6.5 正态分布(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案围绕正态分布展开，核心知识点包括正态分布密度函数、正态曲线性质、均值方差及3σ原则。课堂通过高斯与正态分布的历史背景及问题导入，衔接连续型随机变量知识，为理解正态分布特征搭建学习支架。 资料特色在于融合数学抽象与直观想象，通过“想一想”“自我诊断”引导学生抽象概念，借助正态曲线图像直观理解性质。题型涵盖概念辨析、概率计算及实际应用，培养数学运算与数学建模能力，习题分层且解析详细，助力学生自主学习与教师教学评估。

§5　正态分布 课标 要求 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征（数学抽象、直观想象）. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义（数学建模、数学运算）. 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线. 【问题】　你知道什么是正态分布吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正态分布 1.正态分布与正态曲线 （1）由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞），其中实数μ，σ（σ＞0）为参数，这一类随机变量X的　　　　称为正态分布密度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线； （2）若X～N（μ，σ2），则EX＝　　　　，DX＝　　　　. 2.正态曲线的性质 （1）曲线在　　轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线　　　　对称； （3）曲线的最高点位于　　　　处； （4）当x＜μ时，曲线　　　　；当x＞μ时，曲线　　　　；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. 提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图2. 【想一想】 若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？ 知识点二　3σ原则 1.假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N＋，P（μ－kσ＜X≤μ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地， P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 2.在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取区间（μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则. 【想一想】 怎样正确理解在3σ原则下小概率事件（一般情况下，指发生的概率小于0.27％的事件）是否能够发生？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.（　　） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（　　） （3）正态曲线可以关于直线x＝0对称.（　　） （4）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝.（　　） 2.设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－1），则c＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝　　　　，方差σ2＝　　　　. 4.在正态分布N中，数据落在（－2，2]内的概率为　　　　. 题型一　正态密度曲线的概念与性质 （1）〔多选〕一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是（　　） A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 （2）已知正态曲线的函数解析式为φ（x）＝（x∈R），则均值为μ＝　　 　，σ＝　　 　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 由正态曲线确定均值与方差的方法 　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置. 〔多选〕下面关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（　　） A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x＞μ时，曲线下降，当x＜μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 题型二　利用正态分布的性质求概率 设ξ～N（1，22），试求： （1）P（－1≤ξ≤3）； （2）P（3≤ξ≤5）. 尝试解答 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，求P（ξ＞5）. 通性通法 利用正态分布的对称性求概率 　　由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等. 1.随机变量X～N（8，σ2），若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（　　） A.0.6　 　 B.0.5 C.0.4　 　 D.0.3 2.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，则P（1＜X＜3）＝（　　） A.0.1　 　 B.0.2 C.0.3　 　 D.0.4 题型三　正态分布的实际应用 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（90，100）. （1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110]上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100]间的考生大约有多少人？ 尝试解答 通性通法 正态曲线的应用及求解策略 　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想. 有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 1.下列函数是正态密度函数的是（　　） A.f（x）＝（μ，σ＞0） B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 2.已知随机变量X服从正态分布N（11，σ2），且P（X≤a－2）＝P（X≥a＋2）＝0.3，则P（9＜X＜11）＝（　　） A.0.2　　 B.0.4　　 C.0.3　　 D.0.6 3.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈68.26％，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈95.44％） A.4.56％ B.13.59％ C.27.18％ D.31.74％ 4.〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.σ1＝σ2 B.μ1＞μ3 C.μ1＝μ2 D.σ2＜σ3 5.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）.若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为　　　　. 完成课后作业　第六章　§5 答案 §5　正态分布 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.（1）分布密度（函数）　（2）μ　σ2 2.（1）x　（2）x＝μ　（3）x＝μ　（4）上升 下降 想一想 提示：若X～N（μ，σ2），则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义： P（a≤X≤b）为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量. 知识点二 想一想 提示：（1）这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的； （2）当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.27%的犯错的可能. 自我诊断 1.（1）×　 （2）×　（3）√　 （4）√ 2.B　由正态曲线的对称性可知c＋1＋c－1＝2×2，得c＝2. 3.20　2　解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝（）2＝2. 4.0.997 3　解析：由题可得μ＝0，σ＝，P（－2＜X≤2）＝P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 【典例研析】 【例1】　（1）BCD　（2）2　3　解析：（1）由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. （2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3. 跟踪训练 ABD　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. 【例2】　解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2. （1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2） ＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. （2）∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1）， ∴P（3≤ξ≤5）＝[P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）] ＝[P（1－4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）] ＝[P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）] ≈（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9. 母题探究 解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝[1－P（－3≤ξ≤5）] ＝[1－P（1－4≤ξ≤1＋4）] ＝[1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）] ≈（1－0.954 5）＝0.022 75. 跟踪训练 1.D　∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选D. 2.C　P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－0.2＝0.3. 【例3】　解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10. （1）由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间（70，110]内的概率约为0.954 5. （2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间（μ－σ，μ＋σ]内取值的概率约为0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间（80，100]内的概率约为0.682 7，一共有2 000名考生，所以考试成绩在（80，100]间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365（人）. 跟踪训练 解：（1）∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. （2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）. 随堂检测 1.B　正态密度函数为f（x）＝，其中指数部分的σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中有两处错误，分别是σ错写为和指数为正；选项C中由系数可得σ＝2，由指数可得σ＝，显然不符合题意；选项D中指数为正，不符合题意. 2.A　由题意得＝11，解得a＝11.因为P（X≤9）＝0.3，所以P（9＜X＜11）＝0.5－0.3＝0.2.故选A. 3.B　P（3＜ξ＜6）＝[P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）]≈（95.44%－68.26%）＝13.59%.故选B. 4.AD　根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠右，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越高瘦，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. 5.0.8　解析：易得P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2），故P（0＜X＜2）＝2P（0＜X＜1）＝2×0.4＝0.8. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $