1.5.1平面上两点间的距离 同步练习 - 2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** “平面上两点间的距离”同步练通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，实现从公式直接应用到复杂情境问题解决的知识进阶，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|两点间距离公式直接应用|单选1-3、填空9直接套用公式，强化概念理解| |中档|公式与中点、对称等知识综合|多选7-8结合对称与斜率计算，填空10涉及方程求解，培养推理意识| |拔高|轨迹、最值等复杂情境应用|解答13结合轨迹与最短路径，体现数学建模与创新意识|

1．5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 建议用时：40分钟　答案P18　评价：________ 一、 单项选择题 1 (2025常熟中学月考)若点A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A. B. C. 3 D. 2 2 点M(1，2)关于y轴的对称点N到原点的距离为 (　　) A. 2 B. 1 C. D. 5 3 已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为 (－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A. 2 B. 4 C. 5 D. 4 (2025扬州期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(5，4)，C(2，－2)，则边AB上的中线长为(　　) A. B. 4 C. D. 6 5 (2025新乡月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)，则△ABC的面积是(　　) A. 5 B. 10 C. 10 D. 20 6 (2025北京师大附中期中)已知过原点且倾斜角为θ的直线与直线x＋y－4＝0交于点P，则当θ在区间上变化时，点P的轨迹长度为(　　) A. B. 2 C. 3 D. 2 二、 多项选择题 7 对于，下列说法中正确的是(　　) A. 可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B. 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C. 可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D. 可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 8 (2025海安期中)设a∈R，点A(1，0)，B(2，a)，若AB＝2，则直线AB的斜率可能为(　　) A. － B. － C. D. 三、 填空题 9 已知点A(－3，2)，B(3，－6)，则A，B两点间的距离为________． 10 (2025福州黎明中学期中)已知P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)三点，且PQ＝PM，则实数a的值为________． 11 (2025镇江月考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y＋2－m＝0交于点P(x，y)，则PA＋PB的最大值为________． 四、 解答题 12 已知△ABC的三个顶点的坐标是A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7). (1) 判断△ABC的形状； (2) 求△ABC的面积． 13 (2025盐城月考)已知P，Q是直线l：x－y＋1＝0上的两个动点，且PQ＝，点A(－3，5)，B(1，5)，求AP＋PQ＋QB的最小值． 1．5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 1. D　由题意，得AC＝＝4，CB＝＝2，故＝2. 2. C　由对称性，得点N(－1，2)，所以点N到原点的距离 ON＝＝. 3. D　根据中点坐标公式，得＝1，且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 4. C　设AB的中点为D，根据中点坐标公式可知AB的中点坐标为D(3，3)，则边AB上的中线长即为CD的长度，根据两点间距离公式可知CD＝＝，即边AB上的中线长为. 5. B　易得kAB＝＝，kBC＝＝－3.又因为kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．因为AB＝＝，BC＝＝2，所以△ABC的面积S＝AB·BC＝××2＝10. 6. D　当θ＝时，直线的斜率k＝tan ＝，直线方程为y＝x.联立解得所以点P1的坐标为(1，)；当θ＝时，直线的斜率k＝tan ＝－，直线方程为y＝－x，联立解得所以点P2的坐标为(－2，2)，所以点P的轨迹长度P1P2＝＝2. 7. BCD　＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A错误；B，C，D正确．故选BCD. 8. AD　由题意，得AB＝2＝，解得a＝±，所以直线AB的斜率可能为＝或＝－.故选AD. 9. 10　由题意，得A，B两点间的距离为＝10. 10. －　因为点P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)，且PQ＝PM，所以＝，解得a＝－. 11. 4　由x＋my＋1＝0整理，得my＝－(x＋1)，则恒过定点A(－1，0)；由mx－y＋2－m＝0整理，得y－2＝m(x－1)，则恒过定点B(1，2).又两条直线垂直，所以 PA2＋PB2＝AB2＝(－1－1)2＋(0－2)2＝8，即(PA＋PB)2－2PA·PB＝8，整理得PA·PB＝(PA＋PB)2－4≤(PA＋PB)2，即(PA＋PB)2≤16，解得PA＋PB≤4，当且仅当PA＝PB时取得最大值． 12. (1) 因为点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)， 所以AB＝＝， AC＝＝， BC＝＝， 所以AB＝AC，AB2＋AC2＝BC2， 所以△ABC是等腰直角三角形． (2) 由(1)，得S△ABC＝AB·AC＝××＝26. 13. 不妨设点P(x，x＋1)在点Q的左边， 因为直线l：x－y＋1＝0的倾斜角为45°，且PQ＝， 所以点Q的坐标为(x＋1，x＋2)， 则AP＋PQ＋QB＝＋＋. 记d＝＋， 则可将d理解为直线y＝x上一动点M(x，x)到点D(－3，4)，C(0，3)的距离之和， 如图，作出点C(0，3)关于直线y＝x的对称点C′， 则点C′(3，0)，连接DC′，交直线y＝x于点N， 则CN＋DN即d的最小值， 且CN＋DN＝DN＋C′N＝DC′＝2， 故AP＋PQ＋QB的最小值为2＋. 学科网（北京）股份有限公司 $