2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（1）(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，以“概念-性质-应用”逻辑链构建方法体系，通过基础巩固与综合运用分层训练，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|9题|标准方程转化、基本量（a,b,c,e）关系应用、离心率分类计算|从椭圆标准方程（概念生成）到基本量关系推导，夯实几何性质基础| |综合运用|5题|定义法求轨迹、函数法求最值、焦点三角形性质应用|以轨迹问题、最值问题为载体，拓展椭圆性质的综合应用，体现知识迁移|

第一课时　椭圆的简单几何性质（一） 1.椭圆6x2＋y2=6的长轴端点坐标为（　　） A．（－1，0），（1，0）　 B．（－6，0），（6，0） C．（－，0），（，0）　 D．（0，－），（0，） 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为（　　） A．＋=1　 B．＋y2=1 C．＋=1　 D．x2＋=1 3.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋=1（a＞b＞0）的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 4.设B是椭圆C：＋=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（　　） A．16　 B．4 C．3　 D．5 5.椭圆＋=1与椭圆＋=1（k＜9，k≠0）必定有（　　） A．相等的长轴长　 B．相等的焦距 C．相等的短轴长　 D．相等的离心率 6.〔多选〕已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 7.已知椭圆C的焦点分别为F1（－3，0），F2（3，0），P1，P2为椭圆上的两点，且△P1F1F2与△P2F1F2周长之和为28，则该椭圆C的方程为　　　　． 8.已知椭圆＋=1的离心率为，则m=　　　　． 9.若椭圆mx2＋y2=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值为　　　　，焦点坐标为　　　　． 10.已知圆M：（x＋3）2＋y2=64的圆心为M，定点N（3，0），动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是曲线C上一点，且∠QMN=60°，求△QMN的面积． 11.椭圆x2＋my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短半轴长的四倍，则m的值为（　　） A.2　　 B．　　 C.4　　 D． 12.〔多选〕椭圆C：＋y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中正确的是（　　） A．若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8 B．椭圆C上存在点P，使得•=0 C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上存在点P，|PF2|∈［2－，2＋］ 13.如图，把椭圆＋=1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7这七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|=　　　　． 14. 已知椭圆＋=1（a＞b＞0）的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点．若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e=，求•的取值范围． 第一课时　椭圆的简单几何性质（一） 1.D　∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上，∴长轴端点坐标为（0，－），（0，）. 2.A　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 3.A　由题意得解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.故选A. 4.B　B（0，2），设P（x0，y0），则－2≤y0≤2，＋＝1，所以｜PB｜＝＝＝，因为－2≤y0≤2，所以当y0＝－2时，｜PB｜有最大值，最大值为4.故选B. 5.B　因为k＜9，k≠0，所以25－k＞9－k＞0，所以椭圆＋＝1中a2＝25－k≠25，b2＝9－k≠9，故A、C错误；椭圆＋＝1中的c2＝a2－b2＝（25－k）－（9－k）＝16，椭圆＋＝1中的c2＝25－9＝16，所以两椭圆的c相等，即有相等的焦距，故B正确；离心率e＝，两椭圆的a不相等，c相等，所以椭圆的离心率不相等，故D错误.故选B. 6.AC　由椭圆的定义可得2a＝12，则a＝6.因为椭圆G的离心率为＝，则c＝3，所以b＝＝3.若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为＋＝1；若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为＋＝1.故选A、C. 7.＋＝1　解析：由题意得∴∴b2＝a2－c2＝7，∴椭圆C的方程为＋＝1. 8.3或　解析：由于题中没有明确指出焦点在哪个坐标轴上，所以要分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况讨论：当焦点在x轴上时，0＜m＜4，＝，解得m＝3；当焦点在y轴上时，m＞4，＝，解得m＝.综上，m＝3或m＝. 9.4　（0，±）　解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意得2a＝2×2b，则a2＝4b2，又椭圆标准方程为＋y2＝1，且焦点在y轴上，所以1＝，即m＝4，c2＝1－＝，即焦点坐标为（0，±）. 10.解：（1）由已知｜PN｜＝｜PA｜，故｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM｜＋｜PA｜＝｜AM｜＝8＞｜MN｜， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 设点P的轨迹方程为＋＝1（a＞b＞0），则2a＝8，c＝3，b2＝7， 所以点P的轨迹方程为＋＝1. （2）不妨设｜MQ｜＝m，由椭圆定义可得｜QN｜＝2a－m＝8－m，又｜MN｜＝2c＝6， 则在△MNQ中，由余弦定理可得：cos∠QMN＝＝，解得m＝. 故△QMN的面积S＝×sin∠QMN×m×2c＝c×m＝××3＝. 11.D　椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，则有0＜m＜1，由椭圆方程x2＋＝1可得b＝1，a＝，由长轴长是短半轴长的四倍，可得＝2，解得m＝.故选D. 12.ABD　由椭圆C：＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；因为c＞b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得·＝0，故B正确；椭圆C的离心率e＝＝，故C错误；对于D，易知a－c≤｜PF2｜≤a＋c，｜PF2｜∈[2－，2＋]，D正确. 13.35　解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35. 14.解：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2. 因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝， 则椭圆的方程为＋＝1， 所以点A的坐标为（－2，0），点F的坐标为（－1，0）. 设P（x，y），－2≤x≤2，则·＝（x＋2，y）·（x＋1，y）＝x2＋3x＋2＋y2. 由椭圆的方程得y2＝3－x2，所以·＝x2＋3x－x2＋5＝（x＋6）2－4. 因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $