1.5.2 第1课时 点到直线的距离(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦“点到直线的距离”，引导学生探索并掌握距离公式，会求两条平行直线间的距离。课堂通过“仓库到铁路最短距离”情境导入，将实际问题转化为点与直线的位置关系，衔接直线方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化设计培养直观想象，通过定义解析、公式推导及典例研析（含一题多解）提升数学运算能力，自我诊断与随堂检测助力学生自主探究。题型覆盖公式应用、参数求解及最值问题，符合用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考问题的核心素养，有效落实课标要求。

1.5.2　点到直线的距离 课标 要求 1.探索并掌握点到直线的距离公式（直观想象、数学运算）． 2.会求两条平行直线间的距离（直观想象、数学运算）． 第1课时　点到直线的距离 在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P． 【问题】　怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　点到直线的距离 1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是　　　　． 2.图示： 3.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0）的距离d=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【想一想】 　点到直线的距离公式对于A=0或B=0时的直线是否仍然适用？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C=0上时，点到直线的距离公式就不适用了．（　　） （2）点P（x0，y0）到直线y=kx＋b的距离为．（　　） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．（　　） 2.点（1，－1）到直线x－y＋1=0的距离d=（　　） A．　 　B． C．　 　D． 3.点P（3，－2）到直线x=4的距离为　　　　． 题型一　点到直线的距离公式 （链接教科书第39页例4）已知点P（3，－2），则： （1）点P到直线y=x＋的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； （2）〔一题多解〕点P到直线y=6的距离为　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d=|x0－a|或d=|y0－b|． 1.原点到直线y=－x＋的距离为（　　） A.1 　B．C.2　 　D.3 2.（2026•苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6=0的距离为6，则点P的坐标为　　　　． 题型二　点到直线的距离公式的简单应用 〔一题多解〕已知直线l过点M（－1，2），且点A（2，3），B（－4，5）到l的距离相等，求直线l的方程． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 点到直线距离公式的应用 （1）若已知点到直线的距离，求相关参数的值，可利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程求解； （2）若已知点到直线的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求解未知量，注意该类问题对应的几何图形与解的个数之间的关系． 1.已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3=0的距离为1，则a=（　　） A．　 　B.2－ C．－1　 　D．＋1 2.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程． 题型三　定点到直线上动点（或动直线）距离的最值问题 （链接教科书第42页习题6题）（1）已知O为原点，点P在直线x＋y－1=0上运动，那么OP的最小值为（　　） A．　 　B.1 C．　 　D.2 （2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m=0的距离最大时，m的值是　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　解决直线上动点到定点的距离或定点到动直线的距离最值问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 1.动点P（x，y）在直线x＋y－4=0上，O为原点，则OP最小时点P的坐标为　　　　． 2.若动直线l经过点P（1，3），当点Q（3，－3）到直线l的距离最远时，直线l的方程为　　　　． 1.点（1，2）到直线y=2x＋1的距离为（　　） A．　　　　　　 　B． C．　 　D．2 2.已知点M（1，4）到直线l：mx＋y－1=0的距离等于1，则实数m=（　　） A．－2　 　B．－ C．　 　D．2 3.已知点M（1，2），点P（x，y）在直线2x＋y－1=0上，则MP的最小值是（　　） A．　 　B． C．　 　D．3 4.求与直线3x－4y＋1=0垂直，且与点（－1，－1）距离为2的直线方程． 完成课后作业　第一章　1.5　1.5.2　第1课时 答案 第1课时　点到直线的距离 【基础落实】 新知初探 知识点 1.垂足 3. 想一想 提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直线的距离. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.A　3.1 【典例研析】 【例1】　（1）　（2）8　解析：（1）把方程y＝x＋化为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得点P（3，－2）到直线y＝x＋的距离d＝＝. （2）法一　把方程y＝6化为0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得所求距离d＝＝8. 法二　因为直线y＝6平行于x轴，所以所求距离d＝｜6－（－2）｜＝8. 跟踪训练 1.B　直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原点到直线y＝－x＋的距离为＝. 2.（8，0）或（－12，0）　解析：设点P的坐标为（x，0），则＝6，解得x＝8或x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）. 【例2】　解：法一　当过点M（－1，2）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1， 此时点A（2，3）与点B（－4，5）到直线l的距离相等， 故x＝－1满足题意； 当过点M（－1，2）的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y－2＝k（x＋1）， 即kx－y＋k＋2＝0. 由点A（2，3）与B（－4，5）到直线l的距离相等， 得＝， 解得k＝－， 此时l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋3y－5＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 法二　由题意得l∥AB或l过线段AB的中点. 当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl， 则kl＝kAB＝＝－， 此时直线l的方程为y－2＝－（x＋1）， 即x＋3y－5＝0. 当l过AB的中点（－1，4）时，结合已知条件得直线l的方程为x＝－1. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 跟踪训练 1.C　由点到直线的距离公式得＝＝1，即｜a＋1｜＝.∵a＞0，∴a＝－1. 2.解：由题意知，若截距为0， 则设所求直线l的方程为y＝kx（k≠0）. 由题意知＝，解得k＝1或k＝－7， 此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0. 若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0（a≠0）. 由题意知＝，解得a＝2或a＝6， 此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 【例3】　（1）A　（2）－1　解析：（1）OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝. （2）直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m（x－2），由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，结合图象（图略）可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线的距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 跟踪训练 1.（2，2）　解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，即OP所在的直线方程为y＝x.由解得即点P的坐标为（2，2）. 2.x－3y＋8＝0　解析：∵直线l经过P（1，3），∴当Q（3，－3）与直线l的距离最远时有PQ⊥l，又PQ的斜率为＝－3，故直线l的斜率为，用点斜式求得直线l的方程为y－3＝（x－1），即x－3y＋8＝0. 随堂检测 1.A　2.B　3.B 4.解：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.则＝2，即｜C－7｜＝10.解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $