1.2.3 直线的一般式方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“直线的一般式方程”，通过情境导入“是否存在对任何直线都适用的方程”，衔接已学的四种直线方程形式，构建从特殊到一般的学习支架，涵盖定义、与其他形式互化及系数性质等核心内容。 其亮点在于融合数学抽象（方程定义的构建）、数学运算（形式转化训练）和数学思维（参数问题推理），如“自我诊断”辨析方程表示直线的条件，“母题探究”含参方程求参数值培养逻辑推理。学生能夯实基础提升运算与推理能力，教师可借助分层练习优化教学效率。

1.2　直线的方程 1.2.3　直线的一般式方程 第一章　直线与方程 1 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程 （数学抽象）. 2.会进行直线方程的五种形式间的转化（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也 就是说上述方程形式不是对任何直线都适用. 【问题】　是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　直线的一般式方程 1. 定义：任何一个关于x，y的二元一次方程 （A， B不全为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式. Ax＋By＋C＝0　 2. 一般式与其他形式的互化 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 提醒：当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直 线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与 x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与 y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方 程表示吗？ 提示：都可以. 2. 每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为零） 都能表示一条直线吗？ 提示：都能表示一条直线. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0（A≠0）. （　√　） （2）直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－ . （　×　） （3）当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为零）表示过原点的 直线. （　√　） √ × √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 直线x＋ y＋2 026＝0的倾斜角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan α＝－ ＝tan 150°，则α＝150°.故选D. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，则直线l的一般式方程 为 ⁠. 解析：由题意，直线l的截距式方程为 ＋ ＝1，化为一般式方程为3x－ 2y＋6＝0. 3x－2y＋6＝0 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　直线的一般式方程 （1）在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为 （　C　） A. x－y＋6＝0 B. x＋y－6＝0 C. x－y－6＝0 D. x＋y＋6＝0 解析：由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0. C 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知直线l过（2，1）和（3，－1）两点，则直线l的一般式方程 为 ⁠. 解析：设直线l的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，由题意知，点（2，1）与（3，－1）在直线l上，则 解得 由A，B不能全为0，则C≠0，所以直线l的方程为－ Cx－ Cy＋C＝0，即2x＋y－5＝0. 2x＋y－5＝0 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求直线一般式方程的策略 　　在求直线的一般式方程时，可直接设出直线的一般式方程Ax＋By＋ C＝0（A，B不同时为0），然后用待定系数法求解.但常用的还是根据给 定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率为4，在y轴上的截距为－2； 解： y＝4x－2，即4x－y－2＝0. （2）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； 解：y＝3，即y－3＝0. （3）经过C（－1，5），D（2，－1）两点. 解：由两点式方程得 ＝ ，即2x＋y－3＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　直线一般式方程的几何意义 （链接教科书第17页例5）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的截 距，并画出图形. （1）3x＋4y＋12＝0； 解：将直线的方程化为斜截式为y＝－ x－3，因此该直线的斜率为－ ，在y轴上的截距是－3.令y＝0，得x＝－4，即直线在x轴上的截距是－4.图形如图①所示. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）4x－6y＋3＝0. 解：将直线的方程化为斜截式为y＝ x＋ ，因此该直线的斜率为 ，在y轴上的截距是 .令y＝0，得x＝－ ，即直线在x轴上的截距是－ .图形如图②所示. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）求直线在两 坐标轴上的截距时，令x＝0，得直线在y轴上的截距；令y＝0，得直线在 x轴上的截距.由两截距的位置可知直线的位置. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 在直角坐标系中，直线x＋ y－3＝0的倾斜角是（　　） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 解析：　直线斜率k＝－ ，所以倾斜角为150°，故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知直线3x＋4y＝b与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则b＝ ⁠ ⁠. 解析：直线3x＋4y＝b，交x轴于（ ，0），交y轴于（0， ）.故与坐 标轴围成的三角形的面积为S＝ ×｜ ｜×｜ ｜＝ ⇒b2＝36⇒b＝±6. 6或 －6 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　直线一般式方程的应用 （链接教科书第18页例6）设直线l的方程为（m2－2m－3）x－ （2m2＋m－1）y＋6－2m＝0（m∈R）. （1）已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； 解：由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1， 令y＝0，则x＝ ， ∴ ＝－3，得m＝－ 或m＝3（舍去）. ∴m＝－ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知直线l的斜率为1，求m的值. 解：由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠ 且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝ x＋ ， 则 ＝1，得m＝－2或m＝－1（舍去）. ∴m＝－2. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 （变设问）对于本例中的直线l，若直线l与y轴平行，求m的值. 解：∵直线l与y轴平行，∴ ∴m＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 由含参一般式方程求参数的值（范围）的策略 （1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件；（2）已 知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直线的斜截式方 程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； 解：①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝ . ∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝ ， 解得a＝2或a＝0.综上，a的值为2或0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：直线l的方程可化为y＝－（a＋1）x＋a－2，故要使l不经过第二 象限，只需 解得a≤－1.∴a的取值范围为（－∞，－1]. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为（　　） A. A≠0 B. B≠0 C. A·B≠0 D. A2＋B2≠0 解析：方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 斜率为－ ，且经过点（1，－1）的直线的一般式方程为（　　） A. 3x＋4y－1＝0 B. 3x＋4y＋1＝0 C. 3x－4y－7＝0 D. 3x－4y－1＝0 解析：　由点斜式方程可得y＋1＝－ （x－1），化为一般式可得3x＋ 4y＋1＝0，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 经过点（1，3），（－2，4）的直线的一般式方程为 ⁠ ⁠. 解析：因为直线过（1，3），（－2，4）两点，则直线的斜率k＝ ＝ － ，所以直线的点斜式方程为y－3＝－ （x－1），即x＋3y－10＝0. x＋3y－10＝ 0　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，求直线l的斜率以及在x轴 和y轴上的截距，并作图. 解：直线l的一般式方程可以化为y＝ x＋2，所以直线l的 斜率为 ，在y轴上的截距为2. 方程中令y＝0可得x＝－3， 因此l在x轴上的截距为－3.图形如图所示. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 32 　　 1. 过点M（－4，3）和N（－2，1）的直线的一般式方程是（　　） A. x－y＋3＝0 B. x＋y＋1＝0 C. x－y－1＝0 D. x＋y－3＝0 解析：　由两点式得， ＝ ，整理得x＋y＋1＝0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 经过点P（1，－2），倾斜角为45°的直线的一般式方程为（　　） A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－1＝0 C. x－y＋3＝0 D. x－y－3＝0 解析：　倾斜角为45°的直线斜率为1，直线经过点P（1，－2），所以 直线方程为y－（－2）＝x－1，即x－y－3＝0.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 设直线3x－2y－6＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则 （　　） A. a＝2，b＝－3 B. a＝－2，b＝3 C. a＝3，b＝－2 D. a＝－3，b＝2 解析：　将直线化为截距式方程得 ＋ ＝1，故a＝2，b＝－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线 x－y－ ＝0倾斜角的2倍，则a，b的值分别为（　　） A. － ，－1 B. ，－1 C. － ，1 D. ，1 解析：　原方程化为 ＋ ＝1，∴ ＝－1，∴b＝－1.∴ax＋by－1＝0 的斜率k＝－ ＝a，∵ x－y－ ＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°＝－ ，∴a＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则（　　） A. 若c＞0，则a＞0，b＞0 B. 若c＞0，则a＜0，b＜0 C. 若c＜0，则a＞0，b＜0 D. 若c＜0，则a＞0，b＞0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　由题意知b≠0，将直线化为斜截式方程得y＝－ x－ ，由图 可知 即 若c＞0，则b＜0，a＜0，故B正确；若c＜ 0，则b＞0，a＞0，故D正确，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知直线l： x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有（　　） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l在x轴上的截距为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：由直线方程得y＝－ x＋2，即斜率为－ ，则倾斜角为 ，y轴上截距为2，则直线不经过第三象限，故B错，A、C对；令y＝0，得x＝ ，故D对.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝ ⁠. 解析：由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝ ，∵2＝ ， ∴a＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 设a＋b＝2，则直线ax＋by＝1恒过定点 ⁠. 解析：ax＋by＝1可变形为ax＋（2－a）y＝1，a（x－y）＋2y－1＝ 0，上式对于任何a∈R都成立，则 解得 故直线ax＋ by＝1恒过定点（ ， ）. （ ， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知直线l的斜率为2，且和坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的 方程为 ⁠. 解析：因为直线l的斜率为2，设所求直线l的方程为y＝2x＋b，即2x－y ＋b＝0，令x＝0，可得y＝b；令y＝0，可得x＝－ ，又因为直线l和坐 标轴围成的三角形的面积为4，可得 ×｜b｜×｜－ ｜＝4，解得b＝ ±4，所以直线l的方程为2x－y＋4＝0或2x－y－4＝0. 2x－y＋4＝0或2x－y－4＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R），若直线l交x轴负半轴于 A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小 值，并求此时直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：如图，由直线l的方程可得A（－ ，0），B（0，1＋2k），依题 意得 解得k＞0.∴S＝ ｜OA｜·｜OB｜ ＝ ·｜ ｜·｜1＋2k｜＝ · ＝ （4k＋ ＋4）≥ ×（2×2＋4）＝4. 等号成立的条件是k＞0且4k＝ ，即k＝ .∴Smin＝4，此时直线l的方程 为x－2y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 若方程（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y－4m＋1＝0表示一条直线， 则实数m应满足的条件是（　　） A. m≠－ B. m≠1 C. m≠－ 且m≠1 D. m≠0且m≠1 解析：　当2m2＋m－3＝0时，m＝1或m＝－ ；当m2－m＝0时，m＝ 0或m＝1.要使方程（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y－4m＋1＝0表示一 条直线，则2m2＋m－3，m2－m不能同时为0，∴m≠1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，则下列 说法正确的是（　　） A. 当C＝0时，l过坐标原点 B. 当AB＞0时，l的倾斜角为锐角 C. 当B＝0，C≠0时，l和x轴平行 D. 若直线l过点P（x0，y0），直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y －y0）＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：选项A，当C＝0时， 是方程Ax＋By＝0的解，即l过坐标原点，故A正确；选项B，当AB＞0时，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为y＝－ x－ ，则直线的斜率k＝－ ＜0，l的倾斜角为钝角，故B错误；选项C，当B＝0，C≠0时，由A，B不全为0，A≠0，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为x＝－ ，故直线l和x轴垂直，故C错误；选项D，直线l过点P（x0，y0），则Ax0＋By0＋C＝0，可得C＝－Ax0－ By0，代入直线方程l：Ax＋By＋C＝0，得Ax＋By－Ax0－By0＝0，即A （x－x0）＋B（y－y0）＝0，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 直线2ax－（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：直线2ax－（a2＋1）y＋1＝0，所以直线的斜率k＝tan θ＝ ， 又a2＋1－2｜a｜≥0，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π），所以θ∈［0， ］∪［ ，π）. ［0， ］∪ ［ ，π） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. （1）求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； 解：证明：直线l的方程可化为5y－3＝5ax－a， 即5（y－ ）＝5a（x－ ）， 所以y－ ＝a（x－ ）. 故直线l恒过定点（ ， ）. 又点（ ， ）在第一象限，故直线l总经过第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求使直线l不经过第二象限的a的取值范围. 解：直线l的方程可化为y＝ax＋ ， 因为直线l不经过第二象限，所以 解得a≥3，即a的取值范围为[3，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $