3.2.1 第1课时 双曲线的定义与标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦“双曲线的定义与标准方程”，通过拉链实验情境导入，类比椭圆引导学生探究双曲线上点的几何条件，以椭圆知识为支架构建新旧知识联系。 资料以新课标要求为纲，设置自我诊断、典例研析及跟踪训练，涵盖定义理解、方程求解与轨迹问题，通过数学抽象和直观想象培养学生用数学眼光观察、用数学思维思考的能力，提升逻辑推理与应用意识。

3.2.1　双曲线的标准方程 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）． 第1课时　双曲线的定义与标准方程 如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手P处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支． 【问题】　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　双曲线的定义 1.定义：平面内到两个定点F1，F2的　　　　　　　　　等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹叫作双曲线，　　　　　　F1，F2叫作双曲线的焦点，　　　　　　　　　叫作双曲线的焦距． 2.符号表示：|PF1－PF2|=2a（常数）且0＜2a＜F1F2. 提醒：（1）若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点P的轨迹为双曲线的一支，具体是哪一支，取决于PF1与PF2的大小；（2）双曲线定义中的常数必须要大于0且小于F1F2. 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　　　　　　（a＞0，b＞0） 　　　　　　（a＞0，b＞0） 图形 焦点坐标 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） a，b，c的关系 b2=　　　　　 提醒：双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即在标准方程形式下，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．（　　） （2）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线．（　　） （3）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b．（　　） 2.双曲线－=1的焦距为（　　） A．3B．4C．2D．4 3.已知双曲线的a=5，c=7，则该双曲线的标准方程为（　　） A．－=－1 B．－=－1 C．－=1或－=1 D．－=0或－=0 4.设双曲线－=1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1=5，则PF2=　　　　． 题型一　双曲线的定义及标准方程的认识 （链接教科书第101页习题8题）已知－=－1，当k为何值时： （1）方程表示双曲线？ （2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 方程表示双曲线的条件 （1）对于方程＋=1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线； （2）对于方程－=1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线． 　已知两定点F1（－3，0），F2（3，0），在平面内满足下列条件动点P的轨迹是双曲线的是（　　） A．|PF1－PF2|=5　 　 B．|PF1－PF2|=6 C．|PF1－PF2|=7　 　 D．|PF1－PF2|=0 题型二　求双曲线的标准方程 （链接教科书第97页例1、例2）根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）a=4，经过点A； （2）〔一题多解〕与双曲线－=1有相同的焦点，且经过点（3，2）； （3）过点P，Q且焦点在坐标轴上． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求双曲线标准方程的两个关注点 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论．也可以设双曲线方程为Ax2＋By2=1的形式，注意标明条件AB＜0. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）两焦点坐标为（－5，0），（5，0），且a=4； （2）两焦点坐标为（0，－6），（0，6），且经过点（2，－5）； （3）焦点在y轴上，且经过点（3，－4）和（，5）． 题型三　与双曲线有关的轨迹问题 （链接教科书第98页例3）相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并建立适当的坐标系求出曲线的方程． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 与曲线有关的轨迹问题的求解步骤 第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件确定动点满足的等量关系式； 第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确定轨迹的形状； 第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程； 第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意． 　动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x=距离的比是常数，求动点M的轨迹． 1.已知M（－2，0），N（2，0），PM－PN=4，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线　 　B．双曲线左支 C．一条射线　 　D．双曲线右支 2.若ax2＋by2=b（ab＜0），则这个曲线是（　　） A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上 3.（2026•南通月考）若椭圆＋=1与双曲线－=1有相同的焦点，则a=　　　　． 4.根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）半焦距为，经过点（－5，2），且焦点在x轴上； （2）两个焦点的坐标分别为F1（0，－5），F2（0，5），双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6. 完成课后作业　第三章　3.2　3.2.1　第1课时 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $