6.1.3 全概率公式(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案围绕全概率公式展开，通过“抽签公平性”的生活情境问题导入，承接古典概型知识，将条件概率推广为全概率公式，为贝叶斯公式的学习搭建逻辑支架。 资料以情境化问题驱动学习，分角度示例全概率公式（两个及多个事件）和贝叶斯公式应用，结合数字通信、流感统计等实例设计习题，总结通性通法，培养学生数学抽象与数学运算能力，提升用数学语言解决实际问题的应用意识。

1.3　全概率公式 课标 要求 1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率（数学运算）. 2.了解贝叶斯公式并会运用（数学抽象、数学运算）. 　　 　　学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序.不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样. 【问题】　张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P（Bi）＞0（i＝1，2，…，n），则对任意一个事件A有P（A）＝　　　　　　.称上式为全概率公式. 提醒：全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）·P（B｜An）. 知识点二　贝叶斯公式* 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P（A）＞0，P（Bi）＞0（i＝1，2，…，n），则P（Bi｜A）＝　　　　　　.称上式为贝叶斯公式. 提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 【想一想】 1.怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？ 2.贝叶斯公式的几何意义是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若P（A）＞0，P（）＞0，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）.（　　） （2）若A1，A2，A3互斥且P（A1）＞0，P（A2）＞0，P（A3）＞0，则P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）.（　　） （3）全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω.（　　） （4）贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.（　　） 2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为　　　　. 3.利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分析师分析，最近利率下调的概率为60％，利率不变的概率是40％.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80％，在利率不变的情况下价格上涨的概率为40％.则该金融产品价格上涨的概率为　　　. 4.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为　　　　. 　　 题型一　全概率公式的应用 角度1　两个事件的全概率问题 在数字通信中心，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.分别求接收的信号为0和1的概率. 尝试解答 角度2　多个事件的全概率问题 在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6％，5％，4％的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人，求这个人患流感的概率. 尝试解答 【母题探究】 　（变设问）如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率. 通性通法 1.全概率公式的适用范围 所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. 2.运用全概率公式的一般步骤 （1）求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； （2）求P（Ai）（i＝1，2，…，n）； （3）求P（B｜Ai）（i＝1，2，…，n）； （4）求目标事件的概率P（B）. 1.某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7.若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4∶4∶2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，则他买到的红茶是优质品的概率为 　　　　. 2.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 题型二　贝叶斯公式*的应用 8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（　　） A. B. C. D. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式的应用是互逆的.当结果发生了，求某个原因的概率就用贝叶斯公式. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P（A｜B）＝.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为　　　　. 题型三　全概率公式和贝叶斯公式*的综合应用 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 Ⅰ 0.02 0.15 Ⅱ 0.01 0.80 Ⅲ 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志. （1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； （2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，该次品来自第几家元件制造厂的可能性最大. 尝试解答 通性通法 概率树图法在全概率公式和贝叶斯公式中的应用 对于复杂问题，运用概率树图法比较方便.先根据题意，画出图形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解. 有两箱同种类型的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率. 1.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概率为（　　） A.0.65　 B.0.075　 C.0.145　 D.0 2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　） A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为　　　　. 4.李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5.几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为　　　　. 完成课后作业　第六章　§1　1.3 答案 1.3　全概率公式 【基础落实】 新知初探 知识点一 P（Bi）P（A｜Bi） 知识点二 想一想 1.提示：如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概率为条件概率P（A｜B），而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式. 2.提示：如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P（A｜B）表示原因A在结果B中的比重. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 2.0.8　解析：设B表示一辆汽车中途停车修理，A1表示该车是货车，A2表示该车是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P（A1｜B）＝ ＝＝0.8. 3.0.64　解析：记事件A为“利率下调”，则事件为“利率不变”. 记事件B为“金融产品价格上涨”，根据题意有 P（A）＝0.6，P（）＝0.4，P（B｜A）＝0.8，P（B｜）＝0.4. 因为P（B）＝P（AB∪B）， 所以P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.6×0.8＋0.4×0.4＝0.64. 因此该金融产品价格上涨的概率为0.64. 4.　解析：设A表示“从乙袋中取出的是白球”，Bi表示“从甲袋中取出的2球恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝·＋·＋·＝. 【典例研析】 【例1】　解：设事件A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”，则为“发送的信号为1”，为“接收到的信号为1”.由题意得 P（A）＝P（）＝0.5，P（B｜A）＝0.9，P（｜A）＝0.1，P（B｜）＝0.05，P（｜）＝0.95. P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475， P（）＝1－P（B）＝1－0.475＝0.525. 【例2】　解：设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D为这个人患流感， 所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，P（D｜C）＝0.04， 因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C） ＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051. 故这个人患流感的概率为0.051. 母题探究 解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A，B，所以P（A）＝，P（B）＝， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05， P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝×0.06＋×0.05＝. 故此人患流感的概率为. 跟踪训练 1.0.82　解析：设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得P（A）＝P（B）＝＝0.4，P（C）＝0.2，P（D｜A）＝0.9，P（D｜B）＝0.8，P（D｜C）＝0.7，由全概率公式得P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82，所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82. 2.解：设B表示“从仓库中随机提出的一台是合格品”，A1表示“提出的一台是第1车间生产的产品”，A2表示“提出的一台是第2车间生产的产品”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥，则有B＝A1B∪A2B， 由题意P（A1）＝，P（A2）＝，P（B｜A1）＝0.85，P（B｜A2）＝0.88， 由全概率公式得，P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×0.85＋×0.88＝0.868，即该产品合格的概率为0.868. 【例3】　B　设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P（B1）＝，P（B2）＝，P（A｜B1）＝0.8，P（A｜B2）＝0.3.根据全概率公式得P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝×0.8＋×0.3＝，所以由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝＝＝.故选B. 跟踪训练 　解析：设A1：第一天去甲餐厅，A2：第二天去甲餐厅，B1：第一天去乙餐厅，B2：第二天去乙餐厅， 所以P（A1）＝0.4，P（B1）＝0.6，P（A2｜A1）＝0.6，P（A2｜B1）＝0.5，P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P（A2｜B1）＝0.54，P（B2）＝1－P（A2）＝0.46，P（A1｜B2）＝＝＝＝. 【例4】　解：设A表示取到的是一只次品，Bi（i＝1，2，3）表示所取到的产品是由第i家工厂提供的. 本题的概率树图如下： 易知，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，且有P（B1）＝0.15，P（B2）＝0.80，P（B3）＝0.05， P（A｜B1）＝0.02，P（A｜B2）＝0.01，P（A｜B3）＝0.03. （1）由全概率公式得P（A）＝P（A｜B1）·P（B1）＋P（A｜B2）P（B2）＋P（A｜B3）·P（B3）＝0.012 5. （2）由贝叶斯公式P（B1｜A）＝＝＝0.24. 同理可得P（B2｜A）＝0.64，P（B3｜A）＝0.12.以上结果表明，这只次品来自第Ⅱ家元件制造厂的可能性最大. 跟踪训练 解：设Bi表示第i次取到一等品，i＝1，2，Aj表示第j箱产品，j＝1，2，显然A1∪A2＝Ω，A1A2＝∅， （1）P（B1）＝P（A1）P（B1｜A1）＋P（A2）·P（B1｜A2）＝×＋×＝. （2）P（B2｜B1）＝＝≈0.485 6. 随堂检测 1.C　设A1表示他乘火车来，A2表示他乘船来，A3表示他乘汽车来，A4表示他乘飞机来，B表示他迟到.易知：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145. 2.D　令B表示取到的零件为合格品，Ai表示零件为第i台机床的产品，i＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D. 3.　解析：设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的1道题”为事件D，则P（B）＝，P（C）＝＝，P（D）＝，P（A｜B）＝1，P（A｜C）＝，P（A｜D）＝.由全概率公式可得P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P（A｜C）＋P（D）P（A｜D）＝×1＋×＋×＝. 4.　解析：记事件B表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，A表示“花还活着”，由题意得P（B）＝0.5，P（）＝0.5，P（A｜B）＝0.8，P（A｜）＝0.3，则P（B｜A）＝＝＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $