7.2.1 相关系数&7.2.2 成对数据的线性相关性分析(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦相关系数与成对数据的线性相关性分析，通过聚丙烯期货与现货价格相关系数实例导入，引导学生理解样本相关系数的概念、计算及性质，衔接散点图知识，为后续回归分析搭建学习支架。 以新课标核心素养为导向，实例导入培养数学眼光观察现实世界，通过散点图判断与相关系数计算发展数据分析能力，分层习题与跟踪训练助力学生深化理解，有效提升数学抽象与逻辑思维，适合课堂教学与自主学习。

2.1　相关系数 2.2　成对数据的线性相关性分析 课标 要求 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系（数学抽象）. 2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性（数据分析）. 　　据隆众资讯数据统计，2020～2022年截止到10月底的数据显示，聚丙烯期货价格及现货价格二者相关系数为88.70％，其中2020年二者相关系数高达90.86％，2021年降至83.97％，2022年截止到10月底二者相关系数为65.23％. 【问题】　什么是相关系数，如何计算，它有什么作用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　样本（线性）相关系数 1.样本相关系数的概念 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），记r＝ ＝　　　　　　，称r为随机变量X和Y的样本（线性）相关系数. 2.相关系数r的计算公式 r＝　　　　　　　　　　　　　　　　. 3.样本相关系数的性质 （1）样本相关系数r的取值范围为　　　　； （2）｜r｜值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越　　；｜r｜值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越　　； （3）当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量　　相关； （4）当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量　　相关； （5）当r＝0，此时称两个随机变量线性　　 　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若相关系数为0，则说明两变量x，y之间没任何关系.（　　） （2）两个变量相关系数越大，说明它们的相关性越强.（　　） （3）求回归方程时，最好用相关系数判断一下两变量相关性的强弱.（　　） 2.两个变量X，Y的样本相关系数r＝－0.996 2，则下列说法中正确的是（　　） A.X与Y正相关 B.X与Y具有较强的线性相关关系 C.X与Y不具有线性相关关系 D.X与Y的线性相关关系还需进一步确定 3.已知一组成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等），若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）满足的方程可以是（　　） A.y＝－x＋1 B.y＝x－1 C.y＝x＋1 D.y＝－x2 4.已知求得甲、乙、丙3组不同数据的线性相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中　　　　（填“甲、乙、丙”中的一个）组数据的线性相关性最强. 题型一　相关关系的判断 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 （1）请作出这些数据的散点图； （2）你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ （3）若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系. 尝试解答 通性通法 1.两个变量X和Y具有相关关系的判断方法 （1）散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； （2）表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； （3）经验法：借助积累的经验进行分析判断. 2.判断两个变量X和Y之间是否具有线性相关关系，常用的方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响. 1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是（　　） A.正方体的棱长和体积 B.单位圆中角的度数和所对弧长 C.亩产量为常数时，土地面积和总产量 D.日照时间与水稻的亩产量 2.对变量X，Y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图①；对变量U，V有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图②.由这两个散点图可以判断（　　） A.变量X与Y正相关，U与V正相关 B.变量X与Y正相关，U与V负相关 C.变量X与Y负相关，U与V正相关 D.变量X与Y负相关，U与V负相关 题型二　相关系数的性质 （1）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 （2）对四组不同数据进行统计，获得如图所示的散点图，对它们的样本相关系数进行比较，正确的是（　　） A.r2＜r4＜0＜r3＜r1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3 C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　两个变量间的线性相关关系可以通过成对样本数据的相关系数r进行定量分析： ｜r｜越接近1，成对数据的线性相关程度越强； ｜r｜越接近0，成对数据的线性相关程度越弱. 特别地，当｜r｜＝1时，成对数据的散点落在一条直线上，此时两个变量满足线性关系，但不是相关关系，而是函数关系. 当r＝0时，成对数据之间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. 当r＞0时，两变量正相关；当r＜0时，两变量负相关. 　如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据计算得到相关系数为r1；方案二：剔除点（10，32），根据剩下的数据计算得到相关系数为r2，则（　　） A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1 C.－1＜r1＜r2＜0 D.－1＜r2＜r1＜0 题型三　样本相关系数的计算 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得xi＝60，yi＝1 200，（xi－）2＝80，（yi－）2＝9 000，（xi－）（yi－）＝800. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）. 附：样本相关系数r＝，≈1.414. 尝试解答 通性通法 样本相关系数的计算 　　由公式r＝＝代入样本数据后直接计算，其中＝xi，＝yi，点（，）又称样本中心点. 为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B，C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第X次 1 2 3 4 5 分数Y（满分150） 145 83 95 72 110 B类 第X次 1 2 3 4 5 分数Y（满分150） 85 93 90 76 101 C类 第X次 1 2 3 4 5 分数Y（满分150） 85 92 101 100 112 经计算知A类，B类的样本相关系数分别为r1＝－0.45，r2＝0.25.请计算出C类学生的样本相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生的学习成绩最稳定.（结果保留两位有效数字，｜r｜越大认为成绩越稳定） C类的参考数据：·≈64，样本相关系数r＝. 1.已知相关关系：①正相关，②负相关，③不相关.则图（1）（2）（3）分别反映的两变量间的相关关系是（　　） A.①②③ B.②③① C.②①③ D.①③② 2.对于线性相关系数r，叙述正确的是（　　） A.r∈（－∞，＋∞），且r越大，相关程度越大 B.r∈（－∞，＋∞），且｜r｜越大，相关程度越大 C.r∈[－1，1]，且r越大，相关程度越大 D.r∈[－1，1]，且｜r｜越大，相关程度越大 3.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（　　） A.＝1.5x＋2 B.＝－1.5x＋2 C.＝1.5x－2 D.＝－1.5x－2 4.在一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线Y＝X＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A.－1 B.0 C. D.1 5.某厂生产A产品的产量X（单位：件）与相应的耗电量Y（单位：度）的统计数据如表所示： X 2 3 4 5 6 Y 2 3 5 7 8 经计算≈16.12.则（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的样本相关系数r约为　　　　.（结果保留两位小数） 完成课后作业　第七章　§2　2.1　2.2 答案 2.1　相关系数 2.2　成对数据的线性相关性分析 【基础落实】 新知初探 知识点 1. 2. 3.（1）[－1，1]　（2）强　弱　（3）正 （4）负　（5）不相关 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.B　X与Y负相关，又｜r｜非常接近1，所以X与Y具有较强的线性相关关系，故选B. 3.A　若这组样本数据的相关系数为－1，则样本数据为线性相关，排除D，又相关系数为－1，所以样本数据为负相关，排除B、C（B、C为正相关）.故选A. 4.乙　解析：两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它的线性相关性越强.在甲、乙、丙所给的数值中－0.98是相关系数绝对值最大的值，即乙的线性相关性最强. 【典例研析】 【例1】　解：（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材体积，可得相应的散点图如图所示. （2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系. （3）近似拟合直线如图所示. 跟踪训练 1.D　不确定性是相关关系的一个重要特征.A、B、C为函数关系，而D为相关关系. 2.C　由两个散点图的形状判断，X与Y负相关，U与V是正相关. 【例2】　（1）D　（2）A　解析：（1）｜r｜越接近1，相关性越强，故选D. （2）由给出的四组数据的散点图可以看出，图①和图③中的成对数据是正相关的，样本相关系数大于0，图②和图④中的成对数据是负相关的，样本相关系数小于0，图①和图②中的点相对更加集中于一条直线附近，所以相关性更强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2＜r4＜0＜r3＜r1. 跟踪训练 A　由散点图可知，变量x和y成正线性相关，所以0＜r1＜1，0＜r2＜1.在剔除点（10，32）之后，可看出x和y的线性相关程度更强，r2更接近1，所以0＜r1＜r2＜1.故选A. 【例3】　解：（1）由已知得样本平均数＝yi＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000. （2）样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数 r＝＝＝≈0.94. 跟踪训练 解：根据C类学生的数据，得＝3，＝98， 则（xi－）·（yi－）＝62，所以C类学生的样本相关系数r3≈≈0.97， 从上述所求样本相关系数可知，从C类学生中抽到的学生的成绩最稳定. 随堂检测 1.D　对于题图（1），图中的点带状分布，且从左到右上升，是正相关关系①；对于题图（2），图中的点没有明显的带状分布，两变量不相关③；对于题图（3），图中的点带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系②.故选D. 2.D　相关系数r是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大.故选D. 3.B　结合散点图可知，变量x，y之间是负相关，且纵截距大于0，故选B. 4.D　因为所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线Y＝X＋1上，且X，Y的变化趋势相同，所以样本相关系数为1. 5.0.99　解析：从表中数据可知，＝4，＝5，所以（xi－）·（yi－）＝16，所以r＝≈≈0.99. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $