培优课 对称问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦对称问题，涵盖中心对称、轴对称及反射与最值应用。通过点与直线对称实例导入，关联中点坐标公式、直线方程等旧知，搭建学习支架，引导学生构建知识脉络。 以直观想象和数学运算为核心，通过破题思维分析、规律方法总结及一题多解，培养学生逻辑推理与问题解决能力。跟踪训练与随堂检测结合，助力巩固知识，提升数学语言表达与应用意识，符合学科特色学习需求。

培优课　对称问题 1.理解轴对称与中心对称的几何性质与代数性质（直观想象）． 2.灵活利用对称性求解反射问题与最值问题（数学运算）． 题型一　中心对称问题 （1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P′的坐标； （2）〔一题多解〕求直线3x－y－4=0关于点（2，－1）的对称直线l的方程． 【破题思维】 题目信息 信息解读 （1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P′的坐标 联想到中点坐标公式：两点关于某点对称，则该点是这两点的中点 （2）求直线3x－y－4=0关于点（2，－1）的对称直线l的方程 （1）直线3x－y－4=0上的任意点关于点（2，－1）的对称点都在所求直线l上；（2）直线3x－y－4=0与所求的直线l平行 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.解决点关于点对称问题的方法 点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P′（x′，y′）可利用中点坐标公式求得，由得 2.解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线Ax＋By＋C=0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C=0. 1.（2026•扬州月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为　　　　． 2.已知直线l1：2x＋y＋2=0与l2：4x＋by＋c=0关于点P（1，0）对称，则b＋c=　　　　． 题型二　轴对称问题 （2026•宿迁质检）已知直线l：y=3x＋3，求： （1）点P（4，5）关于直线l的对称点的坐标； （2）直线y=x－2关于直线l的对称直线的方程． 【破题思维】 题目信息 信息读取 （1）求点P（4，5）关于直线l：y=3x＋3的对称点的坐标 联想到点关于直线对称的两个核心条件：①两对称点的连线PP′与直线l垂直；②两对称点的中点在对称轴l上．需结合这两个条件列方程组求解对称点坐标 （2）直线y=x－2关于直线l：y=3x＋3的对称直线的方程 联想到直线关于直线对称的解题逻辑： 第一步：判断两直线的位置关系是相交还是平行． 第二步：根据两直线的位置关系选择适当的方法： （1）若两直线相交：①先求已知两直线的交点；②在已知直线上任取一点，求其关于该对称轴的对称点，由直线上的两点求其方程． （2）若两条直线平行：利用两平行直线与对称轴所在直线的距离相等求解 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.求已知点关于某直线对称点的方法 已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C=0，求点P关于直线l的对称点P′（x′，y′）可以分三步列方程组求解： 第一步，直线PP′和l垂直，故kPP′•kl=－1（kl≠0）； 第二步，PP′的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C=0，得到A•＋B•＋C=0； 第三步，联立两式可解出x′，y′． 2.求已知直线关于某直线对称直线（方程）的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： （1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m=0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P′（x′，y′），再代入A1x＋B1y＋m=0即可解出m； （2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P′，由直线方程的两点式确定所求直线方程． 〔一题多解〕（2026•南京月考）已知直线l1：x－y＋3=0，直线l：x－y－1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程． 题型三　对称问题的应用 角度1　光的反射问题 已知光线从点A（－2，1）射出，经直线2x－y＋10=0反射，且反射光线所在直线过点B（－8，－3），则反射光线所在直线的方程是（　　） A．x－3y－1=0　　 B.3x－y＋21=0 C．x＋3y＋17=0　 D.3x＋y＋15=0 【破题思维】 题目信息 信息解读 光线从点A（－2，1）射出，经直线2x－y＋10=0反射，且反射光线所在直线过点B（－8，－3） 联想到光的反射原理（对称点转化）： 反射光线的反向延长线，必过点A关于反射直线的对称点A′ 求反射光线所在直线的方程 结合选项特征，可先通过“斜率匹配”快速排除部分选项：即先求A的对称点A′，再计算A′与B连线的斜率，求出反射光线的直线方程；也可由选项反推验证 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 利用对称解决光线反射问题的方法 　　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线上任一点关于法线对称的点都在反射光线上．利用点的对称关系可以求解． 角度2　利用对称解决有关最值问题 （2026•淮安月考）在直线l：x－y－1=0上求两点P，Q．使得： （1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大； （2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小． 【破题思维】 题目信息 信息解读 （1）在直线l：x－y－1=0上找一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大 联想到三角形三边关系（距离差的最值）：若两点在直线同侧，距离差的最大值为两点间距离；若在异侧，先找其中一点关于直线的对称点，转化为同侧情况 （2）在直线l：x－y－1=0上找一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小 联想到两点之间线段最短（距离和的最值）：若两点在直线异侧，距离和的最小值为两点间距离；若在同侧，先找其中一点关于直线的对称点，转化为异侧情况 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 利用对称性求距离最值问题的方法 　　要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之和（差）的最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决．即： （1）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之和最小的点，只需作A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），得直线A′B（或AB′）的方程，再求其与直线l的交点即可； （2）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需求出直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可； （3）若两点A，B位于直线l的异侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需作A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），得直线A′B（或AB′）的方程，再求其与直线l的交点即可． 1.一条光线从点A（－1，3）射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B（3，1），则点P的坐标为（　　） A．（0，0）　 　B．（1，0） C．（2，0）　 　D．（3，0） 2.（2026•常州月考）已知直线l：x－2y＋8=0和两点A（2，0），B（－2，－4），在直线l上求一点P，使|PB－PA|最大． 1.点A（－3，1），C（1，y）关于点B（－1，－3）对称，则y的值为（　　） A．－5　 　B．－6 C．－7　 　D．－8 2.点（3，9）关于直线x＋3y－10=0对称的点的坐标是（　　） A．（－1，－3）　 　B．（17，－9） C．（－1，3）　 　D．（－17，9） 3.直线x－2y－1=0关于直线y－x=0对称的直线方程是（　　） A.2x－y＋1=0　 　B.2x＋y－1=0 C.2x＋y＋1=0　 　D．x＋2y＋1=0 4.一束光线从原点O（0，0）出发，经过直线l：8x＋6y=25反射后通过点P（－4，3），求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 完成课后作业　第一章　培优课 答案 培优课　对称问题 【例1】　解：（1）根据题意可知点A（a，b）为PP'的中点，设点P'的坐标为（x，y）， 则根据中点坐标公式， 得所以 所以点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）. （2）法一　设直线l上任意一点M的坐标为（x，y），则此点关于点（2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y）， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A（0，－4），B（1，－1）， 则点A（0，－4）关于点（2，－1）的对称点为A1（4，2）， 点B（1，－1）关于点（2，－1）的对称点为B1（3，－1）. 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0（c≠－4）. 在直线3x－y－4＝0上取一点（0，－4）， 则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3x－y＋c＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 跟踪训练 1.（7，6）　解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），∴解得x＝7，y＝6，∴点B的坐标为（7，6）. 2.－10　解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M（－1，0），N（0，－2），M，N关于点P（1，0）对称的点分别为M1（3，0），N1（2，2）.∵点M1（3，0），N1（2，2）在直线l2：4x＋by＋c＝0上，∴12＋c＝0，8＋2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，∴b＋c＝－10. 【例2】　解：（1）设点P关于直线l的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，即解得 所以点P'的坐标为（－2，7）. （2）解方程组得 则点（－，－）在所求直线上. 在直线y＝x－2上任取一点M（2，0）， 设点M关于直线l的对称点为M'（x0，y0）， 则解得 点M'（－，）也在所求直线上. 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. 跟踪训练 解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离. 由两条平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5或m＝3（舍去）. 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），于是有解得即点M'的坐标为（4，－1）. 把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 【例3】　B　设A（－2，1）关于直线2x－y＋10＝0的对称点为C（x，y），则解得即C（－6，3），所以反射光线所在直线方程为y－3＝·（x＋6），即3x－y＋21＝0.故选B. 【例4】　解：（1）如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0， ① ∵BB'的中点（，）在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0. ② 由①②得 ∴点B'的坐标为（5，－1）. 于是AB'所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知｜PB－PA｜＝｜PB'－PA｜，当且仅当P，B'，A三点共线时，｜PB'－PA｜最大. ∴联立直线l与AB'的方程，解得x＝，y＝， 即直线l与AB'的交点坐标为（，）. 故点P的坐标为（，）. （2）如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为（1，2）， ∴AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知QA＋QC＝QA＋QC'，当且仅当Q，A，C'三点共线时，QA＋QC'最小. ∴联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝， 即直线AC'与l的交点坐标为（，）. 故点Q的坐标为（，）. 跟踪训练 1.C　由题可得B（3，1）关于x轴的对称点为B'（3，－1），则直线AB'的方程为＝，可得y＝－x＋2，令y＝0，可得x＝2，所以点P（2，0）. 2.解：易知A，B两点在直线l的同侧， 当且仅当A，B，P三点共线时，｜PB－PA｜取得最大值， 又直线AB的方程为y＝x－2， 则得 故所求的点P的坐标为（12，10）. 随堂检测 1.C　2.A　3.A 4.解：如图，设原点关于l的对称点A的坐标为（a，b）， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 解得∴A的坐标为（4，3）. ∴反射光线的反向延长线过A（4，3）， 又由反射光线过P（－4，3），A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度，由A（4，3），P（－4，3）知，AP＝4－（－4）＝8，即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $