2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，涵盖弦长求解、中点弦问题及综合应用。通过椭圆、抛物线等实例导入，衔接圆锥曲线定义与方程，构建从基础到综合的学习支架。 资料突出通性通法提炼、一题多解与母题变式，助学生掌握设而不求等方法，培养逻辑推理与数学运算素养。随堂检测与详细解析支持自主学习，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 课标 要求 1.会求直线与圆锥曲线相交截得的弦长（数学运算）. 2.掌握圆锥曲线中的中点弦问题（逻辑推理）. 3.掌握直线与圆锥曲线的综合问题（数学运算）. 　　 题型一　求直线与圆锥曲线相交弦问题 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且点P（2，1）在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求｜AB｜的最大值. 尝试解答 【母题探究】 　（变设问）本例（2）条件不变，求△AOB面积的最大值. 通性通法 求弦长的两种方法 （1）求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：｜P1P2｜＝·（ 或｜P1P2｜＝·），其中x1，x2（y1，y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 〔一题多解〕已知抛物线C：y2＝4x，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝5，求AB所在直线的方程. 题型二　中点弦问题 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，一个焦点到该渐近线的距离为1. （1）求C的方程； （2）经过点M（1，4）的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程. 尝试解答 通性通法 中点弦问题的解题策略 已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程. 题型三　直线与圆锥曲线的综合问题 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷16题）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上两点. （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 尝试解答 通性通法 　　圆锥曲线的综合问题最终体现在对直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹、向量关系及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决这类问题常用的方法.在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，右顶点为（1，0）. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求·的取值范围. 1.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则｜AB｜＝（　　） A.4 B.2 C.1 D.4 2.已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（2，1），则直线l的方程为（　　） A.2x－y－3＝0 B.2x－y－5＝0 C.x－2y＝0 D.x－y－1＝0 3.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率为（　　） A.2　　　 B.3 C.　　　 D. 4.设F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，求使得·＝－7成立的点P的个数. 完成课后作业　第二章　§4　4.2 答案 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 【典例研析】 【例1】　解：（1）由题意得所以 所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝， 当m＝0时，满足Δ＞0，所以｜AB｜max＝4. 母题探究 解：由本例知｜AB｜＝，原点到直线的距离为d＝. 所以S△OAB＝×· ＝·≤ ·＝， 当且仅当m＝±时，等号成立，所以△AOB面积的最大值为. 跟踪训练 解：由题意知焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）.若AB⊥x轴，则｜AB｜＝4＜5，不满足题意.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0）. 法一　与抛物线方程联立消去x，整理得ky2－4y－4k＝0.Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝－4. 所以｜AB｜＝｜y1－y2｜＝·＝·＝4（1＋）＝5，解得k＝±2.所以AB所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0. 法二　与抛物线方程联立消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＞0，x1＋x2＝2＋. 所以｜AB｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝4＋＝5，解得k＝±2. 所以AB所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0. 【例2】　解：（1）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，所以＝2. 因为焦点（0，c）到直线y＝2x的距离d＝＝1， 所以c＝. 又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1， 所以双曲线C的方程为－x2＝1. （2）由题知直线l的斜率存在且不为0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8. 又A，B是双曲线上的两点，所以－＝1，－＝1，两式相减，得－－＋＝0，即＝4， 即＝4，所以k＝＝1， 所以直线l的方程为y－4＝x－1，即y＝x＋3. 经检验直线l：y＝x＋3与双曲线C有两个交点，满足条件，所以直线l的方程为y＝x＋3. 跟踪训练 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），则y1＋y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝＝. 易知 相减得（y1＋y2）（y1－y2）＝2（x1－x2）， 所以2y·＝2，即2y·＝2，即（y－）2＝x－（y≠0）. 当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上式，故所求轨迹方程为（y－）2＝x－. 【例3】　解：（1）由题意得解得 所以e＝＝＝. （2）法一　kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0， ｜AP｜＝＝， 由（1）知C：＋＝1， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为：x＋2y＋m＝0， 则＝，解得m＝6或m＝－18， 当m＝6时，联立 解得或 即B（0，－3）或（－3，－）， 当B（0，－3）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当B（－3，－）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当m＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 法二　同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 设B（x0，y0），则 解得或 即B（0，－3）或（－3，－），以下同法一. 跟踪训练 解：（1）由渐近线方程为y＝±x， 所以b＝a，右顶点为（1，0），所以a2＝1，b2＝3， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. （2）如图所示， 根据题意易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线和双曲线方程 消去y可得（3－k2）x2－4kx－7＝0， 因为直线与双曲线一支交于M，N两点， 所以解得3＜k2＜7， 因此·＝（x1，y1－2）（x2，y2－2） ＝x1x2＋（y1－2）（y2－2） ＝x1x2＋k2x1x2＝（k2＋1）x1x2 ＝7×＝7×（1＋）. 因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4， 所以＞1，所以·＝7×（1＋）＞14， 故·的取值范围是（14，＋∞）. 随堂检测 1.C　因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为（，0），将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故｜AB｜＝1.故选C. 2.A　设A（x1，y1），B（x2，y2），则⇒＝＝2，所以k＝2，因为直线过点M（2，1），所以直线l的方程为2x－y－3＝0.故选A. 3.C　设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知可得－＝1，－＝1，两式相减化简可得－·＝0.又线段AB的中点N的坐标为（12，15），直线AB过点P（3，6），∴x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，＝1，∴＝，∴＝1＋＝，∴离心率e＝＝. 4.解：设P（x0，y0）.∵F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点， ∴F1（－4，0），F2（4，0），∴＝（－4－x0，－y0），＝（4－x0，－y0）.∵·＝－7，∴（－4－x0）（4－x0）＋（－y0）2＝－7，即＋＝9　①. 又∵P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴＋＝1　②. 联立①②解得或 ∴使得·＝－7成立的点P的个数为2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $