第2章 2.2 双曲线的简单几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆的研究方法，系统梳理范围、对称性、顶点、实轴虚轴、离心率、渐近线等性质，构建“定义-方程-性质-应用”的学习支架，衔接椭圆知识，形成圆锥曲线完整认知脉络。 该资料以问题链驱动探究，如通过类比椭圆性质的问题引导学生抽象双曲线特征，培养数学眼光；例题中待定系数法、方程转化等推理过程发展数学思维；知识梳理表格和规范解题步骤强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

2.2　双曲线的简单几何性质 学习目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 导语 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质. 一、双曲线的几何性质 问题1　已知双曲线C：－y2＝1，类比研究椭圆性质的方法来研究双曲线C的几个性质：(1)范围；(2)对称性；(3)顶点及实轴的长；(4)离心率. 提示　(1)由＝1＋y2≥1，得x≤－2或x≥2且y∈R. (2)关于x轴、y轴对称，关于原点对称. (3)顶点：A1(－2，0)，A2(2，0)，实轴长为4. (4)离心率e＝∈(1，＋∞). 问题2　如图，我们画出双曲线x2－＝1的图象，点P(x，y)在双曲线上且在第一象限，当x→＋∞时，点P是否无限逼近直线y＝x，并指出点P与直线y＝x的位置关系？ 提示　当P在第一象限时，y＝，x>1， 当x→＋∞时，→1且<1，∴y→且y<，故P在第一象限，当x→＋∞时，点P无限逼近直线y＝x且在直线y＝x的下方.(把直线y＝±x叫作双曲线x2－＝1的渐近线) 知识梳理　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 轴长 实轴长：线段A1A2的长度；虚轴长：线段B1B2的长度 顶点 坐标 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 注意点： (1)B1(0，－b)，B2(0，b)或B1(－b，0)，B2(b，0)不是双曲线上的点，不能称为顶点. (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0). 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为＝1， 即＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 延伸探究　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解　(1)设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0). ∵e＝， ∴e2＝＝1＋， ∴. 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为＝1. (2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则. ① ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴＝1. ② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则. ③ ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴＝1. ④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0). ②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0). 跟踪训练1　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)与双曲线＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)； (2)过点(6，0)，与双曲线＝1的离心率相等. 解　(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ∈R，且λ≠0)， 由题意可知＝λ，解得λ＝. 所以所求双曲线的标准方程为＝1. (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(6，0)的坐标代入方程得λ＝2， 故所求双曲线的标准方程为＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(6，0)的坐标代入方程得λ＝－4<0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为＝1. 三、求双曲线的离心率 例3　(1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 答案　C 解析　设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)， 则|F1F2|＝2c＝8， |PF1|＝＝10， |PF2|＝＝6， 则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4， 则e＝＝2. (2)已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由双曲线＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2， 则圆心到渐近线的距离为d＝，则＝2，可得e＝. 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解. (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程p·c2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解. 跟踪训练2　已知F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率. 解　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得＝1，那么y＝±. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0， 所以－2×－1＝0， 即e2－2e－1＝0， 所以e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋. 1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)由双曲线几何性质求标准方程. (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 1.双曲线＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　由已知得左焦点的坐标为(－5，0)，右顶点的坐标为(3，0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.渐近线方程为y＝±2x D.离心率为 答案　ABD 解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率为. 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 答案　A 解析　令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8. 4.已知F1，F2是双曲线C：＝1(b>0)的两个焦点，点A(x0，4)(x0>0)在双曲线C上，且△F1AF2的面积为20，则双曲线C的离心率e＝　　　　. 答案　 解析　因为△F1AF2的面积为20， 所以·|F1F2|·4＝×2×c×4＝20⇒c＝5， 所以e＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知双曲线＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝. 2.与双曲线x2－＝1有相同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.y2－＝1 答案　A 解析　依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)， 将点(2，2)代入求得λ＝3， 所以所求双曲线的标准方程为＝1. 3.双曲线－y2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为(　　) A. B. C. D.1 答案　A 解析　双曲线－y2＝1的右顶点为(2，0)， 渐近线方程为x±2y＝0， 则点(2，0)到直线x±2y＝0的距离 d＝. 4.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D.5 答案　B 解析　e＝. 5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 答案　AD 解析　双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上， 所以， 因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b＝4，a＝3， 所以C的方程为＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离d＝＝4，C不正确； |PF|的最小值为c－a＝2，D正确. 6.已知双曲线C：＝1(m>0)的焦点为F1，F2，虚轴上端点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　C 解析　如图所示， 由题意知，a2＝m2＋1，b2＝m2， 则c2＝a2＋b2＝2m2＋1， 因为A是双曲线的虚轴上端点，且m>0， 所以A(0，m)， 又因为∠F1AF2＝， 所以tan∠AF1O＝tan∠AF2O＝， 即，解得 m＝1. 7.(5分)已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　. 答案　4x±3y＝0 解析　由椭圆＝1知，长轴端点分别为(－5，0)和(5，0)，焦点是(－3，0)，(3，0)， 由此可知，双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)， 顶点为(－3，0)，(3，0)， ∴双曲线方程为＝1， ∴渐近线方程为4x±3y＝0. 8.(5分)若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为　　　　　　. 答案　＝1 解析　椭圆4x2＋y2＝64可变形为＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， ∴焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c'＝4，e'＝， 从而a'＝6，b'＝2.双曲线的方程为＝1. 9.(10分)求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6；(3分) (2)一个焦点为(0，13)，且离心率为；(3分) (3)过点(2，1)的等轴双曲线.(4分) 解　(1)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36， 双曲线方程为＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81， 双曲线方程为＝1. 故所求双曲线的标准方程为 ＝1或＝1. (2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故其标准方程为＝1. (3)设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2，1)，则λ＝3， ∴所求双曲线方程为＝1. 10.(10分)设双曲线＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点.已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 解　直线l的方程为＝1， 即bx＋ay－ab＝0， 于是有c，即4ab＝c2， 两边平方得16a2b2＝3c4， 所以16a2(c2－a2)＝3c4， 即3c4－16a2c2＋16a4＝0， 即3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝， 因为b>a>0，所以>1，e2＝＝1＋>2， 故e2＝4，所以e＝2. 11.已知双曲线C：x2－2y2＝λ(λ≠0)，则其离心率为(　　) A. B. C. D.或 答案　D 解析　当λ>0时，原方程化为＝1， 此时a2＝λ，b2＝，c2＝a2＋b2＝， 由e2＝，可得e＝； 当λ<0时，原方程化为＝1， 此时a2＝－，b2＝－λ，c2＝a2＋b2＝－， e2＝＝3，可得e＝. ∴其离心率为或. 12.(多选)已知曲线C：＝1，下列说法不正确的是(　　) A.当m<2时该曲线为双曲线 B.m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件 C.若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上 D.若该曲线的离心率为，则m＝或m＝－ 答案　AB 解析　由题意知，若曲线C为双曲线， 则即m<2且m≠0，故A不正确； 若该曲线为等轴双曲线，方程可化为＝1， 则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确； ∵m2>0，故C正确； e＝，∴＝7，即6m2＋m－2＝0， 解得m＝或m＝－，故D正确. 13.(多选)已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 答案　AB 解析　方法一　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况. 当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示. 所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝， 即或. 又b2＝c2－a2，所以＝3或， 所以e2＝4或e2＝，所以e＝2或e＝. 同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则或，所以或，亦可得到e＝或e＝2. 综上可得，双曲线的离心率为2或. 方法二　根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°， 则离心率e＝或2. 当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，则离心率e＝＝2或. 综上可得，双曲线的离心率为2或. 14.(5分)已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为　　　　　　. 答案　32 解析　根据题意，得双曲线C：＝1的左焦点F(－，0)， 所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点，虚轴长为6，所以|PQ|＝12，双曲线图象如图所示. |PF|－|PA|＝2a＝4， ① |QF|－|QA|＝2a＝4， ② ①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8， 所以△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ| ＝8＋2|PQ|＝32. 15.(5分)已知椭圆M：＝1(a>b>0)，双曲线N：＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为　　　　；双曲线N的离心率为　　　　. 答案　－1　2 解析　椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况. 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图. 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为， 所以椭圆的半焦距为2，2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为－1. 双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝， e2＝＝1＋＝4， 所以双曲线N的离心率为2. 16.(12分)如图，已知双曲线Γ：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与弦CD相交于点P. (1)若d＝(2，)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两条渐近线的夹角θ的正切值；(5分) (2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程.(7分) 解　(1)双曲线＝1的渐近线方程为 y＝±x，即bx±ay＝0，所以<1， 从而tan，tan θ＝＝4. (2)设P(xP，yP)，则由条件知， xP＝(|PB|－|PA|)＋|PA| ＝(|PB|＋|PA|)＝3， yP＝(|PC|＋|PD|)－|PC| ＝(|PD|－|PC|)＝1， 即P(3，1)，所以A(2，1)，C(3，3)， 代入双曲线方程得解得 故双曲线Γ的方程为＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $