1.5.2 第1课时 点到直线的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“点到直线的距离”核心知识点，从铁路与仓库的实际情境引入，通过定义（垂线段长度）、公式（点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)）构建知识体系，衔接直线方程基础，搭建从具体问题到抽象公式的学习支架。 资料以情境探究培养数学眼光，如仓库到铁路距离问题引发思考。一题多解（如求直线方程时考虑斜率与平行情况）发展数学思维，规律方法总结助力数学语言表达。课中通过实例提升教学效率，课后分层练习帮助学生巩固，查漏补缺。

1.5.2　点到直线的距离 课标 要求 1.探索并掌握点到直线的距离公式（直观想象、数学运算）. 2.会求两条平行直线间的距离（直观想象、数学运算）. 第1课时　点到直线的距离 在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 【问题】　怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　点到直线的距离 1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是　垂足　. 2.图示： 3.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d＝　　. 【想一想】 　点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直线的距离. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式就不适用了.（　×　） （2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　×　） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.（　√　） 2.点（1，－1）到直线x－y＋1＝0的距离d＝（　　） A. B. C. 解析：A　由点到直线的距离公式可得d＝＝. 3.点P（3，－2）到直线x＝4的距离为　1　. 解析：因为直线x＝4平行于y轴，所以所求距离d＝｜4－3｜＝1. 题型一　点到直线的距离公式 （链接教科书第39页例4）已知点P（3，－2），则： （1）点P到直线y＝x＋的距离为　　； 解析：把方程y＝x＋化为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得点P（3，－2）到直线y＝x＋的距离d＝＝. （2）〔一题多解〕点P到直线y＝6的距离为　8　. 解析：法一　把方程y＝6化为0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得所求距离d＝＝8. 法二　因为直线y＝6平行于x轴，所以所求距离d＝｜6－（－2）｜＝8. 规律方法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜. 1.原点到直线y＝－x＋的距离为（　　） A.1　　　　B.　 　　　C.2　　 　　D.3 解析：B　直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原点到直线y＝－x＋的距离为＝. 2.（2026·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为　（8，0）或（－12，0）　. 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝6，解得x＝8或x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）. 题型二　点到直线的距离公式的简单应用 〔一题多解〕已知直线l过点M（－1，2），且点A（2，3），B（－4，5）到l的距离相等，求直线l的方程. 解：法一　当过点M（－1，2）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1， 此时点A（2，3）与点B（－4，5）到直线l的距离相等， 故x＝－1满足题意； 当过点M（－1，2）的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y－2＝k（x＋1）， 即kx－y＋k＋2＝0. 由点A（2，3）与B（－4，5）到直线l的距离相等， 得＝， 解得k＝－， 此时l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋3y－5＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 法二　由题意得l∥AB或l过线段AB的中点. 当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl， 则kl＝kAB＝＝－， 此时直线l的方程为y－2＝－（x＋1）， 即x＋3y－5＝0. 当l过AB的中点（－1，4）时，结合已知条件得直线l的方程为x＝－1. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 规律方法 点到直线距离公式的应用 （1）若已知点到直线的距离，求相关参数的值，可利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程求解； （2）若已知点到直线的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求解未知量，注意该类问题对应的几何图形与解的个数之间的关系. 1.已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（　　） A. B.2－ C.－1 D.＋1 解析：C　由点到直线的距离公式得＝＝1，即｜a＋1｜＝.∵a＞0，∴a＝－1. 2.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程. 解：由题意知，若截距为0， 则设所求直线l的方程为y＝kx（k≠0）. 由题意知＝，解得k＝1或k＝－7， 此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0. 若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0（a≠0）. 由题意知＝，解得a＝2或a＝6， 此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 题型三　定点到直线上动点（或动直线）距离的最值问题 （链接教科书第42页习题6题）（1）已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为（　A　） A. B.1 C. D.2 解析： OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝. （2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是　－1　. 解析：直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m（x－2），由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，结合图象（图略）可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线的距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 规律方法 　　解决直线上动点到定点的距离或定点到动直线的距离最值问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的. 1.动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则OP最小时点P的坐标为　（2，2）　. 解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，即OP所在的直线方程为y＝x.由解得即点P的坐标为（2，2）. 2.若动直线l经过点P（1，3），当点Q（3，－3）到直线l的距离最远时，直线l的方程为　x－3y＋8＝0　. 解析：∵直线l经过P（1，3），∴当Q（3，－3）与直线l的距离最远时有PQ⊥l，又PQ的斜率为＝－3，故直线l的斜率为，用点斜式求得直线l的方程为y－3＝（x－1），即x－3y＋8＝0. 1.点（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为（　　） A.　　　 B.　　　 D.2 解析：A　由点到直线的距离公式得d＝＝. 2.已知点M（1，4）到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m＝（　　） A.－2 B.－ C. D.2 解析：B　因为点M（1，4）到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，所以有＝1，解得m＝－. 3.已知点M（1，2），点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是（　　） A. B. C. D.3 解析：B　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为＝. 4.求与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点（－1，－1）距离为2的直线方程. 解：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.则＝2，即｜C－7｜＝10.解得C＝－3或C＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（　　） A.3 B. C.1 D. 解析：B　点P（1，－1）到直线l的距离为d＝－1－＝，故选B. 2.若第二象限内的点M（m，1）到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m＝（　　） A.0 B.－4 C.－4或0 D.0或4 解析：B　由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4. 3.若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是（　　） A.3x＋y±10＝0 B.3x＋y±＝0 C.x－3y±10＝0 D.x－3y±＝0 解析：A　设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0（m≠－2），由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0. 4.点P（x，y）在直线x＋y＝4上，O是坐标原点，则OP的最小值是（　　） A. B. C.2 解析：C　直线x＋y＝4即x＋y－4＝0，OP的最小值即原点O到直线x＋y－4＝0的距离，为＝＝2.故选C. 5.〔多选〕已知点A（－3，－4），B（6，3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为（　　） A.－ B.－ C. 解析：AB　由点到直线的距离公式可得＝，化简得｜3a＋3｜＝｜6a＋4｜，解得a＝－或－. 6.〔多选〕已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为（　　） A.（1，2） B.（3，－4） C.（2，－1） D.（4，－3） 解析：AC　设点P的坐标为（a，5－3a），由题意得＝，解得a＝1或2，所以点P的坐标为（1，2）或（2，－1）. 7.点（4，t）到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则t的取值范围是　[0，10]　. 解析：由题意得≤3，即｜3t－15｜≤15，∴－15≤3t－15≤15，解得0≤t≤10. 8.已知点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到直线y＝x＋1的距离为　2　. 解析：∵点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），∴解得即P（4，1），直线y＝x＋1的一般式方程为x－y＋1＝0.∴所求距离为d＝＝2. 9.经过点P（－3，4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为　x＝－3或7x＋24y－75＝0　. 解析：①当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离为d＝＝3，解得k＝－.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 10.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. （1）若点A（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程； （2）求点A（5，0）到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程. 解：（1）设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0， 所以＝3，解得λ＝或λ＝2， 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. （2）由解得交点为P（2，1）.如图， 过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离， 则d≤PA（当l⊥PA时等号成立）， 所以dmax＝PA＝，此时直线l⊥PA，由kPA＝－，可得kl＝3，又直线l过点P（2，1），则直线l的方程为3x－y－5＝0. 11.点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4，满足条件的直线有（　　） A.一条　　　B.两条 C.三条　 　　D.四条 解析：C　因为点A（5，0），B（1，－4），所以由两点间距离公式可得AB＝＝＝8，则点A（5，0），B（1，－4）到线段AB的垂直平分线的距离都等于4.位于直线AB两侧并与直线AB平行且距离为4的直线各有一条，满足点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4.综上可知，共有三条直线满足点A（5，0），B（1，－4）到直线的距离都是4.故选C. 12.〔多选〕已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使PM＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（　　） A.x－y－1＝0 B.y＝5 C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0 解析：AC　由题意知，“切割型直线”需满足点M（5，0）到直线的距离小于或等于4.点M（5，0）到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝2＜4，故A符合题意；点M（5，0）到直线y＝5的距离为d＝5＞4，故B不符合题意；点M（5，0）到直线4x－3y＝0的距离为d＝＝4，故C符合题意；点M（5，0）到直线2x－y＋1＝0的距离为d＝＝＞4，故D不符合题意.故选A、C. 13.已知直线l：（m＋2）x＋（m－1）y－3m－3＝0，点M（5，4），记M到l的距离为d，则d的取值范围为　[0，3）　. 解析：当m＝－时，直线l：x－y－1＝0过点M（5，4），M到l的距离为d＝0；由直线l：（m＋2）x＋（m－1）y－3m－3＝0，可得m（x＋y－3）＋2x－y－3＝0，由可解得即直线l：（m＋2）x＋（m－1）y－3m－3＝0过定点A（2，1），则MA＝＝3，kMA＝＝1，当直线l：（m＋2）x＋（m－1）y－3m－3＝0与MA垂直时，d＝3最大，令k1＝－＝－1，m的值不存在，即这样的直线l不存在，所以0≤d＜3. 14.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（m，），C（4，2），1＜m＜4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解：AC＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. ∵点B（m，）到直线AC的距离d＝， ∴△ABC的面积S＝AC·d＝｜m－3＋2｜＝｜（－）2－｜. ∵1＜m＜4，∴1＜＜2， ∴0＜｜（－）2－｜≤，0＜S≤， ∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $