1.2.2直线的两点式方程 学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

1.2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程的形式特点和适用范围.2.了解直线的截距式方程的形式特点和适用范围.3.能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程.4.能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题． 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点也可以确定一条直线，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 知识梳理 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程____________叫作直线的两点式方程． 例1　(1)过(1,2)，(5,3)两点的直线方程是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ (2)在平面直角坐标系中，已知直线l经过(－1,0)，(1,4)两点，则直线l的两点式方程是______________． 反思感悟　利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练1　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________． (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 知识梳理 方程＋＝1，其中__________称为直线在y轴上的截距，__________称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的__________． 例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 延伸探究 1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？ 2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 反思感悟　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 三、直线方程的灵活应用 例3　在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l的截距式方程； (2)求当·取得最小值时直线l的方程． 反思感悟　直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 跟踪训练2　△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．求边AC和AB所在直线的方程． 1．知识清单： (1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程． 2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略截距不存在及过原点的情况导致漏解． 1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 2．已知直线l的两点式方程＝，则直线l的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 4．过(－1，－1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 1．2.2　直线的两点式方程 问题1　y－y1＝(x－x1)，即＝ 知识梳理 ＝ 例1　(1)B　(2)＝ 解析　(1)直线过(1,2)，(5,3)两点， 所以由两点式得直线的方程为＝. (2)根据两点式方程可得＝. 跟踪训练1　(1)4x＋5y＋3＝0 解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以＝，即＝， 化简得4x＋5y＋3＝0. (2)解　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 问题2　由两点式得＝， 整理得＋＝1. 知识梳理 b　a　截距式方程 例2　解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 延伸探究 1．解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点A(－3，－4)， 所以＋＝1， 解得a＝1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)， 所以－4＝k·(－3)，解得k＝. 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0. 2．解　(1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 例3　解　设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵＝， ∴(3－a,1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的截距式方程为＋＝1. (2)∵A，P，B三点共线， ∴＝， 整理得＋＝1， ∴·＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立． ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 跟踪训练2　解　∵A(0,4)，C(－8,0)， ∴直线AC的截距式方程为＋＝1， 即x－2y＋8＝0， ∵A(0,4)，B(－2,6)， ∴由直线的两点式方程，得直线AB的方程为 ＝， 即x＋y－4＝0. 随堂演练 1．A 2．A　[由两点式方程＝， 知直线l过点(－5,0)，(3，－3)， 所以直线l的斜率为＝－.] 3．2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为－＝1， 将点P(1,2)代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4．－　1 解析　由已知得直线的方程为＝， 化简得2x－y＋1＝0， 令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－， 故直线在x轴、y轴上的截距分别为－，1. 学科网（北京）股份有限公司 $$