第7章 统计案例 章末整合提升(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦数学建模与数据分析，核心涵盖回归分析（一元线性、非线性）及独立性检验，通过体重与身高关系、宣传费与销售量等实际问题导入，连接统计基础与应用，搭建从理论到实践的学习支架。 资料特色在于案例贴近现实（如企业污水净化量、疫苗实验），真题体验结合高考题，通过分层习题设计，培养学生数学建模与数据分析素养，提升用数学思维解决实际问题的能力，助力自主学习与教师教学评估。

数学建模和数据分析 　　本章中的回归分析及独立性检验是统计在实际问题中的应用体现，重在培养学生的数学建模及数据分析等核心素养. 培优一　一元线性回归分析 〔多选〕设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是（　　） A.－85.71，0.85是这个线性回归方程的系数 B.回归直线过样本点中心（，） C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优二　非线性回归分析 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. （xi－）2 （wi－）2 （xi－）（yi－） （wi－）（yi－） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，＝wi. （1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据（2）的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其线性回归方程为＝＋u，＝，＝－ . 尝试解答 培优三　相关性分析 如图是某企业2019年至2025年的污水净化量（单位：吨）的折线图. 注：年份代码1～7分别对应年份2019～2025. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y关于t的回归方程，预测2027年该企业的污水净化量. 参考数据：＝54， （ti－）（yi－）＝21，≈3.74. 参考公式：样本相关系数r＝，线性回归方程＝＋t，＝，＝－. 尝试解答 培优四　独立性检验 在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 被某病毒感染 未被某病毒感染 总计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 50 总计 30 100 （1）补全2×2列联表（单位：只）； （2）是否有95％把握认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”？ 尝试解答 培优五　统计与统计案例 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中有女性55名.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40 min的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性. （1）根据已知条件列出2×2列联表，据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望EX和方差DX. 附：χ2＝. 尝试解答 　　 1.（2025·全国Ⅰ卷15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附：χ2＝， P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 2.（2024·全国甲卷17题）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率，如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247） 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 3.（2022·全国乙卷19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：样本相关系数r＝，≈1.377. 4.（2022·全国甲卷17题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （2）能否有90％的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：K2＝， P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 答案 章末整合提升 【素养培优】 【例1】　ABC　当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg，故D错误，A、B、C均正确. 【例2】　解：（1）由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. （2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程. 由于＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w， 因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68. （3）①由（2）知，当x＝49时， 年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6， 年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据（2）的结果知，年利润z的预报值 ＝0.2（100.6＋68）－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 【例3】　解：（1）由折线图中的数据得， ＝4，（ti－）2＝28，（yi－）2＝18， 所以r＝≈0.94. 因为y与t的样本相关系数为0.94接近1，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系. （2）因为＝54，＝＝＝， 所以＝－＝54－×4＝51， 所以y关于t的线性回归方程为＝t＋51，将2027年对应的年份代码t＝9代入上式，得＝×9＋51＝57.75， 所以预测2027年该企业污水净化量约为57.75吨. 【例4】　解：（1）补全2×2列联表如下： 被某病毒感染 未被某病毒感染 总计 注射疫苗 10 40 50 未注射疫苗 20 30 50 总计 30 70 100 （2）因为χ2＝≈4.762＞3.841，即有95%把握认为“给基因编辑小鼠注射该疫苗能起到预防该病毒感染的效果”. 【例5】　解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下： 性别 是否是体育迷 非体育迷 体育迷 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得： χ2＝＝≈3.030. 因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关. （2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意知X～B（3，），从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝np＝3×＝，DX＝np（1－p）＝3××＝. 【真题体验】 1.解：（1）由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p＝＝0.9. （2）零假设为H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关. χ2＝＝＞10.828， 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 2.解：（1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 K2＝＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以＞p＋1.65， 所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 3.解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝＝0.06， 估计该林区这种树木平均一棵的材积量＝＝＝0.39. （2）（xi－）（yi－）＝xiyi－10＝0.013 4， （xi－）2＝－10（）2＝0.002， （yi－）2＝－10（）2＝0.094 8， 所以＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77， 所以样本相关系数r＝≈≈0.97. （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝， 所以Y＝＝1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 4.解：（1）由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为＝， B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为＝. （2）K2＝ ≈3.205＞2.706， 所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $