1.3 第2课时 两条直线垂直(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“两条直线垂直”核心知识点，承接上节课两条直线平行的判定方法，通过类比生活中十字路口、黑板相邻边等垂直实例提出问题，系统梳理斜率存在时k1·k2=-1及斜率不存在与斜率为0时的垂直判定条件，构建知识学习支架。 该资料以生活情境培养数学眼光，通过类比推理发展数学思维，用斜率公式和一般式方程强化数学语言表达。设有一题多解判定垂直、求垂直直线方程等题型，课中助力教师引导学生探究，课后帮助学生通过练习题和规律总结巩固知识，查漏补缺。

第2课时　两条直线垂直 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，如交通道路的十字路口，黑板相邻两边等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两平行直线的斜率的关系. 【问题】　类比两条直线平行的研究方法，若l1⊥l2，你能得出l1与l2斜率的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2（两直线斜率都存在）⇔　k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒　l1⊥l2 提醒：l1⊥l2是k1·k2＝－1的必要不充分条件. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.（　×　） （2）若k1k2＝－1，则l1⊥l2.（　√　） （3）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－.（　×　） 2.已知四点A（1，2），B（5，6），C（2，－1），D（1，0），则直线AB与直线CD的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 解析：B　由斜率公式得kAB＝＝1，kCD＝＝－1，则kABkCD＝1×（－1）＝－1，所以AB⊥CD. 3.求过点A（2，3）且与直线x＋2y－6＝0垂直的直线方程. 解：因为直线x＋2y－6＝0的斜率为k1＝－， 所以过点A（2，3）且与该直线垂直的直线l的斜率为k＝2. 所以直线l的方程为y－3＝2（x－2），即2x－y－1＝0. 题型一　两条直线垂直的判定 （链接教科书第25页例4）判断下列两直线是否垂直： （1）l1经过点A（－1，1），B（－1，3），l2经过点（3，6），（7，6）； 解：直线l1与x轴垂直，斜率不存在，直线l2与y轴垂直，斜率为0，故l1⊥l2. （2）直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行； 解：直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直. （3）〔一题多解〕l1：3x＋2y－2＝0，l2：－4x＋6y＋5＝0. 解：法一　直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝，从而k1k2＝（－）×＝－1，故l1⊥l2. 法二　由A1A2＋B1B2＝3×（－4）＋2×6＝0，故l1⊥l2. 规律方法 判定两直线垂直的方法 （1）若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直； （2）若两直线的斜率都存在且不为0，只需求出两直线的斜率，看它们的斜率之积是否等于－1即可； （3）若两直线用一般式表示为：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 判断下列两直线是否垂直： （1）直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A（10，2），B（20，3）； 解：直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1，所以l1⊥l2. （2）l1：y＝2x－2，l2：x－2y＋1＝0. 解：将l2的方程化为斜截式为y＝x＋. 因此l2的斜率为， 又因为l1的斜率为2，而且×2＝1≠－1， 从而可知l1与l2不垂直. 题型二　求与已知直线垂直的直线方程 （链接教科书第25页例5）已知△ABC的顶点B（2，1），C（－6，3），其垂心为H（－3，2），则直线AH的方程为　4x－y＋14＝0　. 解析：易知kBC＝＝－，又点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，即kAHkBC＝－1，又kBC＝－，所以kAH＝4，又H（－3，2），故直线AH的方程为y－2＝4（x＋3），即4x－y＋14＝0. 规律方法 　　求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程；也可先设出与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的一般方程Bx－Ay＋m＝0，代入其他条件再求方程. 　与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是（　　） A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4 C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4 解析：D　直线y＝2x＋1的斜率为2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率为－，又因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4. 题型三　两条直线垂直的应用 （链接教科书第27页练习2题）（1）已知△ABC的顶点坐标为A（－5，－1），B（－1，1），C（－2，3），则△ABC的形状为（　B　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 解析：∵kAB＝＝，kBC＝＝－2，kAC＝＝，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴△ABC为直角三角形. （2）已知直线x＋2y－3＝0和2x＋my＋2＝0互相垂直，则m＝（　B　） A.－4 B.－1 C.1 D.4 解析：由题意得1×2＋2m＝0，解得m＝－1，此时后者直线方程为2x－y＋2＝0，满足题意.故选B. 规律方法 1.利用两直线垂直判定平面图形的形状通常需要结合图形，寻找相关的垂直关系，然后利用直线的斜率进行判断. 2.利用两直线垂直求参数问题一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为－1求解，但要注意讨论直线与x轴垂直的情况，也可先将方程化为一般式，由两直线垂直时系数的关系，列出式子求解. 1.若直线l1：（a＋3）x＋y＋4＝0与直线l2：x＋（a－1）y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是（　　） A.－4 B.2 C.－2 D.4 解析：C　∵直线l1：（a＋3）x＋y＋4＝0与直线l2：x＋（a－1）y＋4＝0垂直，∴a＋3＋a－1＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，∴直线l1在x轴上的截距是－2，故选C. 2.点A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为直角三角形的三个顶点，则直角顶点为　A　. 解析：因为A（－1，1），B（2，－1），C（1，4），所以kAB＝＝－，kAC＝＝.所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以角A为直角. 1.过点M（2，－3）且与直线x＋2y－9＝0垂直的直线方程是（　　） A.2x－y－7＝0 B.x－2y＋7＝0 C.x＋2y＋4＝0 D.2x－y＋8＝0 解析：A　由题意设直线方程为2x－y＋m＝0，代入M点坐标得2×2－（－3）＋m＝0，解得m＝－7，∴直线方程为2x－y－7＝0.故选A. 2.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　） A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 解析：D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，所以l1⊥l2. 3.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，则实数m＝（　　） A.－10 B.10 C.－2 D.2 解析：B　由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，可得m×2＋4×（－5）＝0，解得m＝10.故选B. 4.已知点A（－2，－5），B（6，6），点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为　（0，－6）或（0，7）　. 解析：设点P的坐标为（0，y）.因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，所以·＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为（0，－6）或（0，7）. 1.已知直线l1经过A（－3，2），B（1，－2）两点，直线l2的倾斜角为45°，那么l1与l2（　　） A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 解析：B　由题意可得直线l1的斜率k1＝＝－1，直线l2的斜率k2＝tan 45°＝1.∵k1k2＝－1，则l1与l2垂直.故选B. 2.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝（　　） A.－1 B.1 C. D.－ 解析：B　直线x－2y＋5＝0的斜率为k1＝，直线2x＋my－6＝0的斜率为k2＝－，因为两条直线垂直，所以k1k2＝×（－）＝－1，即m＝1，故选B. 3.已知△ABC的三个顶点分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为（　　） A.3x＋5y－15＝0 B.3x－5y＋15＝0 C.x＋2y－3＝0 D.x－2y＋3＝0 解析：B　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，所以kAD·kBC＝－1，因为kBC＝＝－，所以－·kAD＝－1，解得kAD＝，所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝（x＋5），即3x－5y＋15＝0. 4.若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为（　　） A.－1 B.0 C. D.1 解析：A　若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意.故PQ斜率存在.由kPQ＝＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 5.若直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：（a－1）x－y－＝0垂直，则实数a的取值是（　　） A.－1或2 B.－1 C.2 D. 解析：A　直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：（a－1）x－y－＝0垂直，则有a（a－1）－2＝0，解得a＝－1或a＝2，故选A. 6.〔多选〕设平面内四点P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S（2，12），则下面四个结论正确的是（　　） A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 解析：ABD　由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故A、B、D正确. 7.已知A（2，3），B（1，－1），C（－1，－2），点D在x轴上，则当点D坐标为　（－9，0）　时，AB⊥CD. 解析：设点D（x，0），因为kAB＝＝4≠0，所以直线CD的斜率存在.则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4×＝－1，解得x＝－9. 8.已知直线l过点P（1，1），且与直线x＋2y－3＝0垂直，则直线l在y轴上的截距为　－1　. 解析：由直线x＋2y－3＝0，得k＝－，设直线l的斜率为k1，则由直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则k1＝2，则直线l为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，即直线l在y轴上的截距为－1. 9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝　－2　；若l1∥l2，则m＝　2　. 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2. 10.已知▱ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）. （1）求点D的坐标； （2）试判断▱ABCD是否为菱形？ 解：（1）设点D坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以 解得 所以D（－1，6）. （2）因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 11.已知直线l1：ax＋2y＋b＝0与直线l2：bx－y＋a＝0垂直，则a2＋b2的最小值为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：B　因为直线l1：ax＋2y＋b＝0与直线l2：bx－y＋a＝0垂直，所以ab－2×1＝0，即ab＝2，所以a2＋b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时等号成立.即a2＋b2的最小值为4，故选B. 12.〔多选〕已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△OAB为直角三角形，则下列选项可能成立的是（　　） A.b＝a3 B.b＝a3＋ C.∠AOB＝90° D.｜b－a3｜＋｜b－a3－｜＝0 解析：AB　由题意知a≠0，b≠0.若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意，故C错误；若A为直角顶点，则b＝a3，故A正确；若B为直角顶点，则OB⊥AB，故kOB·kAB＝－1，即a2·＝－1，所以a（a3－b）＝－1，即b＝a3＋，故B正确；b＝a3和b＝a3＋不可能同时成立，所以｜b－a3｜＋｜b－a3－｜＝0不可能成立，故D错误. 13.已知点A（0，1），点B在直线l：x＋y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为　x－y＋1＝0　. 解析：当线段AB最短时，AB⊥l，所以kAB＝1.由直线的斜截式，得直线AB的方程为y＝x＋1，故直线AB的一般式方程为x－y＋1＝0. 14.某矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知AD＝50 m，AB＝30 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，能否在线段BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直. 解：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 由AD＝50 m，AB＝30 m， 可得点C（50，0），D（50，30），A（0，30）.设点M的坐标为（x，0）， 因为AC⊥DM，且直线AC，DM的斜率均存在，所以kAC·kDM＝－1， 即·＝－1，解得x＝32， 即当BM＝32 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $