6.5 正态分布(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 以3σ原则和对称性为核心方法，构建“概念辨析-性质应用-实际建模”的知识逻辑链，强化正态分布参数意义与概率计算的系统训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|3σ原则应用、对称性分析、参数意义辨析|从正态分布定义出发，通过参数μ,σ²的几何意义（曲线对称轴、峰值）构建性质理解，结合选择填空强化概念辨析| |综合运用|4题|实际问题概率建模、图像信息提取|以工厂质量监控、测量误差等情境为载体，通过解答题训练3σ原则与对称性在复杂问题中的综合应用，体现模型观念与推理能力|

§5　正态分布 1.关于正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　） A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C．随机变量落在［－3σ，3σ］之外是一个小概率事件 D．随机变量落在［μ－3σ，μ＋3σ］之外是一个小概率事件 2.已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）=0.5，则实数a的值为（　　） A.1　　 B．　　 C.2　　　 D.4 3.已知随机变量X的正态密度函数为φ（x）=（x∈R），则其均值和标准差分别是（　　） A.0和8　　 B.0和4 C.0和2　　 D.0和1 4.工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的重量X（单位：千克）服从正态分布N（20，），若P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3，则n的最小值为（　　） A．120　 B．144 C．150　 D．160 5.〔多选〕已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态曲线如图所示，则（　　） A．乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中 C．甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小 D．乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中 6.〔多选〕随机变量X服从正态分布N（90，52），则下列结论正确的是（　　） A．EX=90 B．DX=5 C．P（X＞100）=P（X＜80） D．P（X≥90）= 7.已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x=　　　　时达到最高点． 8.已知随机变量ξ~N（3，σ2），且=，则P（3＜ξ＜5）=　　　　． 9.某工厂生产了10 000根钢管，其钢管内径X（单位：mm）近似服从正态分布N（20，σ2）（σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05 mm的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为　　　　． 10.已知随机变量X~N（μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋∞）上下降，且P（72＜X≤88）=0.682 6. （1）求参数μ，σ的值； （2）求P（64＜X≤72）． 11.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X（单位：mm）服从正态分布X~N（100，1）．现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0，X~N（μ，σ2），有P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.954，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（　　） A．　 　 B．　　 C．　　 D． 12.〔多选〕若随机变量ξ~N（0，1），φ（m）=P（ξ≤m），其中m＞0，则下列等式成立的是（　　） A．φ（－m）=1－φ（m） B．φ（2m）=2φ（m） C．P（|ξ|＜m）=2φ（m）－1 D．P（|ξ|＞m）=2－φ（m） 13.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn~N，为使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 4，至少要测量　　　次（若X~N（μ，σ2），则P（|X－μ|＜2σ）=0.954 4）． 14.已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N（200，182）． （1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率； （2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是否符合这个要求？（精确到0.000 1） §5　正态分布 1.D　∵P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3，∴P（X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ）＝1－P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈1－0.997 3＝0.002 7，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件. 2.A　因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以P（X＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1. 3.C　将所给函数解析式与正态密度函数的解析式对照可得μ＝0，σ＝2. 4.B　由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3时，[μ－3σ，μ＋3σ]⊆[19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝，所以0.05≥3，解得n≥144，所以n的最小值为144.故选B. 5.BC　由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选B、C. 6.ACD　由随机变量X服从正态分布N（90，52），得正态曲线的对称轴为直线x＝μ＝90，如图所示，则EX＝90，故A正确；标准差为5，方差为25，故B错误；由正态曲线的对称性得P（X＞100）＝P（X＜80），P（X≥90）＝，故C、D正确. 7.0.2　解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2. 8.0.3　解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又＝，所以＝.又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3. 9.4 800　解析：∵P（X＜19.95）＝P（X＞20.05）＝，∴P（19.95≤X≤20.05）＝1－＝，∴P（19.95≤X≤20）＝，故这批钢管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为10 000×＝4 800. 10.解：（1）由于正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋∞）上下降，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P（72＜X≤88）＝0.682 6. 结合P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.682 6，可知σ＝8. （2）因为P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝P（64＜X≤96）＝0.954 4. 又因为P（X≤64）＝P（X＞96），所以P（X≤64）＝×（1－0.954 4）＝×0.045 6＝0.022 8. 所以P（X＞64）＝0.977 2. 又P（X≤72）＝[1－P（72＜X≤88）]＝×（1－0.682 6）＝0.158 7，所以P（X＞72）＝0.841 3， P（64＜X≤72）＝P（X＞64）－P（X＞72）＝0.135 9. 11.B　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间（97，103）内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝. 12.AC　∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线如图所示.∵φ（m）＝P（ξ≤m），m＞0，∴φ（－m）＝P（ξ≥m）＝1－φ（m），∴A正确；φ（2m）＝P（ξ≤2m），2φ（m）＝2P（ξ≤m），∴φ（2m）≠2φ（m），故B错误；P（｜ξ｜＜m）＝P（－m＜ξ＜m）＝1－2φ（－m）＝1－2[1－φ（m）]＝2φ（m）－1，∴C正确；P（｜ξ｜＞m）＝P（ξ＞m或ξ＜－m）＝1－φ（m）＋φ（－m）＝1－φ（m）＋1－φ（m）＝2－2φ（m），∴D错误.故选A、C. 13.32　解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 4，则（μ－2σ，μ＋2σ）⊂（－0.5，0.5）且μ＝0，σ＝，所以0.5≥2⇒n≥32. 14.解：（1）由X～N（200，182），知μ＝200，σ＝18， 而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ， ∴P（182≤X≤218）≈0.682 7. 又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218）， 由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218）， ∴P（X＜182）≈×（1－0.682 7）≈0.158 7.∴P（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 7＝0.841 3. 故所求的概率为0.841 3. （2）由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ， ∴P（164≤X≤236）≈0.954 5. 又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1， ∴P（X＜164）≈×（1－0.954 5）≈0.022 8， ∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977 2＞0.95. 故这批材料符合这个要求. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $