7.2 成对数据的线性相关性-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§2成对数据的线性相关性 2.1 相关系数⊕2.2成对数据的线性相关性分析 白题 基础过关 限时：40min 题组1相关关系 -9),…,（30.5,-60)的散点图中，所有样本点 1.某商场五天内某种热销T恤衫的销售情况如 均在直线y=-2x+1上，则这组样本数据的样 下表，则下列说法正确的是 ( 本相关系数r为 ( 第X天 2 3 5 A.-2 B.-1 销售量Y/件 C.1 D.2 19 39 59 79 104 5.(2025·河北沧州高二月考)变量X与Y相对 A.Y与X负相关 应的一组数据为(10,1)，（11.3,2)，(11.8， B.Y与X正相关 3),(12.5,4),（13,5);变量U与V相对应的 C.Y与X不相关 一组数据为(10,5)，(11.3,4)，（11.8,3)， D.Y与X成正比例关系 2.变量X与Y的成对样本数据的散点图如图所 (12.5,2),(13,1),r1表示变量X与Y之间的 示，据此可以推断变量X与Y之间 线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线 性相关系数，则 A.T2<r1<0 B.0<r2<T1 C.T2<0<r1 D.r2=r A.可能存在负相关 6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量进 B.可能存在正相关 行线性相关检验，并用回归分析方法分别求 C.一定存在正相关 得相关系数r如表： D.一定存在负相关 甲 乙 丙 题组2相关系数及其应用 0.82-0.780.69 0.85 3.对于样本相关系数r,下列说法正确的是 则这四位同学的检验结果能体现出A,B两变 ( 量有更强的线性相关性的是 A.样本相关系数re(-1,1) A.甲 B.乙 B.样本相关系数r越小，成对样本数据的线 性相关程度越弱 C.丙 D.丁 C.当r=0时，成对样本数据没有任何相关关系 7.已知两组数据a1,a2,…,a1o和b1,b2,…,b1o,其 D.当r=1时，成对样本数据正相关且两个变 中1≤i≤10且ieZ时，a,=i;l≤i≤9且ieZ 量之间满足一种线性关系 时，b:=a:,b1o=a,我们研究这两组数据的相关 4.(2024·江西鹰潭高二期末)关于(X,Y)的 性，在集合{8,11,12,13}中取一个元素作为a 组样本数据(1，-1)，(2，-3)，(3.5，-6)，(5， 的值，使得相关性最强，则a= 选择性必修第一册：BS黑白题162 8.(2025·江苏常州高二期末)某款数字产品自 重难聚焦 发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间 题组3非线性回归分析 便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速 9.婺源位于江西省东北部，其境内古村落遍布 度令人惊讶.如表所示是该产品发布以来在某 乡野，保存完整，生态优美，物产丰富，拥有 一平台各月的销售量统计表. 着油菜花之乡的美誉，被誉为一颗镶嵌在 月份编号X 1 2 3 4 5 赣、浙、皖三省交界处的绿色明珠为了调查 销售量Y(百万份) 86.35.13.22.4 某片实验田3月份油菜花的生长高度，研究 人员在当地随机抽取了13株油菜花进行高 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数 度测量，所得数据如下：x=20.3,y= π（结果保留两位小数），并判断月份编号X 与销售量Y之间是否具有较强的线性相 219.88,=6.08,6=032,2(s-5)(-)= 关性； 13 (2)预计该平台半年时间的销售量能否突 5,76,2(6-0(y-列=-84,2（4-)2 破26百万份 46.68,2(-)2=084,2（0=列2=84.88并 参考数据：√207≈14.39； 通过绘制及观察散点图，选用两种模型进行 含(x)(列 拟合： 参考公式：r= 含(-含列2 模型一：Y=a+B√，其中令S=√区； 60 校型二：Y-名，其中令7 :a=y-Bx (1)求模型二的回归方程； (2)试通过计算相关系数的大小，说明对于 所给数据，哪一种模型更加合适， 参考数据：11.67×21.22=247.6374， 0.21×21.22=4.4562,√247.6374≈ 15.7365,4.4562≈2.111 第七章黑白题163从而EX<EY. 9.解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中 1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴.比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686. (2)(1)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15分的概率为P甲=[1-(1-p)]g3, 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概 率为Pz=[1-(1-q)3]·p3. 0<p<q, P甲-Pz=g3-(q-p9)3-p3+(p-p9)3=(q-p)(g2+p9+p2)+(p-q)· [(p-p9)2+(qp9)2+(p-p9)(q-p9)]=(p-g）(3p2g2-3p2g-3pg2)= 3p9(p-q)(p9-p-q)=3pg(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0, ·P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛。 第七章 §1一元线性回归 1.1直线拟合+1.2一元线性回归方程 白题基础过关 1.C解析：出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误；房 屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B错误：人的身高会影响体 重，但不是唯一因素，可用直线拟合，故C正确：实心铁块的大小与质 量是确定的函数关系，故D错误故选C. 2.D解析：根据散点图可以粗略判断变量是否线性相关.故选D. 3.AD解析：若变量X,Y具有线性关系，则散点分布在某条直线附近， 从左上到右下或从左下到右上，所以AD两个选项中的变量X,Y具 有线性关系.故选AD. 4.B解析：画出散点图如图所示，结合线性回归方程Y=a+bX,易知a> 0,B<0.故选B. y↑ 4 1 1234交678主 -3 5,D解标：由题表中数据得=号×(3+5+10)=6,7= 3×(2+3+4)= 3,由线性回归直线过点(6,3)，又=石所以ā=-6x=3 1×6 2 l8所以Y=名+ X+,所以若第4名推销员的工作年限为7年，他 的年推销金额估计为不×7+8~321（万元），所以估计第4名推销 18 员的年推销金额为3.27万元故选D. 6.B解析：优题意，=2+驾，=9，则这个样本的中心点为(2+公 9）,因此9=5(2+兮）7，解得m=6,所以实数m的值为6放选B 7C解析：因为x1+2+3+4+5+6-7y-0+2+1+3+8+4=3,所以 6 6 6总到0,7 20=8,á=3-8 .7 含（出-）2 35 “7x2-1,由已知可得 6+a=0,解得 2b'+a'=2, =2,所以ikb',a>a.故选C. a'=-2, 8.(4,9)解析：因为x=2+3+5+6 4,y=7+8-a49a+12=9,所以y关 4 于X的回归直线必过定点(4,9). 故答案为(4,9) 参考答案 (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5， 10,15, P(x=0)=(1-P)3+[1-(1-p)3]·(1-g)3,P(X=5)=[1- (1-p)3]C59·(1-q)2,P(X=10)=[1-(1-p)3]·C3q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]·g3, .EX=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)·g. 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5， 10,15, 同理EY=15(g3-3g2+3g）·p, .EX-EY=15[p9(p+q)(p-g)-3pg(p-q)]=15(p-q)p9(p+q-3). 0<p<q,则p-q<0,p+q-3<1+1-3<0,则(p-9)p9(p+q-3)>0, .应该由甲参加第一阶段比赛 统计案例 9.解：(1)x=4.5,y=4.5,2xy=84.5,xy-4xy=3.5, 含-4=56-=35-07，d-45-01x45=135, .Y=0.7x+1.35. (2)x=100,y=71.35,即技术改造后预测生产能耗为71.35t标准煤， 90-71.35=18.65(t标准煤). .预测该厂技术改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了 18.65t标准煤 10.解：（1)由题表可知元-6+8+10+12=9，y=14+11+8+7=10,则 含(6-2=(6-92+(8-9)2+(10-92+(2-9y2=20,所以 总%到% =-1.2,则y=-1.2x+a→a=20.8,故Y= 含()2 -1.2X+20.8. (2)由(1)知Y=-1.2X+20.8,当y=4时，x=14,即当该图书每天的 销量为4本时，该图书的定价是14元. §2成对数据的线性相关性 2.1相关系数+ 2.2成对数据的线性相关性分析 白题 基础过关 1.B解析：根据题表中的数据作出散点图， ↑销售量Y/件 120 100 80 20 012345第X天 可知所有点都在一条直线附近波动，是线性相关的，且Y值随着X值 的增大而增大，即Y与X正相关.故选B. 2.A解析：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角 呈递减的趋势，所以据此可以推断变量X与Y之间可能存在负相关 故选A. 3.D解析：因为相关系数r∈[-1,1]，所以选项A不正确： 因为样本相关系数，的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度 越弱，所以选项B不正确： 因为当r=0时，成对样本数据之间没有线性相关关系，可能有其他相 关关系，所以选项C不正确： 因为当r=1时，成对样本数据正相关且两个变量之间满足一种线性 关系，所以选项D正确故选D. 4.B解析：因为所有样本点都在直线y=-2x+1上，所以回归直线方程 黑白题097 是Y=-2X+1,可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相 关系数为负值，且所有样本点都在直线上，则有1r1=1,所以相关系 数r=-1.故选B. 5.C解析：由变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，（11.3,2)， (11.8,3),（12.5,4),(13,5),可得变量Y与X正相关，所以r1>0.而 由变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，（11.8,3)， (12.5,2),(13,1),可知变量V与V负相关，所以r2<0,所以r1与r2 的大小关系是r2<0<r1.故选C. 6.D解析：由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相 关性越强，结合题意可知丁同学的检验结果体现出的A,B两变量的 线性相关性更强。 7.11解析：设点坐标为(a:,b:),1≤i≤10且ieZ,由题意得前9个点 位于直线y=x上，且a10=10,则要使相关性更强，b1o应更接近10，集 合中11更接近10.故答案为11. 8.解：(1)由题知，=12+3+4+5-3，y-8+6.3+5.1+3,2+245, 5 5 ())=(1-3)x(8-5)+(2-3)×(6.3-5)+(3-3)× 5)+(4-3)×(3.2-5)+(5-3)×(2.4-5)=-14.3, 2(x2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10, 含0-列2=(8-5)2+(6,3-5)2+(5.1-5)2+(32-52+ (2.4-5)2=20.7, 含（列 -14.3 -14.3-14.3 所以T= √2√含00xv27m439 -0.99 所以月份编号X与销售量Y之间具有较强的线性相关性 2)6(-0(-y-143 =-1.43,a=y-bx=5+1.43×3=9.29 含()2 10 所以线性回归方程为Y=9.29-1.43X. 则6月的销售量估计为9.29-1.43×6=0.71（百万份）， 所以该平台半年时间的销售量估计为5×5+0.71=25.71（百万份）， 即不能突破26百万份 重难聚焦 0.解：0)因为2客-0可84 昌4-02 0.84-10, c=y-t=219.88+10×0.32=223.08, 所以模型二的回归方程为Y=223.08-10 (2)依题意，模型一的相关系数1=467×21,2 13.94×4 13.94 ≈0.8858， w247.6374 模型二的相关系数r2 4×(-2.1) -2.1 40.21×v21.221110-0.9948 因为<111，所以用模型y=+2建立y与X的回归方程更 合适. 四方法总结 解决非线性回归分析问题的一般方法和步骤： (1)确定变量：确定解释变量为x,预报变量为y; (2)画散点图：通过观察散点图并与已学过的函数（幂函数、指数函 数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型： (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题： (4)分析拟合效果：通过计算相关系数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程. 选择性必修第一册·BS §1-§2阶段综合 黑题 阶段强化 1.AB 解折：A五：12435967-4,72435748+849 > 6, 故A正确： B.根据表格绘出散点图的图象如下，散点图的分布从左下到右上，所 以是正相关，故B正确； 8 6 2 01234567元 C.由选项B可知相关系数r>0,故C错误； D.根据回归直线过样本点中心（元，y)=(4,6),当x=4时，1.5×4+ 0.5=6.5≠6，故D错误.故选AB. 2.ABC解析：因为从散点图可分析得出变量X与变量Y呈负相关， 故A正确； 只有D点偏离直线远，去掉D点，变量X与变量Y的线性负相关性 变强，所以相关系数的绝对值变大，样本相关系数变小，故B、C正确， D错误故选ABC. 3.B解析：含=号×8=9，增加两个样本点后x的平均数为 9 9-1+2 =1. 10 ~了=2号2名新=8=16带加两个样本点后)的平均 数为16+5+9=3， 10 ∴.3=3×1+a,解得a=0,∴.新的线性回归方程为Y=3X,∴.样本点(4， 10)的残差为10-3×4=-2.故选B. 4.B解析：令X=1og2l,则Y=6+d,=1o21+log22+lg23_26 3 ,又y 4,由=66，得4=6258，所以8=-12则Y=6-12,下午 2时时对应1=4，校门人流量估计为61g24-1.2=10.8(千人).故 选B. 5.C解析：由散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附 近，整体趋势递增，单位增长率逐渐变小，所以函数Y=B√区+a较适 宜.故选C. 6.e3解析：Y=cex-lnY=ln(cex)=X+lnc,即Z=x+lnc,.=0.2, nc=3→c=e3.故答案为e3 75解折：因为=9，名=50，所以2（气-2-含-6=50- 8 6×92=64,由r= 含✉用0 含✉0.- 6 . √64×√256 6解得含()()=120，所以6= 1 0(p 120_15 含（出-2 648 故答案为8 .15 8.解：(1)由题表得x-2+4+56+8-5,y-3+4+4+4+5-4 5 x%=2x3+4x4+5x4+6x4+8x5=106,所以2.(x,2=52=20, 含（-)()=宫--店+5·-言-5·y-5· +5x·y=2xy-5x·y=6, 黑白题098