第1章 10-专题强化练2 直线系方程及其应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线与方程”专题，核心为直线系方程及其应用。通过复习直线交点、平行垂直判定等基础，以过两直线交点的直线方程为例导入，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于精选名校月考真题，通过一题多解（如联立求交点与直线系参数法）培养数学思维，结合三角形面积分割、正方形边长计算等问题，用数学眼光观察空间形式，以精确数学语言构建模型。助力学生提升解题能力，为教师提供优质教学资源。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练2　直线系方程及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026江苏连云港赣榆海头高级中学月考]已知直线l过直线l1:x-y=0和l2:x+y-2=0的交点,且与直线3x+4y -5=0平行,则l的方程是 (　　　) A.3x+4y+7=0　　　     B.3x+4y-7=0 C.4x-3y+1=0　　　     D.4x-3y-1=0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:联立直线l1,l2的方程,得 解得x=y=1,故直线l1,l2的交点坐标为(1,1), 因为直线l与直线3x+4y-5=0平行,所以可设直线l的方程为3x+4y+m=0(m≠-5), 将点(1,1)的坐标代入直线l的方程可得3+4+m=0,解得m=-7. 因此直线l的方程为3x+4y-7=0. 解法二:设所求直线方程为(x-y)+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-1)y-2λ=0. 因为该直线与直线3x+4y-5=0平行,所以4(1+λ)=3(λ-1),可得λ=-7,经检验符合条件,所以所求直线方程为 3x+4y-7=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026河南开封期中]已知P(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,Q(x2,y2)是l外一点,则下列对方程: ①f(x,y)+f(x2,y2)=0,②f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)的描述中,正确的有 (　　　　) A.①表示的直线是与l重合的直线 B.①表示的直线是不过点Q且与l平行的直线 C.②表示的直线是与l重合的直线 D.②表示的直线是过点Q且与l平行的直线     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为Q(x2,y2)是l外一点,所以可设f(x2,y2)=a,其中a≠0, 所以由f(x,y)+f(x2,y2)=0得f(x,y)+a=0,又f(x2,y2)+a=2a≠0, 故f(x,y)+f(x2,y2)=0表示的是不过点Q且与l平行的直线,B正确; 因为P(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,所以f(x1,y1)=0, 故f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)=0+a=a,又f(x2,y2)=a, 所以f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)表示的是过点Q且与l平行的直线,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026上海华东师范大学第二附属中学月考]已知k∈R,则直线(3k+1)x+(1-4k)y=5k+4和直线(k+4)x+(k- 8)y=12不可能 (　　　) A.平行　　　    B.重合 C.垂直　　　    D.关于x轴对称     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,B,由(3k+1)(k-8)=(1-4k)·(k+4),整理得到7k2-8k-12=0,解得k=2或k=- , 当k=2时,两直线方程均为x-y-2=0,此时两直线重合; 当k=- 时,两直线方程分别为11x-31y-2=0和11x-31y-42=0,此时两直线平行. 对于C,由(3k+1)(k+4)+(1-4k)(k-8)=0,整理得到k2-46k+4=0,又Δ=(-46)2-16>0,所以k2-46k+4=0有实数解,即 存在k值使两直线垂直. 对于D,由(3k+1)x+(1-4k)y=5k+4,得到k(3x-4y-5)+x+y-4=0, 由 解得x=3,y=1,所以直线(3k+1)x+(1-4k)y=5k+4过定点(3,1), 若两直线关于x轴对称,则点(3,-1)必在另一直线上,所以3(k+4)-k+8=12, 得到k=-4,此时两直线方程分别为11x-17y-16=0和y=-1,显然两直线不关于x轴对称. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖北随州曾都第一中学月考]已知过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:mx+y-4 +2m=0交于点P(P不与A,B重合,m∈R),有以下命题:①AB=5;②PA2+PB2为定值;③S△PAB的最大值为 ;④ PA+PB的最大值为5 ,其中真命题的个数为 (　　　) A.1　　　    B.2 C.3　　　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由x-my+m-2=0,得(x-2)-m(y-1)=0,由 得 即A(2,1). 由mx+y-4+2m=0,得m(x+2)+(y-4)=0,由 得 即B(-2,4). 易得AB= =5. 对于直线l1:x-my+m-2=0和直线l2:mx+y-4+2m=0,因为1×m+(-m)×1=0, 所以l1⊥l2,(垂直关系是解题的关键) 所以PA⊥PB,所以PA2+PB2=AB2=25,为定值. S△PAB= PA·PB≤ × = ,当且仅当PA=PB= 时取等号. 因为(PA+PB)2≤2(PA2+PB2)=50,所以PA+PB≤5 ,当且仅当PA=PB= 时取等号,即PA+PB的最大值 为5 . 综上,知命题①②为真命题,③④为假命题,所以真命题的个数为2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026北京第二中学期中]已知点A(-2,0),B(2,0),C(0,2),直线y=ax+2a将△ABC分割为面积相等的两部 分,则实数a的值是_________. 解析　∵y=ax+2a=a(x+2), ∴直线y=ax+2a过定点(-2,0),即过定点A(-2,0), 又直线y=ax+2a将△ABC分割为面积相等的两部分, ∴直线y=ax+2a必过线段BC的中点(1,1)(解题关键), ∴a+2a=1,解得a= . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026天津滨海新区塘沽第一中学月考]设直线l经过直线2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴 围成等腰直角三角形,则直线l的方程为________________________.     x-y-4=0或x+y-24=0     解析　设直线l的方程为2x-3y+2+λ(3x-4y-2)=0,整理得(2+3λ)x-(3+4λ)y+2-2λ=0,令x=0,得y= ,令y=0, 得x=- , 依题意得 = ,即 =±1, 解得λ=-1或λ=- , 所以直线l的方程为x-y-4=0或x+y-24=0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026北京中国人民大学附属中学期中]在平面直角坐标系中,已知一个正方形四条边所在的直线l1,l2, l3,l4分别经过点A(1,0),B(2,0),C(4,0),D(8,0),且l1的斜率为正数,给出下列三个结论: ①若l1∥l2,则该正方形的面积是 ; ②若l1⊥l2,则该正方形的面积是 ; ③若该正方形的面积为 ,则l1的斜率为2. 其中正确结论的序号是_______. 　①③     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为l1∥l2,直线l1,l2分别经过点A(1,0),B(2,0),且l1的斜率为正数,所以可设l1:y=k(x-1),l2:y=k(x-2),k>0, 根据题意可知l3,l4的斜率为- , 又l3,l4分别经过C(4,0),D(8,0), 所以l3:y=- (x-4),l4:y=- (x-8), 由题知l1,l2之间的距离等于l3,l4之间的距离, 即 = ,解得k=4(舍负),故该正方形的边长为 = = , 则该正方形的面积为 = ,故①正确. 第1讲　描述运动的基本概念 根据l1⊥l2及题意可知,若l1∥l3,l2∥l4,设l1:y=k1(x-1),l2:y=- (x-2),k1>0,则l3:y=k1(x-4),l4:y=- (x-8), 由题知l1,l3之间的距离等于l2,l4之间的距离, 即 = ,解得k1=2(舍负),故该正方形的边长为 = = , 则该正方形的面积为 = ; 若l1∥l4,l2∥l3,设l1:y=k2(x-1),l2:y=- (x-2),k2>0,则l3:y=- (x-4),l4:y=k2(x-8), 由题知l1,l4之间的距离等于l2,l3之间的距离, 第1讲　描述运动的基本概念 即 = ,解得k2= (舍负),故该正方形的边长为 = , 则该正方形的面积为 = ,故②不正确. 由上述分析可知,若该正方形的面积为 ,则l1的斜率为2,故③正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025福建福州期中]在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答. ①与直线x-2y+5=0垂直;②过点(2,-3);③与直线2x+y+2=0平行. 问题:已知直线l过点P(1,-1),且_______. (1)求直线l的一般式方程; (2)已知M(3,-1),O为坐标原点,在直线l上找一点N,使得MN-ON最大,并写出点N的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)选择①与直线x-2y+5=0垂直.可设直线l的方程为2x+y+m=0,因为直线l过点P(1,-1),所以2×1-1+ m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0. 选择②过点(2,-3).因为直线l过点P(1,-1),点(2,-3),所以直线l的斜率k= =-2,所以直线l的方程为y+1=- 2(x-1),整理得2x+y-1=0. 选择③与直线2x+y+2=0平行.可设直线l的方程为2x+y+m=0(m≠2), 因为直线l过点P(1,-1),所以2×1-1+m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0. (2)设点O关于直线l的对称点为Q(x,y), 则 解得 所以Q , 显然MN-ON=MN-QN≤QM, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当Q,N,M三点共线时取等号, 又直线QM的斜率kQM= =- ,故直线QM的方程为y+1=- (x-3),即y=- x+ , 联立 解得 所以当点N的坐标为 时,MN-ON最大. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　直线系与三角函数结合考查定值问题 9.[2026湖南天一大联考]直线系是具有某一共同性质的直线的集合,通常用含参数的直线方程来表示, 当参数取不同值时,方程表示该直线系中的某一条直线.已知l1,l2是直线系A:xsin α-ycos α+2-sin α=0(α∈ [0,2π))中的两条不同直线,若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为_________.     4     解析    方程xsin α-ycos α+2-sin α=0可改写为(x-1)sin α-ycos α+2=0,无论α取何值,点(1,0)到直线系中的直 线的距离d= =2,为定值,因为l1∥l2,所以l1,l2之间的距离为4. 第1讲　描述运动的基本概念 $