1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学习目标 1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质．　2.依据几何条件求出椭圆方程，并根据椭圆方程研究其他的几何性质． 一　椭圆的几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图象 标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 范围 _________ ____________ 顶点 ____________ ________________ 轴长 短轴长为____，长轴长为____ 焦点 ________________ ______________ 焦距 |F1F2|＝____ 对称性 对称轴：____________，对称中心：________ 离心率 e＝________(0＜e＜1) 点拨　(1)a，b，c的几何意义 a是椭圆长半轴长，b是椭圆短半轴长，c是半焦距，且a2＝b2＋c2，如图． (2)椭圆离心率的意义 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁； 当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越接近于a，因此椭圆越接近于圆． 当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2. [答案自填] －a≤x≤a且－b≤y≤b　－b≤x≤b且－a≤y≤a　A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)　A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)　2b　2a　F1(－c，0)，F2(c，0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　2c　x轴和y轴　原点　 　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 【解】　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，所以e＝＝＝，所以m＝3，所以b＝，c＝1，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，). ②当m＞4时，a＝，b＝2，所以c＝，所以e＝＝＝，解得m＝，所以a＝，c＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2，0)，B2(2，0). 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论). (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． [跟踪训练1] 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 解：(1)由题意，可得椭圆C1的长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. (2)由题意，椭圆C2：＋＝1，几何性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，－10)，(0，10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，－6)，(0，6)，焦距：|F1F2|＝12；⑤离心率：e＝；⑥轴长：长轴长为20，短轴长为16. 二　由几何性质求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3，0)，离心率e＝. 【解】　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得a＝3，因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3，因为e＝，所以＝＝，解得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤如下： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有a2＝b2＋c2，e＝等． [跟踪训练2] (1)过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选C．由3x2＋8y2＝24化简可得＋＝1，焦点为(±，0)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，有解得所以所求椭圆方程为＋＝1.故选C． (2)若椭圆M的焦点为椭圆N：＋x2＝1长轴的顶点，且M经过点(－，1)，则M的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选D．椭圆N：＋x2＝1长轴的顶点坐标是(0，±2)，所以椭圆M的焦点为(0，±2)，故可设M的方程为＋＝1，将(－，1)代入，得＋＝1，所以b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，所以b2＝2，故M的方程为＋＝1.故选D． 三　椭圆的离心率 　(1)设椭圆C1：＋y2＝1，C2：＋＝1(0<b<3)的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则b＝(　　) A．1 B．2 C． D． (2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，求该椭圆的离心率． 【解】　(1)选B．对于椭圆＋＝1(a>b>0)，有e＝＝＝＝.因为e2＝e1，所以 ＝× ，解得b＝2.故选B． (2)根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，左、右焦点坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0).依题意设点A坐标为(－c，)，则点B坐标为(－c，－)，所以|AB|＝.由△ABF2是等边三角形得2c＝×，即b2＝2ac.又因为b2＝a2－c2，所以c2－a2＋2ac＝0，两边同时除以a2，得()2＋2·－＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，则e＝. 【变式探究】 (条件变式)在本例(2)中，若△ABF2为钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围为____________________________________． 解析：因为△ABF2为钝角三角形，所以∠AF2B＞，即∠AF2F1＞，所以|AF1|＞|F1F2|，即>2c，所以b2＞2ac，即a2－c2＞2ac，所以1－e2＞2e，即e2＋2e－1＜0，所以0＜e＜－1，所以椭圆离心率e的取值范围是(0，－1). 答案：(0，－1) 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2，求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [跟踪训练3] (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是C的左、右焦点，P为C上一点，若线段PF1的中点M在y轴上，∠PF1F2＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D．2－ 解析：选A．由于线段PF1的中点M在y轴上，O是F1F2的中点，所以MO∥PF2，所以PF2⊥x轴，|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝，所以|PF2|＝|F1F2|·tan ∠PF1F2＝，|PF1|＝＝＝，由椭圆定义可得＋＝2a，即a＝c，可得e＝.故选A． (2)(2024·安徽省宿松中学联考)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P，Q为C上两点，2＝3，若⊥，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．设||＝3m，则||＝2m，||＝2a－3m，|＝2a－2m.|PQ|＝5m，又⊥，所以PF1⊥PF2，在△PQF1中，由勾股定理得(2a－3m)2＋25m2＝(2a－2m)2，即m＝.因此||＝，||＝，||＝2c，在△PF1F2中，由勾股定理得＋＝4c2，故17a2＝25c2，所以e＝.故选D． 1．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(0<a<9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 解析：选C．因为＋＝1中c2＝a2－b2＝25－9＝16，所以c＝4，焦距为2c＝8；因为＋＝1中(c′)2＝(a′)2－(b′)2＝(25－a)－(9－a)＝16，所以c′＝4，焦距为2c′＝8，因为0<a<9，所以两椭圆的长轴长、短轴长与离心率均不相等．故选C． 2．(2024·广西北海统考)已知椭圆E的方程为＋ ＝8，则椭圆E(　　) A．长轴长为16 B．短轴长为4 C．焦距为2 D．焦点为(－2，0)，(2，0) 解析：选B．因为＋＝8>4，所以椭圆E是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆E：＋＝1(a>b>0)，由题意2a＝8，即a＝4，由b2＝a2－c2＝12可知椭圆E的标准方程为＋＝1.由方程可得长轴长为8，焦距为4，短轴长为4.故选B． 3．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为____________． 解析：因为椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，所以m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1， 由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，所以m＝2，则椭圆方程为＋＝1，所以a＝，2a＝2. 答案：2 4.如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程． 解：依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，所以△B1FB2为等腰直角三角形，所以|OB2|＝|OF|，即b＝c.又|FA|＝－，即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，联立解得 所以所求椭圆的方程为＋＝1. 1．已学习：由椭圆的标准方程研究几何性质、由几何性质求椭圆的标准方程、求椭圆的离心率及取值范围． 2．须贯通：确定椭圆的几何性质：首先化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个坐标轴上；求椭圆离心率及范围的方法有直接法和方程法，求解时应用分类讨论的数学思想． 3．应注意：不要忽略椭圆离心率的取值范围为0<e<1及长轴长与a的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $