培优课 二项式定理的综合应用(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦二项式定理的综合应用，涵盖多项式乘积特定项、三项式展开、整除余数及近似计算等核心内容。通过回顾二项式定理基础展开，搭建从单一二项式到多项式乘积、三项式及实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色为提炼“双通法”等通性通法，设置一题多解（如三项式展开的因式分解、逐层展开等方法），跟踪训练与例题对应。注重数学运算和逻辑推理，帮助学生形成解决复杂问题的思维，培养数学抽象与应用意识，提升核心素养。

二项式定理的综合应用 1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题（数学运算）. 2.能利用二项式定理解决整除（余数）问题（逻辑推理、数学运算）. 题型一　求两个多项式积的特定项 （1）已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a＝（　　） A.－4　 　 B.－3　 　 C.－2　 　 D.－1 （2）（ －）5（x＋2）的展开式中常数项为（　　） A.－10 B.－5 C.5 D.10 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求多项式积的特定项的方法——“双通法” 　　所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到（a＋bx）n（s＋tx）m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝an－k（bx）k·sm－r（tx）r＝an－kbksm－r·trxk＋r（k＝0，1，2，…，n；r＝0，1，2，…，m），再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况. 1.（x－1）2（1＋x）6的展开式中x4的系数是（　　） A.20 B.－20 C.10 D.－10 2.（2－x）6展开式中x2的系数为（　　） A.270 B.240 C.210 D.180 题型二　三项式的展开问题 〔一题多解〕（＋＋）5的展开式中的常数项为　　　　（用数字作答）. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 三项式求特定项的常规方法 （1）因式分解法：通过分解因式将三项式变成两个二项式的积，然后用二项式定理分别展开； （2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开； （3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项合并. 〔一题多解〕（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A.10 B.20 C.30 D.60 题型三　二项式定理的应用 角度1　利用二项式定理证明整除问题或求余数 〔一题多解〕（1）用二项式定理证明：32n＋3－24n＋37能被64整除； （2）求9192除以100的余数. 尝试解答 通性通法 利用二项式定理解决整除问题的基本思路 　　利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除.因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理. 角度2　利用二项式定理近似计算 求1.9975精确到0.001的近似值. 尝试解答 通性通法 （1＋a）n的近似计算的处理方法 　　当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式（1＋a）n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不计.但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式（1＋a）n≈1＋na＋a2等. 1.求1.003 55精确到0.001的近似值. 2.已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，求实数a的值. 完成课后作业　第五章　培优课 答案 培优课　二项式定理的综合应用 【典例研析】 【例1】　（1）D　（2）A　解析：（1）由二项式定理得（1＋x）5的展开式的通项为Tk＋1＝·xk，所以（1＋ax）（1＋x）5的展开式中含x2的项的系数为＋·a＝5，所以a＝－1，故选D. （2）（ －）5展开式的通项Tr＋1＝（）5－r（ －）r＝（－1）r，r∈N，r≤5，显然≠－1，则当＝0，即r＝1时，T2＝（－1）＝－5，所以（ －）5（x＋2）的展开式中常数项为－5×2＝－10.故选A. 跟踪训练 1.D　因为（x－1）2（1＋x）6＝x2（1＋x）6－2x（1＋x）6＋（1＋x）6，展开式中x4的项是x2x2×14－2xx3×13＋x4×12，则展开式中x4的系数是－2＋＝15－2×20＋15＝－10.故选D. 2.A　（2－x）6展开式的通项公式为Tr＋1＝（－1）r26－rxr，则原展开式中x2的系数为（－1）2×24＋×（－1）4×22＝270.故选A. 【例2】　　解析：法一　（＋＋）5在x＞0时可化为（＋）10，因而展开式的通项Tr＋1＝（）10－r·（）10－2r，则r＝5时为常数项，即·（）5＝. （＋＋）5在x＜0时可化为－（－）10，所以展开式的通项T'k＋1＝－（）10－k（－1）k·（）10－2k，令10－2k＝0，得k＝5，则展开式的常数项为－（）5（－1）5＝. 综上，（＋＋）5的展开式的常数项为. 法二　原式＝（）5＝·[（x＋）2]5＝·（x＋）10. 求原展开式中的常数项，转化为求（x＋）10的展开式中含x5的项的系数，即·（）5. 所以原展开式中的常数项为＝. 法三　（＋＋）5是5个三项式（＋＋）相乘.常数项的产生有三种情况： （1）在5个相乘的三项式（＋＋）中，从其中1个三项式中取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得····（）3＝20. （2）在5个相乘的三项式（＋＋）中，从其中2个三项式中取，从另外3个三项式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得·（）2··＝. （3）从5个相乘的三项式（＋＋）中都取常数项相乘，可得·（）5＝4. 综上，（＋＋）5的展开式中的常数项为20＋＋4＝. 法四　（＋＋）5＝［（＋）＋］5的通项为Tk＋1＝（＋）5－k，（＋）5－k的通项为T'r＋1＝x－rx5－k－r2－（5－k－r）＝·x5－2r－k2k＋r－5（0≤r≤5－k）. 令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1或k＝5，r＝0. 当k＝1，r＝2时，展开式中的项为2－2＝； 当k＝3，r＝1时，展开式中的项为2·2－1＝20； 当k＝5，r＝0时，展开式中的项为4＝4. 综上，（＋＋）5的展开式中的常数项为＋20＋4＝. 跟踪训练 C　法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝（x2＋x）3y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为x4x＝x5.所以x5y2的系数为＝30. 法二　（x2＋x＋y）5为5个（x2＋x＋y）之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x可得含x5y2的项.所以x5y2的系数为＝30. 【例3】　解：（1）证明：32n＋3－24n＋37＝3×9n＋1－24n＋37＝3（8＋1）n＋1－24n＋37＝3（8n＋1＋8n＋…＋8＋1）－24n＋37＝3×64（8n－1＋8n－2＋…＋）＋24－24n＋40＝64×3（8n－1＋8n－2＋…＋）＋64， 显然上式是64的倍数，故原式能被64整除. （2）法一　9192＝（100－9）92＝·10092－·10091·9＋·10090·92－…－·100·991＋992，显然展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数. 992＝（10－1）92＝·1092－·1091＋…＋·102－·10＋1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919，所以992除以100的余数为81. 故9192除以100的余数为81. 法二　9192＝（90＋1）92＝·9092＋·9091＋…＋·902＋·90＋，前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81. 【例4】　解：1.9975＝（2－0.003）5 ≈25－×0.003×24＋×0.0032×23 ＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. 跟踪训练 1.解：1.003 55＝（1＋0.003 5）5≈1＋5×0.003 5＝1.017 5≈1.018. 2.解：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋119×（－1）＋…＋（－1）10]＋a＝3（1110－119＋…－×11）＋3×1＋a. 因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除. 又因为0≤a＜11，所以a＝8. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $