第5章 08-高考模拟练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了计数原理的核心内容，涵盖二项式定理、排列组合、分步与分类计数原理等，通过典型例题将知识点与实际应用（如分配问题、概率计算）串联，帮助学生构建完整的计数知识网络。 其亮点在于以“情境问题-数学抽象-逻辑推理”为主线，如足球设备分配、八进制转换等创新题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。题目分层设计，从基础选择到综合应用，助力学生提升数学思维与表达能力，教师可据此精准复习，提升教学效率。

第五章 计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 高考模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 1.[2026贵州贵阳七校联盟联考]在(3-2x2)(1+2x)5的展开式中,x3的系数为 ( ) A.260　　    B.-260　　    C.-220　　    D.220     D     解析    (1+2x)5的展开式中含x的项为 ·2x,含x3的项为 (2x)3, 因此(3-2x2)(1+2x)5的展开式中含x3的项为3 (2x)3-2x2· ·2x=220x3, 所以x3的系数为220. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026浙江杭州质量检测]在 的展开式中,下列说法正确的是 ( ) A.常数项为20 B.含x的项的系数为80 C.各项系数的和为32 D.各项系数中的最大值为80     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析     的二项式通项为Tr+1= (x-1)r= 25-rx5-2r,r=0,1,…,5. 令5-2r=0,得r= ,不满足题意, 故没有常数项,A错误; 令5-2r=1,得r=2,故含x的项为 ×23x=80x,故x的系数是80,B正确; 令x=1,得各项系数的和为35=243,故C错误; 设第(r+1)项的系数最大, 则 解得1≤r≤2, 所以r=1或r=2, 24= 23=80, 所以各项系数中的最大值为80,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖南郴州质量监测]“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中,某企业赞助一批足球训练设备给 甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱,且 药球不能全部分配给同一球队,则不同的分配方案有 ( ) A.35种　　    B.70种　　    C.140种　　    D.210种     B     解析　先分跳箱:6个相同的跳箱分给三个球队,三个球队分得的跳箱数量分别为1,2,3或2,2,2或4,1,1,所 以跳箱的分法种数为1+ + =10; 再分药球:将3箱药球分给三个球队,三个球队分得的药球箱数分别为1,1,1或2,1,0,所以药球的分法种数 为1+ =7. 由分步乘法计数原理可知,不同的分配方案有10×7=70种. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025河北秦皇岛昌黎第一中学期末]已知(2x-1)n=an(x+1)n+an-1(x+1)n-1+…+a1(x+1)+a0,且n为偶 数,则 ( ) A. ai=1　　    B.a0=1 C. |ai|=5n-1　　    D.a1=-2n·3n-1     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,令x=0,得(-1)n=an+an-1+…+a1+a0= ai=1,故A正确; 对于B,令x=-1,得(-3)n=a0=3n,故B错误; 对于C,令x+1=t,则(2x-1)n=(2t-3)n=antn+an-1tn-1+…+a1t+a0, 则ak= ·2k·(-3)n-k(k=0,1,2,…,n), 由n为偶数,得当k为偶数时,ak>0,当k为奇数时,ak<0, 则 |ai|=-a1+a2-…+an, 令t=-1,得(-5)n=an-an-1+…-a1+a0, 则 |ai|=5n-a0=5n-3n,故C错误; 对于D,由ak= ·2k·(-3)n-k(k=0,1,2,…,n),得a1= ·2·(-3)n-1=-2n·3n-1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025广东广州真光中学期中]如下,某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位(每个车位 只能停一辆车),现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车,则( )     ABD     A B C D E F G H A.4辆车的停车方法共有1 680种 B.4辆车恰好停在同一行的方法有48种 C.2辆黑色车恰好相邻(停在同一行或同一列)的停车方法共有300种 D.相同颜色的车不停在同一行,也不停在同一列的方法有336种 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,4辆车的停车方法共有 =1 680种,故A正确; 对于B,4辆车恰好停在同一行的方法有  =48种,故B正确; 对于C,2辆黑色车相邻且停在同一行有   =12种方法,停在同一列有4 =8种方法,则黑色车的停车 方法有12+8=20种, 白色车的停车方法有 种, 故共有20 =600种停车方法,故C错误; 对于D,先安排第一辆黑色车,有8个车位可停车,再安排第二辆黑色车,只有3个车位可停车,则黑色车有8 ×3种停车方法, 不妨设黑色车停在A,F两个车位, 则两白色车只能停在BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG,共7种方法, 所以白色车的停车方法有2×7种,故共有8×3×7×2=336种停车方法,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025湖南衡阳第二中学开学考试]第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行,本次大会的 会标如图所示,会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦:3,7,4,5,这是中国古代八进制计数符 号,换算成现代十进制是3×83+7×82+4×81+5×80=2 021,正是会议召开的年份,那么八进制数 换算成 十进制数,换算后这个数的末位数字是 ( )         C     A.1　　    B.3　　    C.5　　    D.7 第1讲　描述运动的基本概念 解析　八进制数 换算成十进制数为7×87+7×86+…+7×81+7×80=7×(87+86+…+81+80)=7× =88-1, 88-1=(10-2)8-1= 108+ 107(-2)1+…+ 101(-2)7+ (-2)8-1, 因为 108+ 107(-2)1+…+ 101(-2)7是10的倍数,所以换算后这个数的末位数字即为 (-2)8-1的末位数字, 由 (-2)8-1=255可知末位数字为5. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[创新题·新情境][2025湖南长沙雅礼中学月考]从质量分别为1,2,3,4,…,10克的砝码(每种砝码各2个) 中选出若干个,使其总质量恰为9克的方法总数为m,下列各式的展开式中x9的系数为m的是 ( ) A.(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x10) B.(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+10x) C.(1+x)2(1+x2)2(1+x3)2(1+x4)2…(1+x10)2 D.(1+x)2(1+x+x2)2(1+x+x2+x3)2…(1+x+x2+…+x10)2     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　分5种情况讨论: 一个砝码,有9一种情况,共 =2种选法; 两个砝码,有1,8;2,7;3,6;4,5四种情况,共  ×4=16种选法; 三个砝码,有1,1,7;1,2,6;1,3,5;1,4,4;2,2,5;2,3,4六种情况,共3× +3×   =30种选法; 四个砝码,有1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3四种情况,共4×  =16种选法; 五个砝码,有1,1,2,2,3一种情况,共 =2种选法. 综上,m=2+16+30+16+2=66. 对于A,x9的系数为8,故A错误. 对于B,x9需要选9个含x的项,其他的1个选常数项,可得其系数为 + +…+ >66,故B错误. 对于C,(1+x)2(1+x2)2(1+x3)2(1+x4)2…(1+x10)2 第1讲　描述运动的基本概念 =(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)…(1+x10)·(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)…(1+x10), x9由x9单独组成,其他为常数,则系数为 =2; x9由x与x8组成,其他为常数,则系数为  =4; x9由x2与x7组成,其他为常数,则系数为  =4; x9由x3与x6组成,其他为常数,则系数为  =4; x9由x4与x5组成,其他为常数,则系数为  =4; 同理,x9由三项组成:x,x,x7;x,x2,x6;x,x3,x5;x,x4,x4;x2,x2,x5;x2,x3,x4,其他为常数,则系数为3× +3×   =30; 同理,x9由四项组成:x,x,x2,x5;x,x,x3,x4;x,x2,x2,x4;x,x2,x3,x3,其他为常数, 则系数为4×  =16; 同理,x9由五项组成:x,x,x2,x2,x3,其他为常数,则系数为 =2. 综上,x9的系数为2+4×4+30+16+2=66,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,(1+x)2(1+x+x2)2(1+x+x2+x3)2…(1+x+x2+…+x10)2=(1+x)(1+x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x10)(1+x)(1+ x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x10), x9由x9单独组成,其他为常数,则系数为 =4, x9由x8与x组成,其他为常数,则系数为  +  =114,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[创新题·新情境][2026上海华东师大附中期中]已知集合Ak= ,非空集合P⊆Ak,且满足对任 意a∈P,均存在b∈P,使ab=2k,其中a≠b,记符合要求的P的个数为g(k),则对于正整数m,g(2m+1)=_________.     2m+1-1 解析　因为ab=2k,所以P中的元素是Ak中为2n,n=0,1,…,k的元素, 易得A2m+1={1,2,3,…,22m+1}, 所以满足要求的元素有1,2,…,2m,2m+1,…,22m+1,共有(2m+2)个元素, 则在不考虑a,b顺序的情况下,(a,b)共有(m+1)对, 故g(2m+1)= + +…+ =2m+1-1. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江西三新协同教研共同体联考]宜春某商场组织抽奖活动,在一个不透明的箱子中装有4个颜色 分别为红、黄、白、黑,形状、大小相同的小球,规定每人可以有放回地先后两次任意摸取小球(每次 至少摸取1个小球),其中摸到红球、黄球、白球各计1分,摸到黑球计3分.若两次摸球后的得分为7分,且 凑齐四种颜色,则获得一等奖,那么获得一等奖的概率为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　先后两次任意摸取小球,每次至少摸取1个小球, 则每次摸球的情况有 + + + =4+6+4+1=15种, 所以先后两次任意摸取小球共有15×15=225种情况. 两次摸到的小球的得分为7分,且凑齐4种颜色的情况有: 第一次摸取1个球,第二次摸取4个球,共有 · =3种情况; 第一次摸取2个球,第二次摸取3个球,共有 · + · =9种情况; 第一次摸取3个球,第二次摸取2个球,共有 · + · =9种情况; 第一次摸取4个球,第二次摸取1个球,共有 · =3种情况. 因为每次摸到球的各种不同情况等可能,所以获得一等奖的概率为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 10.如图,某方形花坛中有A,B,C,D,E 5个区域,每个区域只种植一种颜色的花. (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案? (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案? (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,要求相同颜 色的花不能相邻种植,且有2个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,共有多少种不同的种植方案?   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由全排列可得,共有 =120种不同的种植方案. (2)先从5个区域中选出2个区域种植一种相同颜色的花,共有  =40种方案; 再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域中,共有 =6种方案. 所以共有40×6=240种不同的种植方案. (3)要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中,则必然有2个区域种植相同颜色的花. 第一类,E区域种植红色的花(有 种种植方案),A,B,C,D 4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花, 则相同颜色的花必然种植在A,D或B,C区域(有2× 种种植方案),共有 ×2× =12种方案; 第二类,E区域种植黄色的花,同理可得,共有 ×2× =12种方案; 第三类,E区域种植蓝色的花(有 种种植方案),若有2个区域种植白色的花, 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,所以不可能有2个区域种植白色的花, 因此2个区域种植的都是红色或都是黄色的花(有2× × 种种植方案), 第1讲　描述运动的基本概念 共有 ×2× × =8种方案; 第四类,E区域种植白色的花,同理可得,共有 ×2× × =8种方案. 综上,共有12×2+8×2=40种不同的种植方案. 第1讲　描述运动的基本概念 迁移创新 11.[2025江苏盐城七校联盟联考]设函数f(x,y)= (y>0). (1)若f(3,y)=a0+ + + ,a2=27,求 ai; (2)当m=-3时,求f(6,y)展开式中系数最大的项; (3)当m>0时,设n是正整数,t为正实数,实数t满足f(n,1)=mnf(n,t),求证:f(2 025,1 000 )>7f(-2 025,t). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题可得f(3,y)=a0+ + + = , 所以a2= m2=27,则m2=9,故m=±3. 令y=1,可得 ai=64或-8. (2)当m=-3时,f(6,y)= , 其二项式通项为Tr+1=  = ·(-3)ry-r,r=0,1,2,…,6, 设展开式的系数为br= (-3)r,r=0,1,2,…,6, 则r为偶数时系数为正,r为奇数时系数为负, 又b0=1,b2= (-3)2=15×9=135,b4= (-3)4=15×81=1 215,b6= (-3)6=1×729=729, 所以f(6,y)展开式中系数最大的项为T5=1 215y-4. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)证明:由f(n,1)=mnf(n,t)可得(1+m)n=mn = , 即1+m=m+ ,所以m= , 所以f(2 025,1 000 )= = >1+  + · +  +   >1+2+ + + =7, 而7f(-2 025,t)=7 = <7,所以不等式f(2 025,1 000 )>7f(-2 025,t)成立. 第1讲　描述运动的基本概念 $