2.1.2　椭圆的简单几何性质第1课时　椭圆的简单几何性质导学案——2024-2025学年高二上学期北师大版（2019）选择性必修 第一册

1.2　椭圆的简单几何性质

第1课时　椭圆的简单几何性质

【学习目标】

　　1.掌握椭圆的简单几何性质.

　　2.了解椭圆标准方程中a,b,c,e的几何意义.

【课前预习】

 

◆ 知识点　椭圆的简单几何性质

1.椭圆的几何性质

 

(续表)

 

2.离心率对椭圆扁圆程度的影响

(1)离心率

椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用e表示,即　　　　,显然0<e<1. 

(2)离心率对椭圆扁圆程度的影响

如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0<e<1,易知e越大,∠BF2O越小,椭圆越　　　　;e越小,∠BF2O越大,椭圆越　　　　.  

【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)椭圆的顶点一定在坐标轴上. (　 )

(2)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a.(　 )

(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. (　 )

(4)椭圆+=1比椭圆+=1更扁一些. (　 )

【课中探究】

◆ 探究点一　椭圆的简单几何性质

例1 求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率:

(1)+=1;

(2)+=1;

(3)4x2+9y2=1.

 

 

变式 [2024·兰州一中高二期中] 已知椭圆x2+=2(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.

 

[素养小结]

解决椭圆几何性质问题的方法是先将所给方程化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.

◆ 探究点二　椭圆的简单几何性质的应用

例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;

(2)椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且其焦距为8;

(3)椭圆经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同的离心率.

 

 

变式 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是26,cos∠OFA=,则椭圆的方程是              (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.+=1

B.+=1

C.+=1或+=1

D.+=1或+=1

[素养小结]

利用椭圆的几何性质求其标准方程的思路

(1)当利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:

①确定焦点的位置;

②设出相应椭圆的标准方程;

③根据已知条件列方程(组),常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.

(2)不能确定椭圆的焦点位置时,满足题意的椭圆的标准方程可能有两个.

提醒:与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为+=k1(k1>0,焦点在x轴上)或+=k2(k2>0,焦点在y轴上).