2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质（2）(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦椭圆离心率及几何性质，通过一题多解、真题应用构建系统性解题方法，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题|离心率计算（公式法/几何法）、椭圆定义应用、方程联立|从a,b,c关系到离心率e=c/a，结合定义与几何性质解决基础问题| |B级综合运用|4题|中垂线性质、正弦定理、实际问题建模|综合几何直观与代数运算，拓展至焦点三角形、卫星轨道等复杂情境|

第二课时　椭圆的简单几何性质（二） 1.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（　　） A．30 cm　 B．20 cm　 C．10 cm　 D．10 cm 2.已知椭圆＋=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若=2，则椭圆的离心率是（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 3.已知椭圆C：＋=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|＋|PF2|=10，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 4.〔一题多解〕直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 5.〔一题多解〕（2023•新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2=1（a＞1），C2：＋y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a=（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 6.〔多选〕已知椭圆C：＋y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（　　） A．|PF1|＋|PF2|=2 B．离心率e= C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－=0相切 7.已知椭圆C：＋=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为　　　　． 8.椭圆C：＋=1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在椭圆C上且关于原点对称，若直线AP，AQ的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为　　　　． 9.若椭圆C：＋=1（m＞9）比椭圆D：＋=1更扁，则C的长轴长的取值范围是　　　　． 10.椭圆＋=1（a＞b＞0）的右顶点是A（a，0），其上存在一点P，使∠APO=90°，求椭圆离心率的取值范围． 11.设F1，F2分别为椭圆＋=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若直线x=上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A．（0，］　 B．（0，］ C．［，1）　 D．［，1） 12.〔多选〕1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（　　） A．卫星向径的取值范围是［a－c，a＋c］ B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 13.已知椭圆＋=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使=，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　． 14.（2026•绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋=1（x≤0）和＋=1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）． （1）求“挞圆”的方程； （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值． 第二课时　椭圆的简单几何性质（二） 1.B　因为两个椭圆的离心率相同，所以＝，所以＝，所以2a小＝20，所以小椭圆的长轴长为20 cm. 2.D　如图，∵＝2，∴｜OA｜＝2｜OF｜，∴a＝2c，∴e＝. 3.B　根据椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，所以a＝5，由离心率e＝＝，所以c＝，由b2＝a2－c2＝25－5＝20，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 4.B　法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝或e＝－（舍去）. 法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝. 法三　如图，由题意得在椭圆中，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b，BF＝a.在Rt△OFB中，｜OF｜×｜OB｜＝｜BF｜×｜OD｜，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝. 5.A　法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. 6.AD　对于A选项，由椭圆的定义可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，所以A选项正确.对于B选项，依题意知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正确.对于C选项，｜F1F2｜＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误.对于D选项，以线段F1F2为直径的圆的圆心为（0，0），半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为A、D. 7.　解析：不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为（2，0），所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 8.　解析：设P（x0，y0），Q（－x0，－y0），＋＝1，且x0≠±a，A（－a，0），则kAPkAQ＝·＝＝＝－＝－，所以e＝＝. 9.（6，＋∞）　解析：椭圆C：＋＝1（m＞9）的离心率e1＝，椭圆D：＋＝1的离心率e2＝＝.因为椭圆C：＋＝1（m＞9）比椭圆D：＋＝1更扁，所以e1＞e2，即＞，解得m＞18，则2＞6，所以椭圆C的长轴长的取值范围是（6，＋∞）. 10.解：设P（x，y），由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝. ∴y2＝ax－x2. ① 又P点在椭圆上，故＋＝1. ② 把①代入②化简，得（a2－b2）x2－a3x＋a2b2＝0， 即（x－a）[（a2－b2）x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0， ∴x＝，又0＜x＜a， ∴0＜＜a，即2b2＜a2. 由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，∴e＞. 又∵0＜e＜1，∴＜e＜1. 故所求椭圆离心率的取值范围为（，1）. 11.D　由垂直平分线的性质知｜F1F2｜＝｜PF2｜，设直线x＝与x轴的交点为M，则｜PF2｜≥｜F2M｜，即｜F1F2｜≥｜F2M｜，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选D. 12.ABD　根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更长，B正确；＝＝－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确.故选A、B、D. 13.（－1，1）　解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）. 14.解：（1）由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25. 所以“挞圆”方程为＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）. （2）设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t×x0＝15×34×2××≤15×34×（＋）＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $