培优课 利用空间向量解决立体几何中的综合问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

利用空间向量解决立体几何中的综合问题

 

 

　　

题型一　翻折问题

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△PDE，得到四棱锥P-BCDE，M为PB的中点.

（1）证明：EM∥平面PCD；

（2）若PB＝2，求平面PBC与平面PEC夹角的余弦值.

尝试解答

通性通法

　如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝2，BC＝4，AD＝6，E是AD上的点，AE＝AD，P为BE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得A1C＝4，如图②.

（1）求证：平面A1CP⊥平面A1BE；

（2）求二面角B-A1P-D的余弦值.

题型二　最值（范围）问题

〔一题多解〕在如图所示的几何体ABC-A1B1C1中，△BAC与△C1B1A1为全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠A1B1C1＝90°，四边形BAA1B1为正方形，且B1C1∥AC，AA1⊥AC.已知平面AA1C1∩平面BB1C1＝l.

（1）求证：l∥AA1；

（2）已知AB＝1，P为l上一点，求直线AP与平面BPC所成角的正弦值的最大值.

尝试解答

通性通法

　　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围等问题，常用的思路是：

（1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解；

（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.

　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为　　　　.

题型三　证明、探索性问题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点.

（1）求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；

（2）设＝λ，试问：是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.

通性通法

　　立体几何中的探索性问题，多以解答题的形式出现，试题有一定的难度，这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若出现合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性.

　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点.点E在线段A1B（不包括端点）的　　　　处，使得点A1到平面AED的距离为.

完成课后作业　第三章　培优课