3.2.2 第2课时 双曲线几何性质的综合问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

第2课时　双曲线几何性质的综合问题

题型一　直线与双曲线的位置关系

已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k（x－1），直线l与双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围．

尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　         　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【母题探究】

　（变条件）在本例其他条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．

规律方法

　　解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑将直线方程与双曲线方程联立消元后得到的方程（如：ax2＋bx＋c=0）的判别式，更要注意二次项系数是否为0.

（1）若a≠0且Δ＞0，则直线与双曲线相交，有两个公共点；

（2）若a≠0且Δ=0，则直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；

（3）若a≠0且Δ＜0，则直线与双曲线相离，没有公共点；

（4）若a=0，则直线与双曲线的渐近线平行，只有一个交点；

（5）若a=0且b=0，则直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点．

注意对直线的斜率是否存在进行讨论．

1.已知直线y=ax＋1与双曲线3x2－y2=1相交于A，B两点，若A，B在双曲线的同一支上，则a的取值范围是　　　　．

2.已知双曲线C：2x2－y2=2与点P（1，2），讨论过点P的直线l的斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点．

题型二　弦长及中点弦问题