1.1 第2课时 直线的倾斜角(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案围绕直线的倾斜角展开，涵盖定义、范围及与斜率关系等核心知识点。以比萨斜塔倾斜程度问题情境导入，衔接直线与坐标轴的前期知识，为斜率应用搭建从实际到抽象的学习支架。 资料特色在于通过情境导入培养数学眼光，从现实问题抽象出倾斜角概念，典例研析结合题型链发展数学思维，表格对比倾斜角与斜率关系强化数学语言表达，随堂检测与跟踪训练提升应用意识，助力学生高效掌握知识。

第2课时　直线的倾斜角 意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔．每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分． 【问题】　如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　直线的倾斜角 1.定义： 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按　　　时针方向旋转到与直线重合时，所转过的　　　　正角α，称为这条直线的倾斜角． 2.范围：直线的倾斜角α的取值范围是　　　　　　，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. 3.倾斜角与斜率的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k=　　　（α≠）． 【想一想】 1.每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？ 2.已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°．（　　） （2）一条直线的倾斜角可以为－30°．（　　） （3）倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴．（　　） 2.下列图中α能表示直线l的倾斜角的是（　　） 3.若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　） A.45°　 　B.135° C．－135°　 　D．－45° 4.已知直线l的倾斜角为，则kl=　　　　． 题型一　直线的倾斜角 （1）如图，直线l的倾斜角为（　　） A.60°　 　B.120° C.30°　 　D.150° （2）设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　　） A．α＋45°　 　B．α－135° C.135°－α　 　D．α＋45°或α－135° 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求直线的倾斜角的方法及注意点 （1）方法：①利用定义；②结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角； （2）注意倾斜角的范围． 　已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A.0°≤α＜90°　 　B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180°　 　D.0°＜α＜180° 题型二　直线的倾斜角和斜率的关系 （1）经过两点P（0，－3），Q（－，0）的直线的倾斜角为（　　） A.30°　 　B.60° C.120°　 　D.150° （2）若直线l的斜率k的变化范围是［－1，］，则它的倾斜角α的变化范围是（　　） A.0≤α≤ 　B．π≤α＜π C．≤α＜π 　D.0≤α≤或π≤α＜π 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.由倾斜角与斜率的关系k=tan α（α≠），可由斜率求倾斜角，也可由倾斜角确定直线的斜率． 2.直线的倾斜角与斜率的对应关系 α的大小 0 0＜α＜ ＜α＜π k的范围 k=0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 1.已知直线l经过A（－1，0），B（1，2）两点，则直线l的倾斜角是（　　） A．　 　B．C．　 　D． 2.〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B．平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180° C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 题型三　直线倾斜角与斜率的应用 （链接教科书第9页习题8题）已知两点A（－3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点． （1）求直线l的斜率k的取值范围； （2）求直线l的倾斜角α的取值范围． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 2.求代数式最值（范围）的方法 由斜率公式k=的形式，可知代数式的几何意义是过P（x，y）与P′（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解． 　已知A（3，3），B（－4，2），C（0，－2）． （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 1.已知直线l的倾斜角为1 rad，则l的斜率为（　　） A.1　 　B.45° C．tan 1　 　D．tan 1° 2.若直线l经过点M（2，3），N（4，3），则直线l的倾斜角为（　　） A.0°　 　B.30° C.60°　 　D.90° 3.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m=（　　） A．2　 　B．1 C．－1　 　D．－2 4.已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（　　） A．1　 　B． C．－　 　D．－3 完成课后作业　第一章　1.1　第2课时 答案 第2课时　直线的倾斜角 【基础落实】 新知初探 知识点 1.逆　最小 2.{α｜0≤α＜π} 3.tan α 想一想 1.提示：对. 2.提示：唯一确定. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）× 2.A　3.B　4.1 【典例研析】 【例1】　（1）D　（2）D 解析：（1）由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. （2）∵倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°，∴当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°（如图）. 跟踪训练 C　直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. 【例2】　（1）C　（2）D　解析：（1）由题意知，经过点P，Q的直线的斜率为k＝＝－，设该直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则k＝tan θ＝－，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°.故选C. （2）作出正切函数在[0，π）的图象如图所示，当－1≤k≤，即－1≤tan α≤，解得0≤α≤或π≤α＜π，即0≤α≤或π≤α＜π，故选D. 跟踪训练 1.B　设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k＝tan α＝＝1，又α∈[0，π），所以倾斜角是.故选B. 2.AC　对于A选项，任意一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率，即任意一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，A对；对于B选项，平行于x轴的直线的倾斜角是0°，B错；对于C选项，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等，C对；对于D选项，若两条直线的倾斜角都是直角时，则这两条直线的斜率都不存在，D错.故选A、C. 【例3】　解：（1）如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 跟踪训练 解：（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是［，］. 随堂检测 1.C　2.A　3.A　4.C 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $