为b12+b13= - = <0, 所以当n=11时,Tn取得最大值,故D正确; 对于C,令3n-38=t,则bn= · = · = · , 易知函数y= · (d<0)在(-∞,-3),(-3,0)上单调递增, 所以当n≤11时,数列{bn}单调递增,此时b11= · = 是最大项, 因为b11-b13= + = >0,所以b11>b13, 结合当n=12或n≥14时,bn<0,可得b11是数列{bn}的最大项,故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏连云港海头高级中学月考]已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若 = ,则  =_________. 解析　由题意可设Sn=(3n-2)kn,Tn=(2n+7)kn,则2a7-a9=2(S7-S6)-(S9-S8)=25k, b2+b4+b9=2b3+b9=2(T3-T2)+(T9-T8)=75k, 所以 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　等差数列前n项和的综合应用 8.[2025江苏南京秦淮中学阶段检测]“中国剩余定理”又称“孙子定理”,原文如下:今有物不知其数, 三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?现有这样一个 相关的问题:已知正整数m满足五五数之剩三,将所有符合条件的正整数m按照从小到大的顺序排成一 排,构成数列{an},记数列{an}的前n项和为Sn,则 的最小值为 （　　 　） A.23　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.33     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知所有符合条件的正整数m为3,8,13,18,…,即数列{an}中的项的值为5的非负整数倍加 3, 故an=5(n-1)+3,n∈N*,∴数列{an}是以3为首项,5为公差的等差数列, ∴Sn=3n+ ·5= n2+ n, ∴ = =5n+ +1≥2 +1=23,当且仅当5n= ,即n= 时,等号成立, 当n=2时, = , 当n=3时, = > , ∴当n=2时, 取得最小值,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏苏州常熟期中]已知集合A={m|m=2k-1,k∈N*,m<80},B={n|n=3k-1,k∈N*,n<80},则集合A∩B 中所有元素的和为___________.     533     解析　对于集合A={m|m=2k-1,k∈N*,m<80},m=2k-1是正奇数, ∵2k-1<80,∴k<40.5,∴k的最大值为40,此时m=79,∴A={1,3,5,7,…,79}. 对于集合B={n|n=3k-1,k∈N*,n<80},∵3k-1<80,∴k<27,∴k的最大值为26,此时n=77,∴B={2,5,8,11,…,7 7}. 设x∈A∩B,则x=2k1-1=3k2-1,可得2k1=3k2,即k1= k2,∴k2必须是2的倍数,设k2=2t(t∈N*),则x=3×2t-1=6t-1,又 x<80,∴6t-1<80,∴t<13.5,∴t的最大值为13, ∴A∩B={5,11,17,…,77}, 这是一个首项为5,公差为6,项数为13的等差数列, 因此集合A∩B中所有元素的和为 =533. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏苏州木渎高级中学月考]已知数列{an}为等差数列,a2=11,a5=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值; (3)求数列 的前n项和Tn. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,则d= =-2, 所以数列{an}的通项公式为an=a2+(n-2)d=-2n+15. (2)由(1)知an=-2n+15,数列{an}是递减数列,令an>0,得n≤7,令an<0,得n≥8, 因此等差数列{an}的前7项均为正数,从第8项起均为负数, 所以当n=7时,Sn取得最大值,为S7= =7a4=7×7=49. (3)由(1)知  =  = = - , 所以Tn= + + +…+ =- - =- . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏徐州期中]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,3Sn=(n+2)an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{(-1)nan}的前2n项和T2n. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当n∈N*时,3Sn=(n+2)an, 当n≥2时,3Sn-1=(n+1)an-1, 两式相减得3an=(n+2)an-(n+1)an-1,即(n-1)an=(n+1)an-1, 所以 = (n≥2),所以 = , = ,……, = , 累乘得 · · ·…· = · · ·…· ,即 = , 又a1=1,所以an= (n≥2), 因为a1=1也满足上式,所以an= (n∈N*). (2)记bn=(-1)nan=(-1)n =(-1)n +(-1)n , 所以T2n=  第1讲　描述运动的基本概念 +  =  +  = +  = + =n2+n. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026湖北重点高中联考]已知数列{an}满足a1=1,a2=4, + =3. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn; (3)若λ∈R,且对任意的正整数n,都有S2n≤λ·n·2n恒成立,求λ的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当n∈N*时, + =3, 当n≥2时, + =3, 两式相减得 = , 即 = . 当n=2k-1,k∈N,且k≥2时,an= · ·…· ·a1= × ×…× ×1=n. 当n=2k,k∈N,且k≥2时,an= · ·…· ·a2= × ×…× ×4=2n. 经检验a1=1,a2=4分别符合上面这两个式子. 综上,an=  第1讲　描述运动的基本概念 (2)解法一:依题意,当n=2k-1,k∈N,且k≥2时,Sn=1+(4+3)+(8+5)+…+[2(n-1)+n]= ,且S1=a1=1也符 合该式. 当n=2k,k∈N,且k≥1时,Sn=(1+4)+(3+8)+…+[(n-1)+2n]= . 综上,Sn=  解法二:依题意,当n=2k,k∈N,且k≥1时,Sn=(1+4)+(3+8)+…+[(n-1)+2n]= . 当n=2k-1,k∈N,且k≥2时, Sn=Sn-1+an= +n= ,且S1=a1=1也符合该式. 第1讲　描述运动的基本概念 综上,Sn=  (3)由(2)得S2n= =3n2+2n, 则n∈N*时,S2n≤λ·n·2n恒成立等价于3n2+2n≤λ·n·2n恒成立,即λ≥ 恒成立,即λ≥ . 记f(n)= , 则n∈N*时, = = =  ≤ × 1+  = <1,且f(n)>0, 所以f(n)(n∈N*)单调递减,故f(n)max=f(1)= ,故λ≥ . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江苏苏州第五中学月考]已知数列{an}的前n项和Sn满足 - =1(n∈N*,n≥2),a1=1. (1)求{an}的通项公式; (2)若[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[2.1]=2,求 的值; (3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+b3+…+bn,是否存在正整数m,使得对任意正整数n,Tn> 恒成 立?若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为 - =1(n∈N*,n≥2), 所以数列{ }是以 = =1为首项,1为公差的等差数列, 则 =1+(n-1)×1=n,即Sn=n2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又a1=1满足上式,所以{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)知 = = ,当n≥2时, < =  , 则 + +…+ <1+  1- + - +…+ -  =1+  <1+ = , 当n=1时, =1< ,满足上式,所以对任意的n∈N*,都有1≤ + +…+ < , 所以 =1. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)存在正整数m,使得对任意正整数n,Tn> 恒成立. 由题及(1)知,bn= =  , 则Tn=  1- + - +…+ -   =  1-  = , 因为Tn+1-Tn=bn+1= >0,所以数列{Tn}为递增数列,则(Tn)min=T1= , 因为对任意正整数n,Tn> 恒成立,所以 < ,解得m< =674 ,又m∈N*,所以m的最大值为674, 所以存在正整数m,使得对任意正整数n,Tn> 恒成立,且m的最大值为674. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　以数学文化引入,结合函数综合考查数列知识 14.[2026黑龙江哈尔滨期中]德国数学家高斯年少成名,被誉为“数学王子”.他年幼时,在1+2+3+…+ 100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理.现有函数f(x)= ,设数列{an}满足an=f(0)+f +f +… +f +f(1)(n∈N*),若存在n∈N*使不等式n2+4n-2kan+15≤0成立,则k的取值范围是______________.     [9,+∞)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为f(x)+f(1-x)= + = +  = + =1,所以f(x)的图象关于点 中心对称. 由an=f(0)+f +f +…+f +f(1), 得an=f(1)+f +…+f +f +f(0), 两式相加得2an=n+1,所以an= . 由n2+4n-2kan+15≤0,得n2+4n-2k× +15≤0,所以k≥ = =n+1+ +2. 令g(x)=x+1+ (x≥1), 则当1≤x<2 -1时,g(x)单调递减; 第1讲　描述运动的基本概念 当x>2 -1时,g(x)单调递增. 又g(2)=2+1+ =7,g(3)=3+1+ =7,所以g(x)min=7, 故k的取值范围是[9,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 $