1.2.4 圆与圆的位置关系(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦“圆与圆的位置关系”，引导学生掌握外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，通过观察生活图形导入，结合问题“位置关系种类”“方程研究方法”，衔接直线与圆位置关系知识，搭建从直观到代数的学习支架。 资料以几何法与代数法为核心，设置基础诊断、典例解析、跟踪训练分层习题，融入曲线系方程拓展内容，培养学生直观想象、数学运算素养，助力学生理解数形结合思想，提升逻辑推理与问题解决能力，适合课堂教学与自主学习。

2.4　圆与圆的位置关系 课标 要求 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（数学运算、直观想象）. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想（数学运算、直观想象）. 　　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？ 【问题】　（1）圆与圆之间有几种位置关系？ （2）能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆与圆的位置关系 1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为　　　　、　　　　、　　　　、　　　　、　　　　. 2.判断方法 （1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 （2）代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0），C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 　 　　　 　　　 两圆的位置关系 　 　　　 　　　 提醒：判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 【想一想】 1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？ 2.当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（　　） （4）过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（　　） 2.圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（　　） A.内切　　B.相交　　C.外切　　D.相离 3.两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　 　　　. 题型一　圆与圆位置关系的判断 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. 尝试解答 通性通法 判断两圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法； （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系. 1.〔一题多解〕设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－2）2＋（y＋2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（　　） A.相交　　B.外离　　C.外切　　D.内含 2.（2026·滨州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r的取值范围是　　　　. 题型二　两圆相切的有关问题 已知圆O：x2＋y2＝2，圆C过点M（5，3）且与圆O相切于点N（1，1）. （1）求圆C的标准方程； （2）若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形PAOB面积的最大值. 尝试解答 通性通法 处理两圆相切问题的两个步骤 （1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切； （2）转化：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 1.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程是（　　） A.（x－4）2＋（y－6）2＝6 B.（x＋4）2＋（y－6）2＝6或（x－4）2＋（y－6）2＝6 C.（x－4）2＋（y－6）2＝36 D.（x＋4）2＋（y－6）2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝36 2.已知圆C满足下列条件：①圆心C在第三象限；②与圆P：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0外切；③圆C的一条切线方程为y＝1，则圆C的标准方程可能是　　　　.（写出一个即可） 题型三　两圆相交的有关问题 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0，求两圆公共弦所在直线的方程及弦长. 尝试解答 通性通法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0. 2.公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长； （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解. 　若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为　　　　. 　　 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 2.与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点（3，－）的圆的方程为（　　） A.（x＋6）2＋y2＝9 B.（x－6）2＋y2＝9 C.（x－4）2＋y2＝4 D.（x＋4）2＋y2＝4 3.求以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为　　　　. 4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝　　　　. 　曲线系方程 　　 　　曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线系方程和圆系方程. 1.直线系方程 （1）与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）； （2）与直线l：Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）； （3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不含l2，λ为参数）. 2.圆系方程 （1）过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）； （2）过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数）. 应用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值. 一、直线系方程 （1）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线l的方程为　　　　； （2）求过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程. 尝试解答 通性通法 1.与定直线平行的直线系方程 与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程（包括原直线）为Ax＋By＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0. 2.与定直线垂直的直线系方程 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为B（x－x0）－A（y－y0）＝0. 3.过交点的直线系方程 设出过l1与l2交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0或（A2x＋B2y＋C2）＋λ（A1x＋B1y＋C1）＝0（λ为常数），根据条件求参数λ，从而确定直线方程. 二、圆系方程 （1）经过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是　　　　； （2）求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且半径最小的圆的面积为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.以（a，b）为圆心的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝λ2（λ≠0）. 2.与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0（D2＋E2－4λ＞0）. 3.过同一定点（a，b）的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＋λ1（x－a）＋λ2（y－b）＝0（λ1，λ2不同时为0）. 4.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0. 5.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1）＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－1时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程. 完成课后作业　第一章　§2　2.4 答案 2.4　圆与圆的位置关系 【基础落实】 新知初探 知识点 1.外离　外切　相交　内切　内含 2.（1）d＞r1＋r2　d＝r1＋r2　｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2　d＝｜r1－r2｜　d＜｜r1－r2｜ （2）2个　1个　0个　相交　内切或外切　外离或内含 想一想 1.提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0. 2.提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 2.B　两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆相交. 3.C　由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故选C. 4.x＋3y＝0　解析：圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0. 【典例研析】 【例1】　解：圆C1，C2的标准方程为C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16，C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1， ∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1. ∴｜C1C2｜＝＝a. （1）当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. （2）当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. （3）当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离. （4）当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. 跟踪训练 1.B　 法一　画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离. 法二　根据题意，可知圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且圆C1与圆C2的圆心距d＝＝2＞1＋1，即d＞r1＋r2，故两圆外离. 法三　将两圆的方程联立，得到方程组即消去x2，y2，得x－y－2＝0，将其代入圆C1的方程中消去y，得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，所以方程无实数解，即两圆相离.因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离. 2.[－1，＋1]　解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.因为两圆有公共点，所以｜r－1｜≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1. 【例2】　解：（1）设圆C的圆心为（a，b）， 由题意得＝， 化简得2a＋b＝8，因为圆C与圆O相切，切点为N（1，1）， 所以切点N（1，1）在直线OC上，直线OC的方程为y＝x， 将N（1，1）代入y＝x中，得a＝b， 故a＝b＝，圆心为， 故半径为＝， 故圆C的标准方程为＋＝. （2）四边形PAOB的面积可看作两个全等的直角三角形PAO与POB的面积之和，直角三角形PAO中直角边AO长度为，故只需另一条直角边AP的长度最长即可，由勾股定理可知只需OP最长即可， 显然连接OC并延长，交圆C于点P，此时OP最长， 为｜OP｜max＝＋＝， 此时AP最长，为｜AP｜max＝＝， 所以四边形PAOB面积的最大值为2×××＝. 跟踪训练 1.D　由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D. 2.（x＋3）2＋（y＋2）2＝9（答案不唯一）　解析：设圆心坐标为（a，b），由①可知a＜0，b＜0，半径为r＞0，由②③可知整理可得a2－6a＋6b＋3＝6｜b－1｜（a＜0，b＜0），当b＝－2时，a＝－3，r＝3，所以其中一个同时满足条件①②③的圆C的标准方程是（x＋3）2＋（y＋2）2＝9. 【例3】　解：设两圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立圆C1与圆C2的方程， 得 由①－②，得x－y＋4＝0. ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心为（－3，0），r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴｜AB｜＝2＝2×＝5， 即两圆的公共弦长为5. 跟踪训练 4　解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝，｜O1A｜＝2，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝＝2，∴｜AB｜＝4. 随堂检测 1.B　化为标准方程：圆O1：（x－1）2＋y2＝1，圆O2：x2＋（y－2）2＝4，则O1（1，0），r1＝1，O2（0，2），r2＝2，｜O1O2｜＝＝＜r1＋r2，又r2－r1＜，所以两圆相交. 2.C　因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为（a，0），半径为r，则所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，又因为所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点（3，－），所以解得所以所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4. 3.（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169　解析：设所求圆的半径为r，则＝｜8－r｜，∴r＝3或r＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169. 4.1　解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1. 拓视野　曲线系方程 【例1】　（1）4x－3y＋9＝0　解析：由题意可设直线l的方程为（2x＋3y＋1）＋λ（x－3y＋4）＝0，即（2＋λ）x＋（3－3λ）y＋1＋4λ＝0　①，因为直线l与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，解得λ＝2，代入①式得直线l的方程为4x－3y＋9＝0. （2）解：设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5）， 由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，所以c＝10， 故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0. 【例2】　（1）x2＋y2－3x＋y－1＝0 （2）　解析：（1）设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0（λ≠－1），则（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2－4x＋（2－2λ）y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. （2）过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0（λ∈R），即[x＋（λ＋1）]2＋（y＋）2＝λ2－4λ＋4，圆的半径为＝＝，故当λ＝时对应圆的半径最小，且最小半径为，此时圆的面积最小.∴所求圆的面积S＝. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $