1.2.1 圆的标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案围绕圆的标准方程展开，通过“天空平面、月亮为圆”的情境问题导入，引导学生回顾确定圆的几何要素，从圆心与半径出发推导方程，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 资料以情境激发兴趣，通过一题多解、母题探究培养逻辑推理，结合通性通法总结提升数学运算能力，自我诊断与随堂检测巩固知识，符合直观想象、数学运算等核心素养，助力学生自主构建知识体系。

2.1　圆的标准方程 课标 要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（直观想象、数学运算）. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）. 　　 　　月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写月亮. 【问题】　如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆的标准方程 1.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 2.圆的简单几何性质 已知圆的方程为x2＋y2＝r2. ① （1）范围：由方程①可得圆上任意一点P（x，y）都满足不等式：｜x｜≤　　　，｜y｜≤　　　； （2）对称性：圆①既是关于　　轴和　　轴的轴对称图形，也是关于　　　　的中心对称图形. 提醒：（1）所谓标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；（2）圆的标准方程的右端r2＞0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程；（3）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；圆上的点的坐标都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上. 【想一想】 1.回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 2.已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a，b，r∈R）表示一个圆.（　　） （2）弦的垂直平分线必过圆心.（　　） （3）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.（　　） （4）圆心与切点的连线长是半径长.（　　） 2.圆（x－2）2＋（y＋3）2＝2的圆心和半径分别是（　　） A.（－2，3），1 B.（2，－3），3 C.（－2，3）， D.（2，－3）， 3.点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　） A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 4.点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，则圆的方程是　　　　. 　　 题型一　求圆的标准方程 〔一题多解〕求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的圆的方程. 尝试解答 通性通法1.直接法求圆的标准方程的策略 （1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程； （2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等. 2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 1.以点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是　　　　. 2.〔一题多解〕已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程. 题型二　点与圆的位置关系 若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a的取值范围为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）若本例变为若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆O：（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）内，另一点在圆O外，则实数a的取值范围为　　　　. 通性通法 判断点与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 　已知点A（1，2）和圆C：（x－a）2＋（y＋a）2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： （1）点A在圆的内部； （2）点A在圆上； （3）点A在圆的外部. 题型三　与圆有关的最值问题 已知实数x，y满足方程（x－2）2＋y2＝3.求的最大值和最小值. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，求y－x的最大值和最小值. 2.（变设问）在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值. 通性通法 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 （1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点（x，y）和（a，b）的动直线斜率的最值问题； （2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题； （3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方的最值问题. 　（2026·郑州月考）在平面直角坐标系Oxy中，已知（x1－2）2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为（　　） A.　 　 B. C.　 　 D. 1.圆心为（1，－2），半径为3的圆的方程是（　　） A.（x＋1）2＋（y－2）2＝9 B.（x－1）2＋（y＋2）2＝3 C.（x＋1）2＋（y－2）2＝3 D.（x－1）2＋（y＋2）2＝9 2.已知圆C：（x＋1）2＋y2＝3，则圆的面积为　　　　，经过圆心C且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是　　　　. 3.圆心在x轴上，且过A（1，4），B（2，－3）两点的圆的方程为　　　　. 4.若点P（5a＋1，12a）在圆（x－1）2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为　　　　. 完成课后作业　第一章　§2　2.1 答案 2.1　圆的标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点 1.（x－a）2＋（y－b）2＝r2　x2＋y2＝r2 2.（1）r　r　（2）x　y　原点 想一想 1.提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 2.提示：设圆上任一点M（x，y），则｜MA｜＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√ 2.D　由圆的标准方程可得圆心为（2，－3），半径为.故选D. 3.B　由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外. 4.（x＋2）2＋y2＝10　解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，故（1＋2）2＋12＝m，所以m＝10，即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10. 【典例研析】 【例1】　解：法一（几何性质法）　设点C为圆心， ∵点C在直线x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）. 连接CA，CB（图略）. ∵该圆经过A，B两点，∴｜CA｜＝｜CB｜， ∴ ＝， 解得a＝－2， ∴圆心为C（－1，－2），半径r＝. 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 法二（待定系数法）　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 由题设条件知 解得 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 法三（几何性质法）　连接AB（图略），则线段AB的中点的坐标为（0，－4）， 直线AB的斜率kAB＝＝， ∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， ∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x， 即2x＋y＋4＝0. 又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点， 由得 ∴圆心坐标为（－1，－2）， ∴圆的半径r＝＝， 故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 跟踪训练 1.（x－1）2＋（y－2）2＝25　解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，｜AB｜＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25. 2.解：法一　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程， 于是有 解得 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 法二　因为A（0，5），B（1，－2），所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由得圆心的坐标为（－3，1）， 又圆的半径长r＝＝5， 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 【例2】　[1，5]　解析：因为点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，所以（1＋2）2＋（a－3）2≤13，解得1≤a≤5. 母题探究 （3，）　解析：由已知，得圆心O（5，6）.∵｜PO｜＝＝，｜QO｜＝＝3，∴｜PO｜＞｜QO｜，故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围是3＜a＜. 跟踪训练 解：（1）因为点A在圆的内部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＜2a2，且a不为0，解得a＜－. （2）因为点A在圆上，所以（1－a）2＋（2＋a）2＝2a2，且a不为0， 解得a＝－. （3）因为点A在圆的外部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＞2a2， 且a不为0，解得a＞－且a≠0. 【例3】　解：原方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. 母题探究 1.解：设y－x＝b，即y＝x＋b， 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝， 即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋， 最小值为－2－. 2.解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故（x2＋y2）max＝（2＋）2＝7＋4， （x2＋y2）min＝（2－）2＝7－4. 跟踪训练 B　由已知得点（x1，y1）在圆（x－2）2＋y2＝5上，点（x2，y2）在直线x－2y＋4＝0上，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2表示圆（x－2）2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为－＝，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为. 随堂检测 1.D 2.3π　x－y＋1＝0　解析：由圆的方程（x＋1）2＋y2＝3，得r2＝3，所以圆的面积S＝πr2＝3π.因为圆心C的坐标为（－1，0），所求直线的斜率k＝1，所求直线的方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 3.（x＋2）2＋y2＝25　解析：设圆心为（a，0），则＝，所以a＝－2.半径r＝＝5，故所求圆的方程为（x＋2）2＋y2＝25. 4.∪　解析：∵P在圆外，∴（5a＋1－1）2＋（12a）2＞1，169a2＞1，a2＞，∴a＞或a＜－. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $