1.3 第1课时 两条直线平行(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦“两条直线平行”，通过飞机拉烟情境导入，以问题链引导学生探究倾斜角关系及斜率是否相等，衔接倾斜角、斜率概念，为后续垂直判定构建学习支架。 资料以情境激发数学眼光，问题驱动逻辑推理，分层设计自我诊断、典例研析及跟踪训练，强调斜率存在与否的分类讨论，总结一般式判定方法，助力学生提升数学运算与逻辑推理素养，形成系统认知。

1.3　两条直线的平行与垂直 课标要求 能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）． 第1课时　两条直线平行 　　如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？ 【问题】　（1）在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？ （2）若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90° 对应关系 l1∥l2⇔　　　　 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 提醒：（1）l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． （2）k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）． （3）l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.（　　） （2）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．（　　） （3）若两直线斜率相等，则两直线平行．（　　） （4）若两直线平行，则两直线斜率相等．（　　） 2.下列与直线4x－y－2=0平行的直线的方程是（　　） A.4x－y－4=0 B.4x＋y－2=0 C．x－4y－2=0 D．x＋4y＋2=0 3.若直线ax＋y＋1=0与直线4x＋ay＋2=0平行，则a=　　　　． 题型一　两条直线平行的判定 （链接教科书第23页例2、练习1题）判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： （1）l1经过点A（－1，－2），B（2，1），l2经过点M（3，4），N（－1，－1）； （2）l1经过点A（－3，2），B（－3，10），l2经过点M（5，－2），N（5，5）； （3）l1：y=2x＋2，l2：y=2x＋1； （4）〔一题多解〕l1：－x＋y－3=0，l2：－x＋y＋2=0. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.判断两条不重合的直线是否平行的方法 2.已知直线的一般式方程判断两直线平行除常用方法外，也可以通过以下方法进行判定： 设直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，直线l2：A2x＋B2y＋C2=0： （1）若l1∥l2⇔=≠（A2，B2，C2均不为零）； （2）若l1∥l2⇔A1B2－A2B1=0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）． 　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： （1）l1的斜率为1，l2经过点A（1，1），B（2，2）； （2）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（－1，3），N（2，0）； （3）l1：3x－6y＋3=0，l2：2x－4y＋2=0. 题型二　求与已知直线平行的直线方程 〔一题多解〕（链接教科书第23页例3）求与直线3x＋4y＋1=0平行，且过点（1，2）的直线l的方程． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　求与已知直线平行的直线方程可以求点斜式方程，也可以先设成与已知直线平行的直线系的一般式方程，即与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程为Ax＋By＋m=0（m≠C），再用待定系数法求方程． 1.已知直线l过点（0，7），且与直线y=－4x＋2平行，则直线l的方程为（　　） A．y=－4x－7 　B．y=4x－7 C．y=4x＋7　 　D．y=－4x＋7 2.已知A（0，－2），B（3，1），C（－2，2）三点，直线l过点B且与直线AC平行，则直线l的方程为　　　　． 题型三　两条直线平行的应用 （1）〔一题多解〕已知两条直线l1：（a－1）x＋2y＋1=0与l2：x＋ay＋1=0平行，则a=（　　） A．－1　 　B．2 C．0或－2　 　D．－1或2 （2）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）．求证：四边形ABCD是梯形． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.利用两直线平行判定平面图形的形状一般要运用数形结合的思想方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率进行判定． 2.利用两直线平行求参数，可利用两直线平行的性质进行求解，要特别注意斜率不存在的情况；也可先将方程化为一般式，由两直线平行时系数的关系列出式子求解． 　如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，－1），C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明． 1.已知直线l1的倾斜角为30°，又l1∥l2，则直线l2的斜率为（　　） A．　 　B．－　　 C．　 　D．－ 2.已知直线l1经过点A（0，－1）和点B，直线l2经过点M（1，1）和点N（0，－2），若l1与l2没有公共点，则实数a=　　　　． 3.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行： （1）l1经过点A（2，3），B（－4，0），l2经过点M（－3，1），N（－2，2）； （2）l1的斜率为－，l2经过点A（4，2），B（2，3）； （3）l1：x＋y－1=0，l2：x＋2y＋1=0. 完成课后作业　第一章　1.3　第1课时 答案 第1课时　两条直线平行 【基础落实】 新知初探 知识点 k1＝k2 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.A　3.－2 【典例研析】 【例1】　解：（1）k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，故l1与l2不平行. （2）由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. （3）由直线l1，l2的方程知，k1＝2，k2＝2，k1＝k2，又两直线不重合，所以l1∥l2. （4）法一　由直线l1，l2的方程知，k1＝1，k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以l1∥l2. 法二　由＝≠，故直线l1∥l2. 法三　由 故直线l1∥l2. 跟踪训练 解：（1）k1＝1，k2＝＝1，虽然k1＝k2，但两直线可能重合. 故l1∥l2或l1与l2重合. （2）k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线，故l1∥l2. （3）由＝＝，可知直线l1与l2重合. 【例2】　解：法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行， ∴k＝－， 又∵直线l经过点（1，2）， ∴所求直线的方程为y－2＝－（x－1）， 即3x＋4y－11＝0. 法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0（m≠1）. ∵直线l经过点（1，2）， ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11， ∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. 跟踪训练 1.D　过点（0，7）且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7. 2.2x＋y－7＝0　解析：由题意可知kAC＝＝－2，则kl＝－2，又直线l过点B，∴直线l的方程为y－1＝－2（x－3），即2x＋y－7＝0. 【例3】　（1）A　法一　由题知，两条直线l1：（a－1）x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则a（a－1）＝2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，直线l1：－2x＋2y＋1＝0与l2：x－y＋1＝0平行；当a＝2时，直线l1：x＋2y＋1＝0与l2：x＋2y＋1＝0重合（舍去）.综上，a＝－1.故选A. 法二　因为两直线平行且x，y前的系数不为0，所以＝≠，解得a＝－1.故选A. （2）证明：由A（－1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）， 则kAB＝＝， kCD＝＝， ∴kAB＝kCD，从而AB∥CD. 又∵BC所在直线垂直于x轴（斜率不存在），而kAD＝＝－.可得直线BC与AD不平行. ∴四边形ABCD是梯形. 跟踪训练 解：四边形ABCD是平行四边形.由已知可得AB边所在直线的斜率kAB＝＝－， CD边所在直线的斜率kCD＝＝－， BC边所在直线的斜率kBC＝＝， DA边所在直线的斜率kDA＝＝. 所以kAB＝kCD，kBC＝kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 随堂检测 1.C　2.－6 3.解：（1）kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行. （2）l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合. （3）由＝≠，故直线l1∥l2. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $