1.5.2 第2课时 两平行直线间的距离(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦“两平行直线间的距离”，通过工程中平行水管接通最省材料的情境导入，引导学生理解距离定义，公式推导承接点到直线距离知识，构建从实际问题到数学概念的学习支架。 资料以情境化设计培养数学眼光，通过公式应用、最值问题等分层题型发展数学思维，自我诊断与跟踪训练强化数学语言表达，助力学生高效掌握知识，适合课堂教学与自主学习使用。

第2课时　两平行直线间的距离 图中的a，b是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通． 【问题】　你认为选用哪根水管最节省材料？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　两条平行直线间的距离 1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的　　　　　　的长． 2.图示： 3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1=0与l2：Ax＋By＋C2=0（A，B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d=　　　　　　　． 提醒：（1）两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离；（2）运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离．（　　） （2）若直线l1：x＋y－1=0上有A（1，0），B（0，1），C（－1，2）三点，则点A，B，C到直线l2：x＋y＋1=0的距离相等．（　　） （3）已知直线l1：x=x1，l2：2x=x2，则直线l1，l2间的距离为|x2－x1|．（　　） 2.已知直线l1：3x－y＋3=0与l2：3x－y＋C=0之间的距离为，则C=（　　） A.13　　 B.13或－7 C.7　 D.7或－13 3.已知直线l1：3x－4y＋5=0，l2：3x－4y－10=0，则l1与l2的距离为　　　　． 题型一　两平行直线间的距离公式 （链接教科书第39页例5）（1）若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1=0与l2：x＋y－3=0所截得的线段为AB，则AB的长为（　　） A.1　 　B． C．　 　D.2 （2）分别过点A（－2，1）和点B（3，－5）的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求两平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 已知直线5x＋12y－3=0与直线10x＋my＋20=0平行，则它们之间的距离是（　　） A.1　 　B.2 C．　 　D.4 题型二　两平行直线间距离的简单应用 （1）〔一题多解〕已知直线l与直线l1：2x－y＋3=0和l2：2x－y－1=0的距离相等，则l的方程是　　　　； （2）已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5=0，l2：6x＋by＋c=0间的距离为3，则b＋c=　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 两平行直线间距离公式的应用 （1）若已知两平行直线间的距离求相关参数的值，可利用两平行直线间的距离公式建立关于参数的方程求解； （2）若已知两平行直线间的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利用两平行直线间的距离公式列方程求解未知量，进而得出所求直线方程． 〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1=0和l2：4x＋6y－9=0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　） A．2x＋3y－8=0　 　 B．4x＋6y＋5=0 C．6x＋9y－10=0　 　 D．12x＋18y－13=0 题型三　分别过两定点的动平行直线间距离的最值问题 两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求： （1）d的变化范围； （2）当d取最大值时，两条直线的方程． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 应用数形结合思想求最值 （1）解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决； （2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 　已知直线l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　． 1.直线x－y=0与直线x－y＋2=0之间的距离为（　　） A．　 　B.1 C．　 　D.2 2.（2026•无锡月考）两条平行直线3x＋4y－12=0与ax＋8y＋11=0间的距离为（　　） A．　 　B． C．　 　D． 3.已知P，Q分别为直线3x＋4y－12=0与6x＋8y＋5=0上任意一点，则PQ的最小值为（　　） A．　 　B． C．　 　D． 4.直线l1，l2分别过点M（1，4），N（－3，1），它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是　　　　． 完成课后作业　第一章　1.5　1.5.2　第2课时 答案 第2课时　两平行直线间的距离 【基础落实】 新知初探 知识点 1.公垂线段 3. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）× 2.B　3.3 【典例研析】 【例1】　（1）B　（2）5　解析：（1）由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离公式，得AB＝＝. （2）两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离为d＝｜－2－3｜＝5. 跟踪训练 A　由两条直线平行可得＝，解得m＝24.则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. 【例2】　（1）2x－y＋1＝0　（2）－12或48　解析：（1）法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即｜c－3｜＝｜c＋1｜，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 法二　由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.则直线l的方程为2x－y＋1＝0. （2）将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或48. 跟踪训练 BD　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D. 【例3】　解：（1）如图，显然有0＜d≤AB. 而AB＝＝3. 故所求的d的变化范围为（0，3]. （2）由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3）， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 跟踪训练 x＋2y－3＝0　解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A（1，1），B（0，－1），所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 随堂检测 1.C　2.C　3.C　4.5 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $