专题探究8 数学文化与探究创新-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

4.解：(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=0.6 10 0.06,样本中10棵这种树木的材积量的平均值=100.39， 3.9 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平 均一棵的材积量为0.39m3. 19 () y:-10xy (2)r= 1 一三 (2-102)(2-10时2) 0.2474-10×0.06×0.39 0.0134 √/(0.038-10×0.062)×(1.6158-10×0.392) √0.0001896 0.0134 0.01377≈0.97，则r=0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3,又已知这种树 木的村积量与其根部横截面积近似成正比，可得8的5，解得Y: 1209,则该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3 5.解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得i=4,名(，-i)2=28 √含(：列2=0.55，(6-0(-)=名-24=4017-4× 2.89 932=289.r-0.5x2x26460.9, 因为Y与T的相关系数近似为0.99，说明Y与T的线性相关程度相 当高，从而可以用线性回归模型拟合Y与T的关系， (2)由r=932 331及)得6名G(29 ≈0.103. 7 三(-2 28 a=y-6i=1.331-0.103×4≈0.92， 所以Y关于T的回归方程为Y=0.92+0.10T. 将2016年对应的T=9代人回归方程得Y=0.92+0.10×9=1.82, 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨. c9c3819 6.解：(1)依题意，X的可能取值为0,1,2，则P(X=0)= C2078 P(X=1) C2C820 C3C3819 C20 39,P(X=2) C20781 所以X的分布列为 X 1 2 19 20 19 78 39 78 故Ex=0x19 ,20 19 +139 781 2 (2)()依题意，可知这40只小白鼠体重增加量的中位数是将两组 数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数，观 23.2+23.6 察数据可得第20位为23.2，第21位为23.6，所以m= 2 23.4,故列联表为 <m ≥m 对照组 14 试验组 14 6 (iⅱ)由(i)可得，x2= 40×(6×6-14×14)2 =6.400>3.841,所以能有 20×20×20×20 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增 加量有差异 7.解：(1)根据题意可得列联表 优级品非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 参考答案 可得x2=150x(26×30-24×70)2_75 =4.6875. 50×100×96×54 16 因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 (2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的 颜率% =0.64,用题率估计概率可得p=0.64, 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5, 则p+1.65 印：a5+1.6×,5o可-a5+16× 150 0.5 12.247≈0.567， 可知>p+1.65 -P】,所以可以认为生产线智能化升级改造后， 该工厂产品的优级品率提高了 专题探究8数学文化与探究创新 黑题 专题强化 1.B解析：由题意可知号y=1的袋日圆方程为2：4，因为圆 (x-3)2+(y-入)2=9与圆x2+y2=4仅有一个公共点，所以两圆内切 或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以√(3-0)2+(A-0)7=3+2或√(3-0)2+（λ-0）2=3-2，由此解 得入=±4.故选B. 2,A解析：根据题意，横坐标在F1,F2之外的区域，不能出现与x轴垂 直的线段，否则该线段上的点与F1,F2的“距离”之和不会是定值； 横坐标在F1,F2之内的区域，必须与x轴平行，否则该线段上的点与 F1,F2的“距离”之和不会是定值故选A 3BCD解析：因为叶形线C:2+-a四经过点A(月，名），所以 a=3.联立{少=3解得x=y=0,所以直线y=-x与C只有1个 (y=-x, 公共点，A错误 x3+y3=3xy=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3y].因为点P在 第二象限，所以x00<0,(x0+yo)2-3xo0>0,所以0+y0= 3x0y0 <0，B正确. (x0+y0)2-3xoy0 若点P在第四象限，则xoyo<0,可推出o+yo<0.因为x3+y3=3xy= (x+y)(x2-xy+y2)=(x+y）)[(x+y)2-3xy]=(x+y）)3-3xy(x+y),所以 3y(x+y+1)=(x+y)3.当点P在第二、四象限时，x0+yo+1= (xo+yo) 3x0y0 >0,所以x0+yo>-1.当点P是原点或在第一象限时，易得 x0+y0>-1,所以x0+y0>-1,C正确 由3y(x+y+1)=(+y),可得3y=（x+)）° 2 *+1s3 x+y 2 ,解得x+y≤ 3,所以xo+o≤3，D正确故选BCD. 4.2422 9+16+361解析：设椭球面的方程为之+ .z2 916+2=1(c>0), 椭球面过点M(1,2,V23),,。+,4+3=1,解得c2=36,椭球 面的方程为号+石云1旅管奖为号石 =1. 5.ACD解析：对于A,4同时与AB,AD垂直，1ABxA⑦1=I店11AD1· sin(AB,AD)=2×2×sin90°=4=1AA11,且AB,AD,AA构成右手系，故 ABXAD=AA成立，故A正确. 对于B,ABXAD=AA,ADXAB=-AA,则ABXAD≠AdxA店，故B错误 对于C,1(AB+A⑦)×AM1=1A元×Ad1=22×4×sin90°=82，A元× AA与D共线，且方向相同，1AB×AA1=2×4×sin90°=8，AB×AA与 DA共线，且方向相同，1Ad×AA1=2×4×sin90°=8，Ad×AA与AB共 黑白题103 线，且方向相同，所以IAB×AA+A⑦×AA1=82,AB×AA+ADXAA与 D共线，且方向相同，所以(AB+A)×AM=AB×AA+AD×AA,故 C正确. 对于D,V长方体8c04,60,=2x2×4=16,(店xd)·CC=· C=4=16,所以V长方形BcD-A,Gn,=(店x动)·CC,故D正确. 故选ACD. 6.B解析：根据材料可知，由平面a的方程为x-y+z+1=0,得n1=(1, -1,1)为平面a的法向量，同理可知，n2=(1,-1,0)与n3=(2,0,-1) 分别为平面x-y+2=0与2x-z+1=0的法向量. 设直线1的方向向量a=(x,y,z),则 a=0,即{y0取x=1, n3·a=0, (2x-z=0, ln1·al 则a=(1,1,2).设直线1与平面a所成角为0，则sin0= Inllal 11-1+21 √1+1+I×√/1+1+4 号敌莲取 7.D解析：函数)-关于y轴对格，由P(X1∈) T(1+x2)1 可知，P(o）石且P(停≤i）立则P以xe)= }6立号所以P1WI≤1)=2x分故选D 111-1 8.ACD解析：由题意，根据双阶乘的定义，可得2091！×208！！= (209×207×…×3×1)×(208×206×…×4×2)=2091,所以A正确； 由2081！=208×206××4×2=2104×1041，所以B错误； 由2081！=208×206×…×10×8×6×4×2能被10整除，则个位数字为 0,所以C正确； 由209！！=209×207×…×5×3×1能被5整除，则个位数字为5或0， 又因为209是奇数，所以个位数字为5，故D正确.故选ACD. 9.1250解折：由题意知X-B(a,子)，所以B以=05n,DX-025a,若 04<0.6,则0,4n<X<0.6m,即-0,1n<x-0.5n<0.1n,即1X-0 O,由切写夫不等式PK-05nl<01n)≥Q1知，要使得 至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内，则1- 022≥0,98，解得n≥1250，所以估计信号发射次数n的最小值为 1250.故答案为1250. 全书综合检测 1。A解折：对于抛物线=2,2印=2，则号=分，所以抛物线子=2 的焦点坐标为(0，子)故选A 2.D解析：由于相关系数表示一个变量变化对另一个变量变化趋势的 影响，所以随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势.故 选D. 3.B舞析：由题意可得分+g+分+石-1，解得a=2,所以P(≥ 2↓故选B 2)=1-P(5=1)=1-24-12 4.C解析：先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序，然后将两颗 圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中，从4个 空位中抽取2个空位进行排序，由插空法可知，不同的串法有AA?= 72(种).故选C. 5.A解析：边QA所在直线的倾斜角为石，则斜率为，A=牙，即 B10A,放k,-1,解得=-3.故选A 选择性必修第一册·BS 6.C解析：因为每种颜色只能涂两个圆，所以只有五种涂法：（1,3)， (2,5),(4,6):(1,4),(2,5),(3,6);(1,4),(2,6),(3,5):(1,5), (2,4),(3,6):(1,6),(2,4),(3,5).每种涂法中分配颜色有A= 6(种)方法，故不同的涂色方案的种数是6×5=30.故选C 7.A解析：建立如图所示空间直角坐标系0-xy2,在正四棱台 EFGH-MNPQ中，点N到平面EFGH距离为√(3)2-(22-√2)2= 1,则K(3,0,0),F(0,0,2),N(1,1,3),Z(3,2,3),所以应=(0,2， 3),成=(1,11)，因此s(应，成=.成.0+2+353罗 1K应F3x539 所以异面直线K与N夹角的余弦值为9故选A B(O) K C (第7题) (第8题) 8.A解析：如图，取F,D的中点Q,连接EQ,PQ.则有PF·Pi (丽+励2-（丽-励]=成4 同理成·动=动序，因此所·劢≥或，励。成1≥ IEd1,所以QE⊥BF1, 取BF,的中点H,连接DH,则DH∥QE,DH⊥BF1,由三线合一得 IDF,I=IBDI, 设1DF=BD1=3x,DF1I+DF,=2a,故3x+x=2a,解得x=2, IBFI=IBF2I=a,IBDI=IF DI= 2a,1F,F21=2c, 在△FB,和△BF,D中，由余弦定理得osB=2a-4C 2a2 a2+9a2.9 4 4 3 ,解得e=上3故选A a 3 2×ax 9c怒折：令1，测各项系数的和为）广-0，散A正确。 2025 () 展开式的二项式系数的和为22025，故B错误； () 2025 展开式中共有2026项，故C正确： ( 2025 开式中的第+1项为7=G侧x2-() C5s(-1)'x2s-2,因为reN,且0≤r≤2025，所以2025-2r≠0，因 比(：）广展开式中无香数类，故D战法C 1O.AC解析：对于A,由题意可得曲线2与x轴围成的图形的周长是 由以半径为1的圆周与线段AD组成，即为2m·1+12-(-2)1= 4+2π，故A正确； 对于B,如图①，直线1交CB所在圆于点M,N.设C所在圆的圆心为 F0,),当直线1斜率不存在时，直线：=，圆心F到直线的 ,1 距离为7，此时弦长1N=2√1-4 =√5，符合题意；当直线1斜 1 率存在时，直线：y-3=k(x2),整理可得2-2+6-k=0,圆心 F到直线1的距离1FB1=10-2+6- ,由弦长公式可得|MNI= /4k2+4 黑白题104专题探究8数学 黑题 专题强化 题组1平面解析几何 1.(2024·江苏徐州高二期中)画法几何学的创 始人—法国数学家加斯帕尔·蒙日发现： 与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是 以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆 称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆+ a2t621(a b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.若圆(x 3)4(A)=9与稀图写+y-1的家日图有 且仅有一个公共点，则入的值为() A.±3 B.±4 C.±5 D.25 2.城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往 往不能沿直线行走到达目的地，要按直角拐弯 的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向 建立平面直角坐标系，对两点A(x1,y1), B(x2,y2),定义两点间“距离”为d(A,B)= 1x1-x21+y1-y21,则平面内与x轴上两个不同 的定点F,F2的“距离”之和等于定值（大于 d(F,F2)的点的轨迹可以是 F O D 3.(多选)(2025·江西赣州高二月考)笛卡尔叶 形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在 1638年提出.如图，叶形线C:x3+y3=axy经过 数学文化与探究创新 文化与探究创新 限时：50min 点A(月，)，点P(,)在C上，则下列结 论正确的是 () A.直线y=-x与C有3个公共点 B.若点P在第二象限，则xo+yo<0 C.xo+yo>-1 D.x+yo≤3 4.（2025·江苏常州高二月 间直角坐标系下，由方毛。。 1(o>0.b>0.c>0)所表示的曲面叫作椭残 面（或称椭圆面）.如果用坐标平面z=0,y=0, x=0分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图 所示)，这三个截面的方程分别为 a2'b2 ’a2c2 1,。1上述三个椭 z=0, y=0,x=0, 圆叫作椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球 x2y2 面的轴与坐标轴重合，且过椭圆9i61,与 z=0 点M(1,2,√23)，则这个椭球面的方程 为 黑白题181 题组2空间向量与立体几何 题组3计数原理与概率统计 5.（多选)(2025·北京清华附中高二期中)给定两 7.柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概 个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算：ax 率分布.记随机变量X服从柯西分布为X~ 规定： C(y,xo),其中当y=1,o=0时的特例称为标 ①a×b为同时与a,b垂直的向量； 准柯西分布，其概率密度函数为∫(x)= ②a,b,axb三个向量构成右手系（如图①）； +e已知Xc1.0)Px1≤9) 1 ③laxb1=lallblsin(a,b〉. 3 如图②，在长方体ABCD-AB,C,D1中， AB=AD=2,AA1=4,则 ( A.6 C. o.x 8.(多选)(2024·江苏泰 考)对任意正整数n,定义 乘n!！:当n为偶数时，nl 4)×…×6×4×2;当n为奇数时，n!！=n× A.AB×AD=AA (n-2)×(n-4)×…×5×3×1,则下列四个命题 B.ABXAD=ADXAB 中正确的是 () C.(AB+AD)XAA=ABXAA+ADXAA A.2091！×208!！=2091 D.V长方体BGD-AGD,=(AB) 208!！=2×1041 6.（2025·湖北武汉高二月 208!！的个位数字为0 材料：数轴上，方程Ax+E 209!的个位数字为5 0)可以表示数轴上的点； 25·河南驻马店高三月考)切比雪夫不等 中，方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可以 式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计 表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系0 规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量 xyz中，方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时 X,若其数学期望EX和方差DX均存在，则对 为0)可以表示坐标空间内的平面过点P(x, o,2)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a 任意正实致，有P以1X-5<)≥12根据 方程可表示为a(x-x)+b(y-yo)+c(z-2)=0. 该不等式可以对事件IX-EXI<ε的概率作出 阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的 估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1” 方程为x-y+z+1=0,直线1是两平面x-y+2= 组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射 0与2x-z+1=0的交线，则直线l与平面α所 信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的 成角的正弦值为 ( 次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使 A.0 D. 发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内，估计 35 信号发射次数n的值至少为 选择性必修第一册·BS黑白题182