2.3.2 抛物线的简单几何性质(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦抛物线的简单几何性质，通过信号接收塔、太阳灶等生活实例导入，联系椭圆、双曲线的学习提出探究问题，以表格形式对比四种标准方程的焦点、准线等性质，搭建知识迁移的学习支架。 资料突出数形结合与实际应用，设置“想一想”“自我诊断”“题型分类”等环节，培养学生直观想象和数学运算核心素养，一题多解与通性通法总结帮助学生构建逻辑体系，提升解决问题的能力。

3.2　抛物线的简单几何性质 课标 要求 1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质（直观想象）. 2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用（数学运算）. 　　 　　生活中不乏以抛物线为原型的例子，信号接收塔、太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等.除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质.比如信号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚集性，抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等. 【问题】　就如前面学习椭圆、双曲线一样，抛物线有哪些几何性质呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） 图形 性 质 焦点 　　　 　　　 　　　 　　　 准线 　　　 　　　 　　　 　　　 范围 　　　 　　　 　　　 　　　 对称轴 　　　　 　　　　 顶点 　　　 离心率 　　　　　 开口方向 　　 　　 　　 　　 【想一想】 　在同一平面直角坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴.（　　） （2）抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.（　　） （3）抛物线是中心对称图形.（　　） （4）只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程.（　　） （5）有的抛物线的离心率不为1.（　　） 2.若点M（a，b）在抛物线x2＝8y上，则下列点中一定在该抛物线上的是（　　） A.（－a，－b） B.（a，－b） C.（－a，b） D.（－b，－a） 3.设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（　　） A.（6，＋∞） B.[6，＋∞） C.（3，＋∞） D.[3，＋∞） 4.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，｜AF｜＝2，则｜BF｜＝　　　　. 题型一　由性质求抛物线的标准方程 〔一题多解〕（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； 尝试解答 （2）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 尝试解答 通性通法 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数； （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准距，从而得到抛物线的标准方程. 1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（　　） A.y2＝x B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x 2.若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为　　　　. 题型二　由抛物线的方程研究其几何性质 已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 确定抛物线的简单几何性质的三个要点 （1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负； （2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴； （3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p（p＞0）. 1.抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　　　　. 2.已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且｜AF｜＝3｜BF｜，则直线l的倾斜角为　　　　. 题型三　抛物线的实际应用问题 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 尝试解答 通性通法 求抛物线实际应用问题的五个步骤 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为　　　　cm（碗体和碗盖的厚度忽略不计）. 1.下列关于抛物线C：x2＝－y的说法正确的是（　　） A.开口向下，准线方程为y＝－ B.开口向左，准线方程为x＝－ C.开口向下，准线方程为y＝ D.开口向左，准线方程为x＝ 2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝（　　） A.5　　　 B.6 C.8　　　 D.10 3.〔多选〕以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　） A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y 4.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px（p＞0）反射后，与x轴相交于点A（2，0），则该抛物线的焦点到准线的距离为　　　　. 5.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率等于　　　　. 　活用抛物线的焦点弦 　设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则 （1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2； （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角）； （3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）. 一、活用x1·x2＝，y1·y2＝－p2 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　） A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特征的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象、数学运算的核心素养. 二、活用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 尝试解答 通性通法 　　利用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）可较为迅速的求解焦点弦的长度问题. 三、活用＋＝为定值 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（　　） A.4 B. C.5 D.6 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　该题将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象及数学运算的核心素养. 完成课后作业　第二章　§3　3.2 答案 3.2　抛物线的简单几何性质 【基础落实】 新知初探 知识点 F　F　F　F　x＝－　x＝　y＝－　y＝　x≥0，y∈R　x≤0，y∈R　x∈R，y≥0　x∈R，y≤0　x轴　y轴　O（0，0）　e＝1　向右　向左　向上　向下 想一想 提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√　（5）× 2.C　由抛物线关于y轴对称可知，点（－a，b）一定在抛物线上，故选C. 3.B　∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴＝6，即p＝12.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[6，＋∞）. 4.2　解析：F（1，0），由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴｜BF｜＝｜AF｜＝2. 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M（m，－3）位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下. 法一　设所求抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）. 因为M（m，－3）在抛物线上且｜MF｜＝5， 故解得 故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 法二　如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）， 准线l：y＝，过点M作MN⊥l，垂足为N，则｜MN｜＝｜MF｜＝5，而｜MN｜＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2. 故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. （2）由题意，可设抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），则焦点为F（，0），直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为（，p），（，－p），所以｜AB｜＝2｜p｜. 因为△OAB的面积为4， 所以··2｜p｜＝4，所以p＝±2. 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x. 跟踪训练 1.C　设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（取点A在x轴上方），则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 2.y2＝4x或y2＝36x　解析：∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为（x，6）.又∵点M到准线的距离为10，∴解得或故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x. 【例2】　3　解析：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于抛物线的对称轴（x轴）对称，不妨设A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则B（x0，－y0）.由｜AF｜＝x0＋＝，解得x0＝3，∴y0＝，∴△AOB的边长｜AB｜＝2y0＝2，∴△AOB的面积为×（2）2×＝3. 跟踪训练 1.6　解析：如图，在等边△ABF中，DF＝p，BD＝p，则B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6. 2.60°　解析：如图，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作AM，BN垂直于m，垂足为M，N，作BE⊥AM于点E，因为｜AF｜＝｜AM｜，｜BF｜＝｜BN｜，且｜AF｜＝3｜BF｜，所以｜AM｜＝3｜BN｜，｜AB｜＝4｜BF｜，｜AE｜＝｜AM｜－｜ME｜＝2｜BF｜，所以cos∠BAE＝，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°. 【例3】　解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系. 因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A（10，－2）. 设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py（p＞0）， 则102＝－2p×（－2）， 所以p＝25， 所以抛物线方程为x2＝－50y， 即y＝－x2. 若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时， y＝－×82＝－1.28， 即船体在x＝±8之间通过点B（8，－1.28），此时B点距水面6＋（－1.28）＝4.72（米）. 而船体高为5米，所以无法通行. 又因为5－4.72＝0.28（米），0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050（吨）， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔. 跟踪训练 7　解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，得42＝4（h－3），解得h＝7. 随堂检测 1.C　抛物线C：x2＝－y的开口向下，准线方程为y＝.故选C. 2.C　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8. 3.CD　设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py（p＞0），依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得｜x｜＝p，∴2｜x｜＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 4.4　解析：依题意，A（2，0）为该抛物线的焦点，则＝2，得p＝4.∴该抛物线的焦点到准线的距离为4. 5.－　解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A（－2，3）在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为（2，0），故直线AF的斜率k＝＝－. 拓视野　活用抛物线的焦点弦 【例1】　C　设A（x1，y1），B（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x，故选C. 【例2】　解：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则｜AB｜＝，∴＝8，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 【例3】　B　因为｜AF｜＝2｜BF｜，＋＝＋＝＝＝1，解得｜BF｜＝，｜AF｜＝3，故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $