4.2.3 课时2 等差数列前n项和的应用课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的应用，涵盖公式、函数特征、最值问题、奇偶项关系及实际应用。通过复习公式导入，以新知探究引导学生发现前n项和的二次函数特征，逐步延伸至最值求法与性质，构建连贯知识支架。 其亮点在于融入数学眼光、思维与语言，通过卫生纸长度计算、零存整取等实例培养建模能力。推导奇偶项关系时注重逻辑推理，总结应用思路清晰。学生能提升解决实际问题能力，教师可获得系统教学资源与实例支持。

4.2.3 课时2 等差数列前n项和的应用 第4章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列前n项和的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题. 3.构造等差数列求和模型，解决实际问题. 学习目标 作者编号：32200 等差数列的前n项和公式 或 注意：两个公式都表明要求Sn必须已知n，a1，d，an中的三个. 复习回顾 … … … 作者编号：32200 根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 新知探究 … … … 作者编号：32200 一、等差数列前n项和公式的函数特征 1.公式Sn＝na1＋[n(n－1)d]可化成关于n的表达式：Sn＝ . 当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的 函数的图象上，这就是说： 等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 知识梳理 作者编号：32200 2.等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最 值， 使Sn取得最值的n由不等式组 确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最 值， 使Sn取到最值的n由不等式组 确定. 知识梳理 作者编号：32200 (2) 若，则从二次函数的角度看： 当时，有最 值； 当时，有最 值. 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值. 知识梳理 作者编号：32200 例1 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值，并指出何时取最小值. 解：(1)设等差数列的公差为d， ∵在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15， ∴， 解得， ∴an＝3n－12，n∈N*. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例1 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值，并指出何时取最小值. (2)∵a1＝－9，d＝3，an＝3n－12， ∴， ∴当n＝3或n＝4时，前n项和Sn取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. 新知探究 … … … 作者编号：32200 讨论:<m></m>，<m>具有什么关系？对分类讨论. 若项数为，则 <m></m> ， <m></m> ; 若项数为， 由等差数列的性质可知<m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> （这里 <m></m> ， <m></m> 是中间项）， <m></m> ． 作者编号：32200 归纳总结 已知等差数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> ，公差为 <m></m> . 当项数为偶数 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> ； 当项数为奇数 <m></m> 时，</m> ， <m></m> ． 作者编号：32200 例2 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数. 解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)个，偶数项有n个，中间项是第(n＋1)项，即an＋1， 又因为S奇＝(n＋1)·an＋1＝44， 故这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项). 所以an＋1＝11. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 某种卷筒卫生纸烧在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm.已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1m)？ 解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地 看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和. 由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95. 因此，各圈的周长分别为40.lπ，40.3π，…，119.9π. 因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n， 新知探究 … … … 作者编号：32200 则59.95=20.05+(nーl)×0.1， 解得n=400. 显然，各圈的周长组成一个首项为40.lπ，公差为0.2π，项数为 400的等差数列. 根据等差数列的求和公式得 S=400×40.1π＋=32 000π(mm)≈100(m). 答：满盘时卫生纸的长度约为100 m. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例4 某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰. (1)如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元(精确到1元)? (2)欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元(精确到1元)? 解：(1) 3年后的本息和为 1 000(1+2.7‰)+1000(1+2×2.7‰)+…+1000(1+36×2.7‰) =1000(36+36×2.7‰+×2.7‰) ≈37 798(元). 答：零存整取3年期储蓄每月存入1000元，3年后本息合计约为37798元. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例4 某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰. (2)欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元(精确到1元)? (2)设每月存A元，则有 A(1+2.7‰)+A(1+2×2.7‰)+…+A(1+36×2.7‰)=50 000. 利用等差数列的求和公式得A(36+36×2.7‰+×2.7‰)=50 000， 解得A≈1323， 答：欲在3年后一次性支取本息5万元，每月存入约为1323元. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 应用等差数列解决实际问题的一般思路： 作者编号：32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.等差数列前n项和的奇偶项有什么关系？ 2.如何利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式求Sn 的最值. 2.应用等差数列解决实际问题的思路是什么？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A.11或12 　　　　B.12 　　　　C.13 　　　　D.12或13 2.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于(　　) A.12 　　　　B.18 　　　　C.24 　　　　D.30 3.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn(　　) A.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数 C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值 D D B 当堂检测 … … … 作者编号：32200 4.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落—形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示， 顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， …).若一“落—形”三角锥垛有6层，则该堆垛第 6层的小球个数为(　　) A.45 　　　　B.36 　　　　C.28 　　　　D.21 D 当堂检测 … … … 作者编号：32200 由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋(a1－)n， 当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数. 通常简记为Sn＝An2＋Bn. 该函数的定义域是N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向. 所以＝＝＝＝＝，解得n＝3. $