1.2.2 直线的两点式方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦直线的两点式与截距式方程，通过斜拉桥情境导入，引导学生从确定直线位置的几何要素出发，联系已学的直线方程知识，搭建从具体问题到抽象方程的学习支架。 资料特色突出，情境导入贴近现实培养数学眼光，知识点对比表格与“想一想”强化逻辑推理，例题及变式训练注重数学思维应用，自我诊断与随堂检测助力巩固，提升学生方程应用能力与数学表达素养。

1.2.2　直线的两点式方程 课标 要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程（数学抽象）． 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围（逻辑推理）． 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线． 【问题】　（1）怎样表示该直线的方程呢？ （2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示该直线的方程？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 直线l经过两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴上截距为a，在y轴上的截距为b 图形 方程 = ＋=1 适用范围 不能表示　　　　　坐标轴的直线 不能表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　坐标轴的直线及过　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的直线 【想一想】 1.直线的两点式方程与这两个点的顺序有关吗？ 2.方程=和方程（y－y1）（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）的适用范围相同吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．（　　） （2）能用截距式表示的直线都能用两点式表示．（　　） （3）过点（1，3）和（1，5）的直线也可以用两点式方程来表示．（　　） 2.过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是（　　） A．=　 　B．= C．=　 　D．= 3.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为（　　） A．－=1　 　B．＋=1 C．－=1　 　D．＋=0 题型一　直线的两点式方程 （链接教科书第15页例4）已知△ABC的顶点是A（－3，2），B（5，－4），C（0，－2）． （1）求BC边所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求直线的两点式方程的策略以及注意点 （1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可用两点式求方程； （2）若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论； （3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程． 写出下列直线的两点式方程： （1）经过A（2，5）和B（－3，－2）两点； （2）经过C（0，3）和D（3，0）两点； （3）经过E（2，m）和F（n，3）两点． 题型二　直线的截距式方程 （链接教科书第14页例3）求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 规律方法 求直线的截距式方程的方法 （1）由已知直线的横、纵截距； （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋=1，可得所求的直线方程． 提醒：直线的截距式方程是两点式方程的特例，若题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，一定要注意考虑“截距为零”的情况． 　求过点P（6，－2），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程． 题型三　直线方程的灵活选用 试用合适的方法求满足下列条件的直线方程： （1）斜率为－2，经过点（3，4）； （2）斜率为3，在y轴上的截距是2； （3）经过两点（－2，－1）和（－1，5）； （4）经过两点（－4，0）和（0，2）． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 直线方程的选择技巧 （1）若给出直线经过一个点，常考虑用点斜式，但要注意平行于x轴的直线斜率为0，垂直于x轴的直线斜率不存在； （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式； （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合；若两点是与坐标轴的交点，就选用截距式； （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式． 求经过点（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程． 1.〔一题多解〕直线－=1在y轴上的截距是（　　） A．－3　　　 B.3　 　C．－4　　 　D.4 2.经过点A（－3，2），B（4，4）的直线的两点式方程为（　　） A．=　 　B．= C．=　 　D．= 3.已知直线l过点P（4，1）且直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为　　　　． 4.已知三角形的顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1），求这个三角形三边所在直线的方程． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.2 答案 1.2.2　直线的两点式方程 【基础落实】 新知初探 知识点 垂直于　垂直于　原点 想一想 1.提示：两点式方程与这两个点的顺序无关. 2.提示：不同.前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适用于过任何两点的直线方程. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.B　3.A 【典例研析】 【例1】　解：（1）∵BC边过两点B（5，－4），C（0，－2）， ∴由直线的两点式方程得＝， 即2x＋5y＋10＝0. 故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0. （2）设BC的中点为M（x0，y0）， 则x0＝＝，y0＝＝－3. ∴M， 又BC边上的中线经过点A（－3，2）. ∴由直线的两点式方程得 ＝， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 跟踪训练 解：（1）因为直线过点A（2，5），B（－3，－2）， 所以该直线的两点式方程为＝. （2）因为直线过点C（0，3），D（3，0）， 所以该直线的两点式方程为＝. （3）当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3， 当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2. 当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为＝. 【例2】　解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又l过点A（3，4），所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点（3，4），所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 母题探究 解：（1）当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过点（3，4），所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. （2）当截距为0时，由例可得直线l的方程为4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 跟踪训练 解：设直线方程的截距式为＋＝1. 则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 【例3】　解：（1）斜率k＝－2，过点（3，4），由点斜式得直线方程为y－4＝－2（x－3），即2x＋y－10＝0. （2）斜率k＝3，在y轴上的截距是2，由斜截式得直线方程为y＝3x＋2，即3x－y＋2＝0. （3）直线经过两点（－2，－1）和（－1，5），由两点式得直线方程为＝，即6x－y＋11＝0. （4）由直线经过两点（－4，0）和（0，2），可知直线在x轴、y轴上的截距分别为－4和2，由截距式得直线方程为＋＝1，即x－2y＋4＝0. 跟踪训练 解：由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线l的方程为＋＝1， 由已知可得解得或 所以＋＝1或＋＝1， 故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 随堂检测 1.C　2.A　 3.y＝x或2x＋y－9＝0 4.解：由题意作出图形如图所示，直线AB过A（1，3），B（－2，－1），其两点式方程为＝，整理得4x－3y＋5＝0， 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $