3.1 空间直角坐标系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　空间直角坐标系 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1.2　空间两点间的距离公式 学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,提升数学抽象、直观想象素养. 2.掌握空间向量的坐标表示,能在空间直角坐标系中求出点的坐标,通过在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画点的位置,提升逻辑推理、直观想象素养. 3.掌握空间两点间的距离公式,并能用两点间的距离公式解决简单问题,提升数学运算的核心素养. 问题1:在数轴上确定点的位置需要几个实数?在平面直角坐标系中确定一个点的位置需要几个实数? 提示:在数轴上,一个实数确定一个点的位置;在平面直角坐标系中,需要一个有序实数对(x,y)才能确定一个点的位置. 1.空间直角坐标系 过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴,通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 2.空间中点的坐标 (1)在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,任意一点P与三元有序实数组(x,y,z)之间,就建立了一一对应的关系:P↔(x,y,z). 三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z),其中x叫作点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,z叫作点P的竖坐标. (2) 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内 坐标的形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 问题2:在空间直角坐标系中,点O(0,0,0)到点P(x0,y0,z0)的距离怎么求?空间任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离怎么求? 提示:(1)如图, |OP|=,|OA|=|x0|,|OB|=|y0|,|OC|=|z0|,|OP|=. (2)作长方体使A,B为其体对角线的顶点,长方体的棱都平行于坐标轴, 由已知得,C(x2,y1,z1),D(x2,y2,z1),|AB|=, |AC|=|x-x2|,|CD|=|y1-y2|,|DB|=|z1-z2|,|AB|=. 3.空间两点间的距离公式 (1)在空间中,点P(x,y,z)到坐标原点O的距离 |OP|=. (2)已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为 |PQ|=. 点在空间直角坐标系中的坐标 [例1] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=1,E,F分别是棱BC,CC1上的点,|CF|=|AB|=2|CE|,|AB|∶|AD|∶|AA1|=1∶2∶4.试建立适当的坐标系,写出点E,F的坐标. 解:以A为坐标原点,射线AB,AD,AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示. 由题意知|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=4, 则|CF|=|AB|=1,|CE|=|AB|=, 所以|BE|=|BC|-|CE|=2-=. 所以点E的坐标为(1,,0),点F的坐标为(1,2,1). (1)若题目未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应遵循以下原则. ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性. (2)空间中确定点M坐标的三种方法. ①过点M作MM1垂直于xOy平面,垂足为M1,求出M1的横坐标和纵坐标,再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定点M的竖坐标; ②构造以OM为体对角线的长方体,由长方体的三条棱长结合点M的位置,可以确定点M的坐标; ③若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面,或点M在坐标轴或坐标平面上,则利用这一条件,再作轴的垂线即可确定点M的坐标. (3)由点的坐标确定点位置的方法. ①先确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置; ②以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点. [针对训练] 如图所示,四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,|PA|=2.试建立适当的空间直角坐标系,求出A,B