1.2.1 直线的点斜式方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过射击手训练情境导入，将托枪位置对应直线上的点，瞄准方向对应斜率，引导学生从几何要素角度理解直线方程，新知部分用表格对比两种方程的条件与形式，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于情境化设计培养数学抽象，典例研析结合跟踪训练强化数学运算与逻辑推理，自我诊断和随堂检测分层设置，帮助学生自主构建知识体系，提升用数学思维解决问题的能力，体现数学眼光观察现实世界的核心素养。

1.2.1　直线的点斜式方程 课标 要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程（数学抽象、数学运算）． 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题（数学运算、逻辑推理）． 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标． 【问题】　（1）情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？ （2）眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　直线的点斜式与斜截式方程 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l经过点P1（x1，y1），斜率为k y－y1=　　　 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距） y=　　 提醒：当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示． 【想一想】 1.若直线的倾斜角为0°，且经过点P0（x0，y0），能用点斜式表示吗？ 2.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？ 3.直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0=k（x－x0）．（　　） （2）x轴所在的直线方程为x=0.（　　） （3）直线在y轴上的截距不能等于0.（　　） （4）直线的点斜式方程也可写成=k．（　　） 2.经过点（－2，2），倾斜角是60°的直线方程是（　　） A．y＋2=（x－2） 　B．y－2=（x＋2） C．y－2=（x＋2） 　D．y＋2=（x－2） 3.已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是－3，则此直线的方程是（　　） A．y=2x－3　 　B．y=2x＋3 C．y=－2x－3　 　D．y=－2x＋3 题型一　直线的点斜式方程 （链接教科书第12页例1）写出下列直线的点斜式方程： （1）直线经过点（－1，1），且斜率为1； （2）经过点（2，5），倾斜角为45°； （3）经过点D（1，1），且与x轴垂直． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求直线的点斜式方程的思路 1.已知直线的方程为y＋3=－（x－1），则（　　） A．该直线过点（－1，－3），斜率为－1 B．该直线过点（－1，－3），斜率为1 C．该直线过点（1，－3），斜率为－1 D．该直线过点（1，－3），斜率为1 2.直线y=x＋1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程． 题型二　直线的斜截式方程 （链接教科书第12页例2）根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 对直线斜截式方程的理解 （1）斜截式是点斜式的一种特殊情形，即斜率为k的直线过点（0，b）； （2）直线在y（x）轴上的截距不是距离，它是直线与y（x）轴交点的纵（横）坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数； （3）求直线的斜截式方程，只要确定直线的斜率和截距即可． 根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）过点A（－1，－2），B（0，3）； （2）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°． 题型三　直线方程的应用 （链接教科书第20页习题12题）（1）已知直线y－1=k（x－3），当k变化时，所有的直线恒过定点（　　） A．（1，3） 　 B．（－1，－3） C．（3，1）　 　 D．（－3，－1） （2）若斜率为k的直线l经过点P（4，1），且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，则k=　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0=k（x－x0）的形式，则表示的直线必过定点（x0，y0）． 2.在求面积时，要注意将截距转化为距离． 1.直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，则有（　　） A．k＞0，b＞0　 　 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0　 　 D．k＜0，b＜0 2.已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），A=60°，B=45°，试用直线方程表示下列直线． （1）AB边所在直线； （2）AC边和BC边所在的直线． 1.（2026•徐州质检）直线y=－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（　　） A．k=3，b=6 　B．k=－3，b=－6 C．k=－3，b=6 　D．k=3，b=－6 2.已知直线的倾斜角为120°，且过点（0，2），则此直线的方程为（　　） A．y=x＋2　 　B．y=－x＋2 C．y=－x－2　 　D．y=x－2 3.已知直线方程为y＋5=x－2，则直线的倾斜角为　　　　，在y轴上的截距是　　　　． 4.求斜率为，且与坐标轴围成的三角形的周长是12的直线l的方程． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.1 答案 1.2.1　直线的点斜式方程 【基础落实】 新知初探 知识点 k（x－x1）　kx＋b 想一想 1.提示：能. 2.提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0. 3.提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一次函数. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.B　3.A 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为直线的斜率为1，又过点（－1，1），所以该直线方程为y－1＝x＋1. （2）因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. （3）由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线无点斜式方程. 跟踪训练 1.C　因为直线方程为y＋3＝－（x－1），所以直线的斜率为－1，且当x＝1时，y＝－3，故直线过点（1，－3），故选C. 2.解：直线y＝x＋1的斜率k＝1， 所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1. 所以直线l的方程为y－4＝－（x－3）. 【例2】　解：（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. （2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2. （3）由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 跟踪训练 解：（1）斜率k＝＝5，又B（0，3），故过点A，B的直线的斜截式方程为y＝5x＋3. （2）与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直线的斜截式方程为y＝±x－6. 【例3】　（1）C　（2）－　解析：（1）直线y－1＝k（x－3），由点斜式方程可知不论k取何值它所表示的所有的直线都恒过定点（3，1）.故选C. （2）由题意可知直线l的方程为y－1＝k（x－4）且k＜0，当x＝0时，y＝1－4k＞0；当y＝0时，x＝4－＞0.则×（1－4k）×（4－）＝8，解得k＝－. 跟踪训练 1.B　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0. 2.解：（1）如图所示，因为A（1，1），B（5，1），所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1. （2）因为A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的点斜式方程为y－1＝（x－1）. 因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的点斜式方程为y－1＝－（x－5）. 随堂检测 1.B　2.B　3.　－7 4.解：由已知直线的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b. 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.　 由题意，得｜b｜＋｜－b｜＋＝12. 所以｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝12，解得b＝±3. 所以所求直线方程为y＝x±3. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $