1.2.4 圆与圆的位置关系(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦圆与圆位置关系判定及应用，通过基础到综合题组构建“概念-判定-应用”逻辑链，提炼圆心距与半径关系、公共弦方程等核心方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|位置关系判定（外切/内切/相交）、公切线条数对应关系、公共弦方程求法|从圆的方程（概念）到圆心距与半径关系（判定原理），再到参数范围求解（直接应用）| |综合运用|4题|最值问题（基本不等式/几何法）、轨迹方程推导、动圆过定点问题|从基础应用拓展到代数与几何综合，通过两圆位置关系构建方程模型，发展运算能力与模型意识|

2.4　圆与圆的位置关系 1.圆x2＋4x＋y2=0与圆（x－2）2＋（y－3）2=r2有三条公切线，则半径r=（　　） A.5　　 B.4 C．3　 D．2 2.两内切圆的半径是方程x2＋px＋q=0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q=（　　） A．2或4　 B．4 C．1或5　 D．5 3.（2026•厦门期中）若圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m=0与圆C2：x2＋y2＋2x－1=0恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（　　） A．（－13，3）　 B．（3，5） C．（－∞，5）　 D．（－∞，3） 4.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2=1，圆C2：（x－1）2＋y2=4都相切，切点分别为A，B，则|AB|=（　　） A．1　 B． C．　 D．2 5.若圆M：x2＋y2＋ax＋by－ab－6=0（a＞0，b＞0）平分圆N：x2＋y2－4x－2y＋4=0的周长，则2a＋b的最小值为（　　） A．8　 B．9 C．16　 D．20 6.〔多选〕若圆C与直线3x－4y－12=0相切，且与圆x2－2x＋y2=0相切于点A（2，0），则圆C的半径为（　　） A．5　 B．3 C．　 D． 7.〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x=0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＋1=0，则（　　） A．圆O2与x轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为x－y＋1=0 C．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 8.已知M，N是圆A：x2＋y2－2x=0与圆B：x2＋y2＋2x－4y=0的公共点，则△BMN的面积为　　　　． 9.与圆x2＋y2－2x=0外切且与直线x＋y=0相切于点M（3，－）的圆的方程是　　　　． 10.（2026•台州月考）已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1=0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45=0. （1）求证：圆C1和圆C2相交； （2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆圆心的距离|C1C2|=（　　） A．4　 B．4 C．8　 D．8 12.〔多选〕已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2=1和两点A（－m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的可能取值为（　　） A．7　 B．6 C．5　 D．8 13.已知P为圆O：x2＋y2=2上一动点，过点P作圆C：x2＋y2－6x－6y＋14=0的切线，切点分别为A，B，当|AB|取最小值时，直线AB的方程为　　　　． 14.已知圆A：x2＋（y＋1）2=1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2=1. （1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率； （2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长． ①求动圆圆心P的轨迹方程； ②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由． 2.4　圆与圆的位置关系 1.C　两圆的圆心分别为（－2，0），（2，3），半径分别为2，r，由于两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴＝2＋r，即5＝2＋r，∴r＝3. 2.C　根据题意，设两个圆的半径分别为R，r，且R＝3，则有｜R－r｜＝1，解得r＝2或4.由R，r是方程x2＋px＋q＝0的两根，得当r＝2时，p＝－5，q＝6，此时p＋q＝1；当r＝4时，p＝－7，q＝12，此时p＋q＝5，故p＋q＝1或p＋q＝5.故选C. 3.A　由x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，配方得（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，所以5－m＞0⇒m＜5，所以C1（1，－2），半径r1＝，由x2＋y2＋2x－1＝0⇒（x＋1）2＋y2＝2，所以C2（－1，0），半径r2＝，因为圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜r1＋r2，得｜－｜＜＜＋，化简，得＜＜3，解得－13＜m＜3，而m＜5，所以实数m的取值范围为（－13，3）.故选A. 4.C　如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，∵｜BC2｜＝2＝2｜AC1｜，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴｜MC1｜＝｜C1C2｜＝2，由勾股定理可得｜AB｜＝｜MA｜＝＝. 5.A　两圆方程相减，得（a＋4）x＋（b＋2）y－ab－10＝0，此为相交弦所在的直线方程.又圆N的标准方程是（x－2）2＋（y－1）2＝1，圆心N（2，1），∴2（a＋4）＋b＋2－ab－10＝0，∴＋＝1. ∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立.∴2a＋b的最小值为8.故选A. 6.BD　圆x2－2x＋y2＝0的圆心为（1，0），半径为1，圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的圆心在x轴上，设圆心为（a，0），则由题意｜a－2｜＝，解得a＝－1或a＝，当a＝－1时，半径为｜－1－2｜＝3，当a＝时，半径为＝.故选B、D. 7.ACD　圆O1： （x－1）2＋y2＝1的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，圆O2：（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心为O2（－1，2），半径r2＝2.对于A，显然圆O2与x轴相切，故A正确；对于B，易知两圆相交，将方程x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相减，得公共弦所在直线的方程为4x－4y＋1＝0，故B错误；对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；对于D，因为｜O1O2｜＝2，r2－r1＝1，所以公切线段长为＝，故D正确.故选A、C、D. 8.　解析：由题意，可知圆B的圆心坐标为（－1，2），半径为.联立可得直线MN的方程为x－y＝0，所以B（－1，2）到直线MN的距离为＝，线段MN的长度为2＝，所以△BMN的面积为××＝. 9.（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36　解析：已知圆的方程可化为（x－1）2＋y2＝1，则圆心为C（1，0），半径为1.设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.由题意，可得解得或即所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36. 10.解：（1）证明：圆C1的标准方程是（x－1）2＋（y－3）2＝11，则C1（1，3），r＝. 圆C2的标准方程是（x－5）2＋（y－6）2＝16，则C2（5，6），R＝4. ｜C1C2｜＝＝5， 显然4－＜5＜4＋，所以两圆相交. （2）两圆方程相减得8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0为公共弦所在直线的方程， 点C1到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝2，所以公共弦长l＝2＝2. 11.C　因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为（x1，x1），（x2，x2），则（4－x1）2＋（1－x1）2＝，（4－x2）2＋（1－x2）2＝，即x1，x2是方程（x－4）2＋（x－1）2＝x2的两根，即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的两根.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以｜C1C2｜＝｜x1－x2｜＝·＝8. 12.BC　由圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1可得圆心C的坐标为（3，4），半径为1.因为圆心C到O（0，0）的距离为5，所以圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4.因为圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，所以以AB为直径的圆与圆C有交点，所以｜OP｜＝｜AB｜＝m，所以4≤m≤6，所以选项B、C符合题意.故选B、C. 13.x＋y－4＝0　解析：∵圆C：（x－3）2＋（y－3）2＝4，∴圆心C（3，3），半 径r＝2.又∵P为圆O：x2＋y2＝2上的动点，∴｜OC｜＝3，∴2≤｜PC｜≤4.由图可知， ｜AB｜＝，又∵｜AC｜＝2，｜PC｜2＝｜PA｜2＋｜AC｜2，∴｜AB｜＝＝4，∴当｜PC｜最小时，｜AB｜最小.∵｜PC｜min＝2，∴｜AB｜min＝4＝2，此时P（1，1），｜PA｜＝｜PB｜＝2.点A，点B在以P（1，1）为圆心，2为半径的圆上，其方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4，即x2＋y2－2x－2y－2＝0.联立②－①整理得x＋y－4＝0.∴直线AB的方程为x＋y－4＝0. 14.解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为， 即＝，化简得12k2－25k＋12＝0， 解得k＝或k＝. （2）①由已知可得｜PA｜＝｜PB｜，故圆心P在线段AB的中垂线上. ∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0. ②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝， ∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1， 即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0. 由 得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $