专题探究5 空间向量的综合应用-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

专题探究5空间向量的综合应用 黑题 专题强化 限时：65min 题组1空间向量及其运算 7.(2025·山东淄博高二月考)如图，在空间四 1.(2025·湖南长沙高二期中)已知非零向量 边形0-ABC中，2BD=DC,E为AD的中点，设 a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,m,n, 0A=a,0i=b,0C=c. p不共面，若a∥b,则x+y= ( (1)试用向量a,b,c表示向 A.-13 B.-5 C.8 D.13 (2)若0A=0C=3,0B=2 2.(2025·山东泰安高二月考)已知空间向量a, ∠AOB=60°，求0E·AC的值 b,c满足a+b+c=0,lal=1,1b1=2,Icl=√7， 则a与b的夹角为 ( A.30°B.45° C.60° D.90° 3.(2025·广东广州高二月考)如图，在长方 体ABCD-A1B1C,D1中，AD=AA1=3,AB=4,E, F,G分别是棱CD,BC,CC1的中点，M是平 面ABCD内一动点，若直线DM与平面EFG 8.（2025·江西南昌高二月考)如图，在四棱锥 平行，则MB,·MD的最小值为 P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 是正方形，PD=AD=2,E是PA 城 (1)求1D1; A.23 B.9 (2)证明：DE1B亚； 4.在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=AD= (3)求cos(E,AC)的值. 1,AA1=2,P为底面ABCD上一点（包括边 界)，则AP·AC的取值范围为 5.(2025·河北邢台高二期中)已知向量a= (-2,3),b=(子，1,1，若a与6的夹角为 锐角，则实数t的取值范围是 6.已知三个空间向量a,b,c的模均为1，它们相 互之间的夹角均为60.若Ika+b+c|>√6，则k 的取值范围为 第三章黑白题097 题组2空间向量在立体几何中的应用 12.（(2025·四川德阳高二月考)如图，在长方 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= 体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4,CC1=2.P BC=2,AA1=22,E是棱CC,的中点，设直线 为B,C上一动点，记B,P=入BC BE与AC所成的角为，直线A,C与平面 (1)求线段PA的最小值； BDDB1所成的角为B,则a+B= (2)当PA取最小值时，求三棱锥C-APB的 A.105° B.120° C.135° D.150° 体积； (3)当AP∥平面ACD1时，求入的值. (第9题) (第10题) 10.（多选)(2025·河南郑州高二月考)如图， AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,ADL AB,AE-BC-2,AB-AD-1,CF- A.BD⊥EC (2025·江西宜春高二月考)在图中所示的 B.BF∥平面ADE 试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF C.平面EBD与平面ABCD 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直， 为 活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和 BF上移动，且CM和BN的长度保持相等， D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值 记CM=BN=t(0<t<√2). 为号 (1)求MN长的最小值； (2)当MW的长最小时，求二面角A-MW-B 11.(2025·辽宁大连高二月考)如图，圆台0102 的正弦值 中，上、下底面半径比为1：2，平面ABCD为 圆台轴截面，母线与底面所成角为？，上底面 中的一条直径EF满足∠D0,E=写，则A, BF夹角的余弦值为 选择性必修第一册·BS黑白题098(2)解：由题意知，DM,DC,DA两两垂直.以D为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，则 D00,o),4A10,o),M0.0,),N11,),E(分，1.0）假设在 线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMW,连接AE.易知A=(0,1, (e1,.武（分-10）=A=(00 A≤1，则感=武+店=（分，A-1,A）由S1平面N,得 .A=0,(A-1)+入=0， 合），所以1：只赦在线段上存在点5，使得S⊥平 21 面AMN,此时线段AS的长度为)2. 11.解：(1)以{A店，A⑦，A为单位正交基底，建 立空间直角坐标系如图所示.因为BC= 2,AP=AB=AD=1,所以B(1,0,0),P(0,0 1),D(0,1,0),C(1,2,0),则P=(1,0,-1), B= Pi=(0,1,-1),D元=(1,1,0).设平面PBD x n1·P=x1名1=0， 的-个法向量为n1=(x1为1，名1)，则 取x1=1,得 %1·pi=y11=0 n1=(1,1,1).设平面PCD的一个法向量为n=(x2,2,2),则 (n2·D元=xty2=0, 取x2=1,得n2=（1,-1,-1).设二面角 (m2Pi=y2-2=0, 1 B-PD-C的大小为0，则1cos01=Icos〈n1,n2〉I= 3x53,所 以血0-V1-o6-2 (2)设P克=AP元=（入，2，-A)(0<A≤1），则B配=P克-P店=(A 1,2入，-入+1).因为异面直线PD与BE所成角的大小为60°，所 cos 60=I cos(PD,BEI= 12入+（入-1）1 2×√2(A-1)2+42 2,解得入 子或A=0(会去)此时7应=（子，子，子），所以点E到平面 PBD的距离d= P2·n1l_3_45 1n1139 12.(1)证明：连接OA.,AB=PA,∠PAB=60°，.△PAB是正三角形 ∴.PB=AB=PA,同理可得PC=AB,∴.PB=PC.,O是BC的中点， 0 PLBCAB=AC,0A⊥BCAB⊥AC,0A=0B=2BC 0P⊥BC,PB2=0P2+0B2,.PA2=PB2=0P2+0B2=0P2+0A2 .OP⊥OA.·OA∩BC=O,OA,BCC平面ABC,∴.OP⊥平面ABC. (2)解：由(1)得OP⊥OA,OP⊥OB,OA⊥OB, 以O为原点，OA,OB,OP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，设AB=2,则A(1,0,0),B(0,1,0)， B C(0,-1,0),P(0,0,1).Bd=A2,.Q(-1, 1,1),显然0=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，设m=(x,y,z) mLB元 是平面BCQ的一个法向量，则 (m⊥Bd, {-2y=0取=1，则x=1,y=0,m=(10,1),cos(m,0= (-x+z=0.1 选择性必修第一册·BS m·0_上=巨由题可知二面角A-BC-Q为钝角，故二面角A 1m1022 BC-Q的大小为135. (3)解：假设存在点M,设B=AB(0≤A≤1)，则BM=AB武=(-入， 0,A)AM=A店+BM=(-1-A,1,A).直线AM与平面BCQ所成 角的正弦值为 7,·1cos(m,Ai)1= m·i1 1m11a1 -1 1 3 V2√(1+)2+1+A2 2 或入= (舍去)， BM 1 B02 压轴挑战 B解析：如图，取AD中点G,连接PG,因为AB⊥平面 PAD,ABC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD.因 为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以PGG边 ⊥AD.又PGC平面PAD,且平面ABCD平面KF PAD=AD,所以PG⊥平面ABCD.分别以GA,GP和过点G与AB平行的 直线为x,2,y轴建立如图所示的空间直角坐标系.则G(0,0,0),4(1,0, 0),D(-1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),设F(1,y,0),0<y<2,设D2=x D币=x(1,0,1)=(x,0,x),0<<1,故E(x-1,0,x),得E=(2-x,y,-x) P2=(x-1,0,x-1).又因为Pi=(1,0,-1),且异面直线PA与EF成30° 的角，故1Pi.E1=1P·1E1cos30°，即2=2×√(2-x)2+y2+x× 了子.因为0×2，所以(x-102e(0,号）则 ,即(x-1)2=11 专题探究5空间向量的综合应用 黑题 专题强化 1.B解析：因为a∥b,则存在入∈R,使得b=入a,即(x+1)m+8n+2yp= x+1=3入， 3入m-2An-4p,则8=-2入，解得x=-13,y=8,所以x+y=-5.故 2y=-4入， 选B. 2.C解析：由题设a+b=-c,则a2+2a·b+b2=c2,故5+2a·b=7,所 以cos(a,b)=子又(a,b)e[0,1801,所以(a,b)=60.故选C 3.C解析：如图，分别以A,A市，A4的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系，可得8(2,33)，♪(4，，0），c(4,3 2）0(03,3),B(4.0,3),设M(a,6.0),所以成-(2. -3）元-(（0，，名)，0才-(a,6-3,3)设平面c的法向量 3 n·E=0, 2x2y3z=0, 为n=(x,y,z),则 得 n.Ft=0, 33 2y+22=0, 1,2=-1,即n=（41,-1由于直线D,M与平面EG平行，则 0n=0,得-+6-3+3=0，即6=，=(4-a,-b,3)。 3 MD=(-a,3-b,3).所以MB·MD=(4-a)·(-a)+(-b)·(3-b)+ 黑白题064 9=-4-69=-4a+(广-49--59 16 02 4,由于ae(0,4),故当a=2时，M.MD取得最小值， 最小值为” 故选C (第3题) (第4题) 4.[0,2]解析：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0),C1(1,1,2).设P(m,n,0),0≤m≤1,0≤n≤1，则A币=(m, n,0),AC=(1,1,2),故A.AC=m+ne[0,2].故答案为[0,2]. 5.(33U(3,+）解析：因为a与6的夹角为角，所以a 0即（-2×（子）r3>0解得5南a8,得子-片 2=1 3 3,故≠3，放1的取值范围为(33)U(3,+).放容案为 (u3, 6.（-o,-3)U(1,+∞)解析：因为a,b,c的模均为1，它们之间的夹 1 角均为60，所以a2=b2=2=1,a:b=c·b=a·c=2又 (ka+b+c)2=k2a2+b2+c2+2ka·b+2ha·c+2c·b=2+2k+3>6,所 以k2+2k-3>0曰→(k+3)(k-1)>0→k<-3或k>1.故答案为(-0， -3)U(1,+∞). 7.解(2励=成励-}成号（成-=子c-b),故励 成+励=6+号(c-b)=子+号6B为A知的中点成- 2oioi=+g+6 1 (2由题宜每a6=号a,63c8=3,正=元-=6-，故 6 3a·c+ .19,1 1x3=- 3 6 +3×2+33 2 8.(1)解：因为PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正 方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2).因为P市= 成放P(号子子）故11 4 。,1626 √92+9=3 (2)证明：因为A(2,0,0),P(0,0,2),故E(1,0,1),故D2=(1,0,1), B=(-2,-2,2),所以D2·B=-2+2=0,所以D流1B 3)解：由12)可得成-（号号}），雨c0,20.微花 24 (-2,20),放s(成，d=市.花_3十子-03 aa 2 参考答案 9.C解析：建立以D为坐标原点的空间直角坐 标系如图所示，则B(2,2,0),E(0,2,√2)， A1(2,0,22),C(0,2,0),A(2,0,0),可得 A B2=(-2,0,2),A1元=(-2,2，-22)，易知 cos a=I cos(BE,AC)I= B·A1元| B1.1A亡 0,且0°≤α≤90°，所以a=90°.易得平面 BDD1B1的一个法向量为A花=(-2,2,0)，因此可得sinB=1cos(A元， Ac)1= 1A花1.1A1t2w2x42 .又0°≤B≤90°，可得B= 45°，因此+B=135°.故选C. 10.BCD解析：根据题意可知AE,AB,AD两两垂 直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如 图所示，可得B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1, 0),80.0,2),r1,2号）则d=(-11, 0),E武=(1,2，-2)，B2=(-1,0,2),所以Bi·× E元=-1×1+1×2+0×(-2)=1≠0，所以BD,EC不垂直，故A借误；依 题意，A店=(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又成=0,2， 气），可得成.应-0，则BR1AB,又因为直线BP2平面AD8,所 以BF∥平面ADE,故B正确；设m=(a,b,c)为平面BDE的一个法 向量则g0令6=20=2，c1,可得m=2,2, 1),而A龙=(0,0,2)即底面ABCD的一个法向量，设平面EBD与平 面ABGD夹角为a,则cosa=1s(m,1=1m·(=2。 1m1·1A3x21 号放C正确；设直线CB与平面80E所成角为0，成=(-1， 22如0-1成1：-号准nE贵故 选BCD. 11.0解析：如图，过点01作直线01P101B,过 点D作直线D0⊥OA于点Q.设A01= 2D0,=2,由题意可知∠DA0=于，0,02= B D0=3.在圆台中，0.0210，B,0,031A0范 0P,∴.以点01为坐标原点，0P所在直线为 G/P x轴，01B所在直线为y轴，0102所在直线为 z轴建立如图空间直角坐标系，.A(0,-2,0),B(0,2,0) (停5）小成（含s）小1 √(）+(3)+()2=6设4证，Br夹角为a,则wsa= 1A正.B () 工=0，故答案为0. A应·B 6x√6 12.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0),B1(4, 4,2),C(0,4,0),故B1元=(-4,0，-2).因为B1P=AB1元=A(-4, 0,-2)=(-4λ，0，-2A)(0≤入≤1)，所以P(4-4入，4,2-2)，故A2 (-4,4,2-2A),则PA=√(-4A)2+42+(2-2A)7=√20A2-8A+20 2v5-2以5=25（人写），放当A=号时，PA取得最 小值2√-4 5 黑白题065 (②)PA取最小值时，A=行，B产写之，则P元=号B衣，故 em=0m=子aem·AB=号×号5Aap·AB=号×专x 1 2BB,·BC·AB=x4x1x 64 F3×行×2×2x44=15 (3)因为D1(0,0,2),A1(4,0,2),则AD=(-4,0,2),A元=(-4,4， 0),A1户=(-4入，4，-2A),设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z),故 AD·m=-4x+2z=0,且Ad.m=-4x+4y=0,取z=2,则m=(1, 1,2),由于A1P∥平面ACD1时，故A1产⊥m,即-4入+4-4入=0，解得 1 2 (第12题) (第13题) 13.解：(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,又平面ABCD∩平面 ABEF=AB,CB⊥AB,CBC平面ABCD,所以CB⊥平面ABEF,又 AB⊥BE,如图，以B为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系.因为两个正方形的边长都为1，所 以A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,0,1).又CM=BN=t,则Ci=Ci= 2 后0，)u(停o1-)，同理可得x( 26,2t, 0小所以1=√（经+（径1v21 √（又02所以当=号时，w的长小最小 2 值为 21 (2)由(1)知，当MN的长最小时，M,N分别为正方形对角线AC和 B即的中点，可得M(宁0，号)N(分，分0)设平面Av的 法向量为m=(名，，又威-（分0，号），：(0，号 2*121=0, m·M= 取x1=1,可得m=(1,1,1).设 2121=0, 平面8wv的法向量为n=(a,6e),又成：(20,2），： n 1at 1 2a 2c=0, 2·11。’《1， m·n1 1,1),则cs(m,n〉=mm=3,所以血(m,n）= V个-(m2因此，二面角4Mw-8的正弦值为识 第三章章末检测 1.A解析：根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点，可得点(1，-2， 3)关于y轴的对称点坐标为(-1，-2，-3).故选A (6=入x, 2.B解析：由a∥b可得存在实数入使得b=Aa,即-4=2入，所以 y=-λ， 入=-2，x=-3,y=2.故x+y=-1,故选B. 3.A解析：在△ABD中，B=A⑦-AB,在△ACD中，D元=Ad-A,故 选择性必修第一册·BS 萨-+酥=+成-+子（励+成）=+子（市-破+ 成)+动}（成动=}应市花故选A 4.B解析：由题意，直线1的方向向量m=(2,1,1),P=(3,4,5),则 1P12-32+42+52=50,P0.m=6+4+5=15,1ml=6,所以点Q(2,4, 6直线的更离为4√成-(-√0-(g 故建取 5.D解析：由题图可知，AP=A+BP,则A·AP=A店.(A+BP)= A+A.B配因为正方体的棱长为1，AB⊥BP,所以A店·BP=0, A店·AP=A2+A店·BP,=1+0=1,故集合{yly=AB·AP,i=1,2,3, …,8}中的元素个数为1.故选D. 6.A解析：在三棱柱ABC-A,B,C,中，CC1⊥平面ABC,∠ACB= 90°，MM1=2,AC=BC=1,以点C为原点，CA,CB,CC1所在直线分别 为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,1,2),C(0,0, 0),A(1,0,0),B(0,1,0),CB1=(0,1,2),BA=(1,-1,0),BB1=(0 0,2),设平面ABB14的法向量n=(x,y,z),则.BB2。取 取 x=1,得m=(1,1,0),设直线B1C与平面ABB1A1所成角为6， 1品·m5xw2i而所以cos0=vim9 ICB,·ml1 则sin0= 、10-300因此，直线BC与平面ABBA1所成角的余弦值 为界0放选 (第6题) (第7题) 7.B解析：如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C1(0,1,1),设P(x,y,1), 0≤x≤1,0≤y≤1，.P7=(1-x,-y,-1),PC=(-x,1-y,0),Pi· 元11时y-(）》八(）”2 当xy=时，成：P风取得最小值分，当=0或1,7=0或1时， ,PC取得最大值0，所以时·PC的取值范国是[宁0]故 选B. 8.D解析：在正三棱锥P-ABC中，PA=PB= PC,又PA=1,AB=2,所以PA2+PB2=AB2, 所以PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PC⊥PB, 即PA,PB,PC两两垂直，把该三棱锥补成 ,0 个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的 B 外接球，正方体的体对角线就是外接球的直 径，易得m=之，如图，建立空间直角坐标系， 则10,0)，B(0.1,01,c00,0(分7）所 (-1.0d(-10,)a动-（分号分）设平面4c的- 个法向量为s=(x,),则。·A花-2=0令=1，则y=2=1,所 以s=(1,1,),则点0到平面ABC的距离n==。,所以 Isl 黑白题066