1.5.1 平面上两点间的距离(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦平面上两点间的距离公式，通过公路同侧两小区建公交站点的情境导入引发思考，引导学生从实际问题出发探索公式推导，再通过典例应用与坐标法证明，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化设计培养直观想象，典例研析结合一题多解提升数学运算与逻辑推理能力，自我诊断、跟踪训练及随堂检测形成完整学习闭环，助力学生自主构建知识，发展数学思维与应用意识。

1.5.1　平面上两点间的距离 课标要求 探索并掌握平面上两点间的距离公式（直观想象、数学运算、逻辑推理）． 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行． 【问题】　如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　两点间的距离公式 条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 结论 P1P2=　　　　　　　　　　 特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离OP=　　　　　 提醒：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直线P1P2平行于x轴时，P1P2=|x2－x1|；当直线P1P2平行于y轴时，P1P2=|y2－y1|． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点P1（0，a），点P2（b，0）之间的距离为a－b．（　　） （2）当A（x1，y1），B（x2，y2）两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．（　　） （3）已知A（a，0），B（0，b），则线段AB的中点坐标为（，）．（　　） 2.已知A（－2，3），B（－2，－3），则AB=（　　） A．2　　 　B．4　　 C．6　　 　D．10 3.已知点A（－2，－1），B（a，3），且AB=5，则a的值为（　　） A.1　 　 B．－5 C.1或－5　 　 D．－1或5 题型一　两点间的距离公式 （链接教科书第34页例1（1））（1）直线y=x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ=（　　） A．4　　 　B．4　 　C．2　　 　 D．2 （2）已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（4，3），M是BC边上的中点，则AM=　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.求两点间距离的方法 首先根据题目条件确定点的坐标，再代入两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确． 2.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点M坐标为（，）． 　已知△ABC的顶点为A（2，3），B（－1，0），C（2，0），则△ABC的周长为　　　　． 题型二　两点间距离公式的应用 （链接教科书第34页例1（2））（1）已知点P（a，2），A（－2，－3），B（1，1），若PA=PB，则a=　　　　； （2）〔一题多解〕已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B（3，－3），C（1，7），试判断△ABC的形状． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.判断三角形形状的解题策略 （1）先采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向； （2）根据两点间的距离公式分别求出三边的长，确定是等腰、等边、还是直角三角形． 2.由两点间的距离求参数值（范围），一般可将条件转化为含参数的方程或不等式（方程组或不等式组）求解． 1.已知点M（－1，4），N（7，0），y轴上一点P满足PM=PN，则点P的坐标为（　　） A．（0，－3）　 　B．（0，－4） C．（0，－6）　 　D．（0，－7） 2.在已知直线2x－y=0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5，则直线PM的方程为　　　　． 题型三　坐标法的应用 （链接教科书第36页例3）在△ABC中，AD是BC边上的中线，试建立适当的直角坐标系，求证：AB2＋AC2=2（AD2＋DC2）． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 利用坐标法解平面几何问题的四个步骤 （1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； （2）用坐标表示有关的点； （3）将几何关系转化为坐标运算； （4）把代数运算结果“翻译”成几何关系． 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：AC=BD． 1.已知点（x，y）到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是（　　） A．x2－y2=1　 　B．x2＋y2=0 C．=1　 　D．=0 2.A（2，1），B（4，2）两点间的距离为（　　） A．3　 　B．3 C．　 　D．2 3.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x=　　　　． 4.已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（2，3），求BC边上的中线长． 完成课后作业　第一章　1.5　1.5.1 答案 1.5.1　平面上两点间的距离 【基础落实】 新知初探 知识点 　 自我诊断 1.（1）×　 （2）×　（3）√ 2.C　3.C 【典例研析】 【例1】　（1）B　（2）2　解析：（1）由题意得P（1，1），Q（5，5），∴PQ＝＝4. （2）由B（－2，－1），C（4，3），∴M点的坐标为（1，1），故AM＝＝2. 跟踪训练 6＋3　解析：AB＝＝3，BC＝＝3，AC＝＝3，故△ABC的周长为3＋3＋3＝6＋3. 【例2】　（1）－　解析：因为点P（a，2），A（－2，－3），B（1，1），且PA＝PB，则＝，解得a＝－. （2）解：法一　∵AB＝＝2， AC＝＝2， 又BC＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝2， AB＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形. 跟踪训练 1.B　由于点P在y轴上，设P（0，b），又M（－1，4），N（7，0），PM＝PN，∴＝，解得b＝－4.故点P的坐标为（0，－4），故选B. 2.4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0 解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a），∴＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，∴点P的坐标为（2，4）或（，）.∴直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 【例3】　证明：以BC边所在直线为x轴，D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A（b，c），C（a，0）， 则B（－a，0）. 因为AB2＝（a＋b）2＋c2， AC2＝（a－b）2＋c2， AD2＝b2＋c2，DC2＝a2， 所以AB2＋AC2＝2（a2＋b2＋c2）， AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2， 所以AB2＋AC2＝2（AD2＋DC2）. 跟踪训练 证明：如图所示，建立平面直角坐标系， 设A（0，0），B（a，0），C（b，c）， 则点D的坐标是（a－b，c）. ∴AC＝＝， BD＝＝. 故AC＝BD. 随堂检测 1.C　2.C　3.9或－5 4.解：BC的中点坐标为（0，1）， 则BC边上的中线长为 ＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $