高中数学单元测试——第五章计数原理（较易版01）

**基本信息** 高中数学计数原理单元复习卷（较易版），通过基础题与梯度题结合，检测排列组合、二项式定理等核心知识，适配单元复习巩固，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|真分数构成（组合）、搭配问题（分步乘法）|基础计算，强化抽象能力| |多选题|3/18|排列与组合辨析、小球放盒子模型|情境辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|赵爽弦图涂色（分步计数）、二项式系数|文化传承，体现数学眼光| |解答题|5/87|竞赛报名分配、三项式系数探究|综合应用，发展模型意识与创新思维|

高中数学单元测试 —— 第五章 计数原理（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 2．（本题5分）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 5．（本题5分）圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（    ） A．10 B．15 C．30 D．60 6．（本题5分）的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 7．（本题5分）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 二、多选题 9．（本题6分）下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 11．（本题6分）已知 则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）______. 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 计数原理（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【分析】使用列举法表示即可. 【详解】由题可知：不同真分数有：，共10个. 故选：B 2．（本题5分）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理可得. 【详解】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（本题5分）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 【答案】C 【分析】特殊讨论能被5整除末位为0或5，且0不能在首位. 【详解】被5整除则末位为0或5，若末位为0，则， 若末位为5，则，故共有220个， 故选:C. 5．（本题5分）圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（    ） A．10 B．15 C．30 D．60 【答案】A 【分析】利用组合知识进行计算即可. 【详解】圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，属于组合问题，故一共可以画的三角形个数为. 故选：A 6．（本题5分）的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，即可求出结果. 【详解】因为第8项的二项式系数为，由组合数的对称性知， 所以第项的二项式系数与第8项的二项式系数相等， 故选：B. 7．（本题5分）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【答案】C 【分析】利用插空法结合排列组合的知识即可求解. 【详解】先排乙班和丙班的学生，有（种）， 又甲班的2名同学不相邻，利用插空法得（种）， 综上，共有（种）. 故选：C. 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 【答案】BCD 【分析】根据排列的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，组成的三位数与数字的排列顺序有关，所以A是排列问题； 对于B，C，D中，只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，所以不是排列问题. 故选：BCD. 10．（本题6分）现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（    ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空， 只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可， 所以不同的放法种数为，A错误； 对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为，B正确； 对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以不同的放法种数为，C正确； 对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有（种）情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以不同的放法种数为，D错误． 故选：BC. 11．（本题6分）已知 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ①    ②得：；①②得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）______. 【答案】35 【分析】利用组合公式进行计算. 【详解】. 故答案为：35. 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 【答案】4410 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数公式求解； （2）根据组合数公式求解. 【详解】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式，令的次数为0，即可解得常数项. （2）根据通项公式，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数最大项. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，解得，则展开式的常数项为. （2）设第项的系数最大，则， 解得， 由于为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为． 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）根据二项式展开式的特征，提取公因数即可求证. 【详解】（1）, 易知除以外各项都能被7整除． 又显然能被7整除， 所以能被7整除． （2）是64的倍数， 故原式可被64整除． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）0；（3）． 【分析】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数，从而求得的值. （2）由知，，两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0，从而证得结果. （3）根据题意列出杨辉三角形类似的表，找出规律，则 ，从而将问题转化为三项式的系数和，令，即可求得结果. 【详解】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数， 从而，， 故. （2）由知，， 两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0， 即. （3）列出杨辉三角形类似的表， ，，， 则当n≥2时， 即三项式的系数和，令， 则 当n=1时，，满足条件，结论成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $