第4期 直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 一、求圆的方程 １．定义法 例１已知线段ＡＢ的端点Ｂ的坐标是（４，３），端点Ａ 在圆（ｘ＋１）２＋ｙ２＝４上运动，求证线段ＡＢ的中点轨迹 为圆，并求该圆的方程． 解：圆（ｘ＋１）２＋ｙ２ ＝４的圆心为Ｐ（－１，０），半径 为２． 设线段ＡＢ的中点为Ｍ（ｘ，ｙ）． 取ＰＢ中点Ｎ， (其坐标为 －１＋４２ ，０＋３)２ ， 即 (Ｎ ３２， )３２ ． 因为点Ｍ，Ｎ为线段ＡＢ，ＰＢ的中点， 所以ＭＮ∥ＰＡ，且ＭＮ＝ １２ＰＡ＝１． 所以线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹满足圆的定义， 所以动点Ｍ的轨迹是以点Ｎ为圆心，半径为１的圆． (该圆的方程为 ｘ－ )３２ ２ (＋ ｙ－ )３２ ２ ＝１． 点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质， 将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，符 合圆的定义．解法关键是连结ＰＢ，取线段ＰＢ的中点Ｎ， 得到ＭＮ的长度为定值． 例２已知圆ｘ２＋ｙ２＝４上一定点Ａ（２，０），点Ｂ（１， １）为圆内一点，Ｐ，Ｑ为圆上的动点． （１）求线段ＡＰ中点Ｍ的轨迹方程； （２）若∠ＰＢＱ＝９０°，求线段ＰＱ中点的轨迹方程． 解：（１）设线段ＡＰ的中点Ｍ的坐标为（ｘ，ｙ），Ｐ的 坐标为（ｘ０，ｙ０）， 因为 ｘ＝ ２＋ｘ０ ２ ， ｙ＝ ０＋ｙ０ ２ { ， 所以 ｘ０ ＝２ｘ－２， ｙ０ ＝２ｙ { ， 又Ｐ（ｘ０，ｙ０）在圆ｘ ２＋ｙ２ ＝４上， 所以（２ｘ－２）２＋（２ｙ）２ ＝４， 所以（ｘ－１）２＋ｙ２ ＝１． 故线段ＡＰ的中点Ｍ的轨迹方程为（ｘ－１）２＋ｙ２＝１． （２）设ＰＱ的中点为Ｎ（ｘ，ｙ）， 在Ｒｔ△ＰＢＱ中，｜ＰＮ｜＝｜ＢＮ｜． 设Ｏ为圆ｘ２＋ｙ２ ＝４的圆心，连接 ＯＮ，则 ＯＮ⊥ ＰＱ， 所以 ｜ＯＰ｜２ ＝｜ＯＮ｜２ ＋｜ＰＮ｜２ ＝｜ＯＮ｜２ ＋ ｜ＢＮ｜２， 所以ｘ２＋ｙ２＋（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２ ＝４， 化简为ｘ２＋ｙ２－ｘ－ｙ－１＝０． 故线段ＰＱ的中点的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２－ｘ－ｙ－１ ＝０． 点评：对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲 线上运动，而求另一动点的轨迹方程，则通常用代入 法，即用动点坐标表示相关点的坐标，再把相关点的坐 标代入相关点的曲线方程，就把相关点所满足的方程 转化为动点的轨迹方程了． ２．待定系数法 例３求经过Ａ（４，２），Ｂ（－１，３）两点，且在两坐标 轴上的四个截距之和为４的圆的方程． 解：设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０． 当ｘ＝０时，ｙ２＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则ｙ１＋ｙ２ ＝－ Ｅ ２； 当ｙ＝０时，ｘ２＋Ｄｘ＋Ｆ＝０，则ｘ１＋ｘ２ ＝－ Ｄ ２． 则 １６＋４＋４Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＝０， １＋９－Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０ ( ， －Ｄ )２ (＋ －Ｅ )２ ＝４{ ，　 解得 Ｄ＝－３， Ｅ＝－５， Ｆ＝２ { ． 所以圆的方程为ｘ２＋ｙ２－３ｘ－５ｙ＋２＝０． 点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定 系数的方程）→ 列（利用条件列出系数所满足的方程 组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”．当已知 圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单． 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解． 二、讨论圆与圆的位置关系问题 例４圆Ｏ１：ｘ ２＋ｙ２－２ｘ＝０和圆Ｏ２：ｘ ２＋ｙ２－４ｙ＝ ０的位置关系是 （　　） （Ａ）相离　　　　　（Ｂ）相交 （Ｃ）外切 （Ｄ）内切 解：两圆的标准方程为圆Ｏ１：（ｘ－１） ２＋ｙ２ ＝１， 圆Ｏ２：ｘ ２＋（ｙ－２）２ ＝４， 所以两圆圆心分别为Ｏ１（１，０），Ｏ２（０，２）， 两圆半径分别为１和２． 故圆心距 ｜Ｏ１Ｏ２｜＝ （１－０） ２＋（０－２）槡 ２ ＝ 槡５． 而ｒ２－ｒ１ ＝１＜槡５＜３＝ｒ１＋ｒ２， 故两圆相交，选（Ｂ）． 点评：解本题的关键是求出两圆的圆心距，将其与 两圆半径的和、差进行比较．一般地： 若圆心距等于两半径之差，则两圆内切； 若圆心距等于两半径之和，则两圆外切； 若圆心距小于两半径之差，则两圆内含； 若圆心距大于两半径之差，则两圆外离； 若圆心距在两半径之差与两半径之和之间，则两 圆相交． 三、求圆的切线方程 例５自点Ａ（－３，３）发出的光线ｌ射到ｘ轴上，被ｘ 轴反射，其反射光线所在的直线与圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ＋ ７＝０相切，求光线ｌ所在的直线方程． 解：由已知可得圆Ｃ：（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝１，关于 ｘ轴对称的圆Ｃ′的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋２）２＝１，其圆 心为Ｃ′（２，－２），易知ｌ与圆Ｃ′相切． 设ｌ：ｙ－３＝ｋ（ｘ＋３），即ｋｘ－ｙ＋３ｋ＋３＝０． 所以 ｜５ｋ＋５｜ １＋ｋ槡 ２ ＝１， 整理得１２ｋ２＋２５ｋ＋１２＝０． 解得ｋ＝－３４，或ｋ＝－ ４ ３． 所以所求直线的方程为： ｙ－３＝－３４（ｘ＋３），或ｙ－３＝－ ４ ３（ｘ＋３）， 即３ｘ＋４ｙ－３＝０，或４ｘ＋３ｙ＋３＝０． 点评：关于求切线问题，利用圆心到切线的距离等 于圆的半径的条件，是解决圆的切线方程的常用方法． 如果由方程组思想，通过“Δ＝０”求切线方程也可以， 但过程要复杂些． 书 在解直线与圆相交的问题时，很多同学喜欢联立方 程组，求解交点坐标，进而求弦长．这样做，计算量太大， 容易出错．而通过做图，会发现一个奇妙的三角形． 题１（求切线长）从圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝１外 一点Ｐ（２，３）向这个圆引切线，则切线长为 ． 解：如图１所示，线段ＰＡ，ＡＣ，ＰＣ 恰巧构成一个直角三角形，利用此 直角三角形易得切线 ＰＡ的长为 ｜ＰＣ｜２－｜ＣＡ｜槡 ２ ＝２． 点评：利用这个三角形大大地 减少了计算量．而这个三角形必然 是直角三角形． 题２（求弦长）已知圆Ｃ的圆心与点Ｐ（－２，１）关 于直线ｙ＝ｘ＋１对称．直线ｌ：３ｘ＋４ｙ－１１＝０与圆 Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且 ｜ＡＢ｜＝６，则圆 Ｃ的方程为 ． 解：首先由圆心与点Ｐ关于ｙ＝ｘ＋１对称，可以求出 圆心的坐标为Ｃ（０，－１），设圆的半径为ｒ． 因为圆心Ｃ到直线３ｘ＋４ｙ－１１＝０的距离为 ｄ＝｜３×０＋４×（－１）－１１｜ ３２＋４槡 ２ ＝１５５ ＝３． 先画出图形，如图２．过点 Ｃ作 直线ｌ的垂线，垂足为Ｅ，则△ＡＣＥ为 直角三角形，且Ｅ为弦ＡＢ的中点．利 用直角三角形可得， ｒ２ ＝ＣＥ２＋ＡＥ２ ＝９＋９＝１８． 所以圆Ｃ的方程为 ｘ２＋（ｙ＋１）２ ＝１８． 点评：只要作图，就会发现这个奇妙的三角形，题目 中所涉及的数量关系也就一目了然了． 书 在最近几年的高考中经常出现关于点的个数的判 断方法，如：满足圆（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝ｒ２（ｒ＞０）上 到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离为定值ｈ的点Ｐ究竟有 几个？它取决于定值 ｈ、半径 ｒ以及圆心到直线的距离 ｄ（为节省版面，下列题中均省略字母意义的设置，而同 学们在做题中，此步骤不可省）． 一、ｄ＞ｒ的情形 例１圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线３ｘ＋４ｙ＋ １２＝０的距离等于４的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝４， ｄ＝｜３×３＋４×３＋１２｜ ３２＋４槡 ２ ＝３３５． 因为ｄ＝３３５ ＞ｒ＝３， 且 ３３ ５－３＝ｄ－ｒ＜ｈ＝４， 所以符合条件的点有２个，如图１． 二、ｄ＝ｒ的情形 例２圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ １２＝０的距离等于３的点的个数为 ． 解析：由已知得ｒ＝３，ｈ＝３， ｄ＝｜５×３＋４×３－１２｜ ３２＋４槡 ２ ＝３． 因为０＜ｈ＝３＜２ｒ＝６， 所以符合条件的点有２个，如图２． 三、０＜ｄ＜ｒ的情形 例３圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ ２０＝０的距离等于３的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝３， ｄ＝｜５×３＋４×３－２０｜ ３２＋４槡 ２ ＝ ７５． 因为 ７ ５ ＜ｈ＝３＜ｒ＋ｄ＝ ２２ ５， 所以符合条件的点有２个，如图３． 四、ｄ＝０的情形 例４圆（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝９上到直线５ｘ＋４ｙ－ ２７＝０的距离等于２的点的个数为 ． 解：由已知得ｒ＝３，ｈ＝２， ｄ＝｜５×３＋４×３－２７｜ ３２＋４槡 ２ ＝０． 因为０＜ｈ＝２＜ｒ＝３， 所以符合条件的点有４个，如图４． 点评：无论条件怎么变，只要明确了 ｒ，ｄ，ｈ之间的数量关系，作出图形，便可一目了然．这足 以说明数形结合思想的重要作用． ! ! " # $ ! % ! ! ! ! " & $ ! ' ! " ! ! ( & $ ! ) ! # ! ! " ! ! $ ! * + , - . ! ! !" # $ 书 误区一、忽视直线的斜率不存在致误 例１直线ｌ经过点Ｐ（３，６）且和圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝２５相 交，截得弦长为８，求直线ｌ的方程． 错解：设直线方程为ｙ－６＝ｋ（ｘ－３）， 即ｋｘ－ｙ－３ｋ＋６＝０． 则圆心到直线的距离为ｄ＝ ｜－３ｋ＋６｜ ｋ２＋（－１）槡 ２ ． 由于直线被截得弦长为８，且ｒ＝５， 因此ｄ＝ ｜－３ｋ＋６｜ ｋ２＋（－１）槡 ２ ＝３，解得ｋ＝ ３４． 所以直线ｌ的方程３ｘ－４ｙ＋１５＝０． 剖析：本题错解原因在于设直线方程时没有考虑直 线的斜率不存在的情况，事实上，当直线斜率不存在时， 即直线与ｘ轴垂直时，直线被圆截得的弦长也是８． 正解：当直线垂直于ｘ轴时，直线ｌ的方程为ｘ＝３， 将其代入圆方程ｘ２＋ｙ２ ＝２５， 解得ｙ１ ＝－４，ｙ２ ＝４， 所以弦长为｜ｙ１－ｙ２｜＝８，满足题意； 当直线不垂直于ｘ轴时， 由错解知直线ｌ的方程为３ｘ－４ｙ＋１５＝０． 故所求直线ｌ的方程为ｘ＝３或３ｘ－４ｙ＋１５＝０． 误区二、概念不清致误 例２求过原点及点Ａ（１，１），且在ｘ轴上截得的线段 长为３的圆的方程． 错解：设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０． 由题意得 Ｆ＝０， Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＝－２{ ． 令ｙ＝０得ｘ２＋Ｄｘ＝０，解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－Ｄ． 由ｘ２－ｘ１ ＝３得Ｄ＝－３，所以Ｅ＝１． 故所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－３ｘ＋ｙ＝０． 剖析：以上错误的原因是概念不清，在ｘ轴上截得线 段长应是ｘ２－ｘ１的绝对值，而不是ｘ２－ｘ１． 正解：结合错解可知｜ｘ２－ｘ１｜＝３，即｜Ｄ｜＝３， 所以Ｄ＝－３，Ｅ＝１，或Ｄ＝３，Ｅ＝－５． 故所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－３ｘ＋ｙ＝０或ｘ２＋ｙ２＋ ３ｘ－５ｙ＝０． 误区三：忽视变量的范围 例３已知圆ｘ２＋ｙ２＋２ｙ＝０，求ｘ２＋ｙ的取值范围． 错解：因为ｘ２＋ｙ２＋２ｙ＝０，所以ｘ２ ＝－ｙ２－２ｙ． 则ｘ２＋ｙ＝－ｙ２－ｙ＝－ ｙ＋１( )２ ２ ＋１４． 所以ｘ２＋ｙ的取值范围为 －∞，１( ]４ ． 剖析：忽视了题目中ｘ，ｙ的范围． 正解：由ｘ２＋ｙ２＋２ｙ＝０得ｘ２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 可知 －２≤ｙ≤０． 所以ｘ２＋ｙ＝－ ｙ＋１( )２ ２ ＋１４∈ －２， １[ ]４ ． 误区四：忽视斜率的大小 例４直线ｘ＋槡３ｙ－ｍ＝０与圆ｘ ２＋ｙ２ ＝１在第一 象限内有两个交点，则ｍ的取值范围 （　　） （Ａ）（１，２）　　　　（Ｂ）（槡３，３） （Ｃ）（１，槡３） （Ｄ）（槡３，２） 错解：可作出简图，如图１． 当直线ｘ＋槡３ｙ－ｍ＝０与 圆ｘ２＋ｙ２ ＝１在第一象限相切 时，可解得ｍ＝２． 当直线过（１，０）点时，可解 得ｍ＝１． 要使直线与圆在第一象限内有两个交点，应有 １＜ｍ＜２．故选（Ａ）． 剖析：这是由于在解题时没有分析清楚直线在从右 上方向左下方平行移动时，是先过（１，０）点还是先过（０， １）点．而对此起决定作用的是对斜率大小的判断． 正解：直线的斜率为 －槡３３ ＞－１，故其简图应为图２，直线 先过（０，１）点．此时ｍ＝槡３． 故正确答案为槡３＜ｍ＜２， 选（Ｄ）． !"#$ %&' ()*+,-./ %&' !(")*+, # " # "! " # $ %!""## & ' ! ! # # % # # &#&# &# &# &% &!'"&!$ ( $ & ' ) # ! ! " ! -. / 0 ! ! ! & ' /0 # " 1234( ! ! " & ' /0 # " 1534( "#$%&' () *+,-,./012 3456 1789:; <=>?@A 178B CDE=>FGHA1 7I7JKLMNOP Q>RSA 17TUV W X Y Z [ ( \ > )*+,)-] ^_`abcd eAfghi>jklA mno^_pqrs tuvwxyz{ |0}~€->H ‚3ƒ„0…7†‡ˆ ‰A Š_‹7Œ†Ž >‘’“-”] tuvwxyz{ |•–—˜‹x™Dš !(=›>œA žŸ  Z>š¡_tux¢x £¤¥¦>M§] tu¨©ª«¬ !(.>12­®¯°± ²>³´A žµ¶·¸ x¹º •»x¼>€j ½¾A ¿wÀÁ/(.> ÂÃÄ¿xÅ] Æ-” ÇÈA ÉtuÊË?Ì Í•–>ÎÏÌÐÑ_ ÒÓx›ÔÕ,Ö×Á -AØxÙÚÛÜj6Ý ÛÛÞß1' àáâ_ ã>Þßäs Éåâæ`çj' tuèé>,`ê>ë _0ìxÒí345' îïnðñòó«tu !"# $%&' ! 12 345 ! " ! #"$ "("$%0&""' (! !(/1" )*+(,-.672 /01 )*.89: 1 ( , -.;<0 1 ) *.= > 1 ) *.? @ , - 2 3 4.; A 5 6 2 3 4.;BC , 7 8 3 9./ D , 7 8 : ;.EFG HIJ K L MNO P Q RST UVW PXB Y F Z[O \]7 K^_ `^a U7b c@* deL f T ghi Hjk <4,-. HIJ <4=>. ghi ?@,-. Ulm AB,-. nop CDEF. qrs 书 １８．（１７分）（２０２４山东济南期末考前训练）已知圆 心Ｃ在直线ｙ＝ １２ｘ上． （１）若圆Ｃ与ｙ轴相切，且与ｘ轴正半轴相交所得弦 长为 槡２３，求圆心Ｃ的坐标； （２）若圆Ｃ与直线ｘ－２ｙ－１＝０相切，且与圆Ｑ： ｘ２＋（ｙ－２）２ ＝１相外切，判断是否存在符合题目要求 的圆． １９．（１７分）（２０２４广东专题训练）已知圆 Ｃ：（ｘ＋ ３）２＋（ｙ－４）２＝１６，直线ｌ：（２ｍ＋１）ｘ＋（ｍ－２）ｙ－３ｍ －４＝０（ｍ∈Ｒ）． （１）若圆Ｃ截直线ｌ所得弦ＡＢ的长为 槡２ １１，求ｍ 的值； （２）若ｍ＞０，直线ｌ与圆Ｃ相离，在直线ｌ上有一动 点Ｐ，过Ｐ作圆Ｃ的两条切线ＰＭ，ＰＮ，切点分别为Ｍ，Ｎ， 且ｃｏｓ∠ＭＰＮ的最小值为１３４５．求ｍ的值，并证明直线ＭＮ 经过定点． tuvwxy&z, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # t{|} # ), $~1€1) $`†‡) $ˆ‰Š‹Œ„(#%!3%"0!"%1 $ŽŠ‹„(#%!$%"0!"%% $~‘„-’“”•–N—˜™š› !#" œžŸ *¡ˆ‰Š $¢£ˆ¤„(#(((1 $–¥Š¦§¨„(#%!$%"0!!"% (#%!$%"0!"#0%©ª« $¦¬„­®~–¥Š‘¯°±²³´¢µ%¶« $¢£¦¬§¨„!!!4% $·¸¹º¦»¼¦½¾¦ $~¿±²³“%–«ÀÁÂÃÄ $ŽÅÆǷȜ„!$(((($(((!!( $Éʄ5556789:;<=,6>,? $~ËÌ".Í©ÎÏÐÑÒÓÔ%Õ֖×ؘÙÚÛÜÝÞßà !! œ«áÏâãÑÏäåæçèâ­®~–¥Š‘¯éê ( ! !"#$%  *¡ëìíîïð}†ñ%òóô)«} ! z % « -’óõô¡ö÷ -’óôÁøÞß©Îùú -’óôûüÅÆÑÒÓÔöý þžÿŸÑÒÓԈ‰‡) Ÿ!"#ˆ‰„672 ²$%†&'‡)(œ„@A!$3'0'0BtC, ¢)*œ„"!3!14 !"#$%&'()*+,'-. 书 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．（ｘ－２）２＋（ｙ＋１）２ ＝１；　５．４． ６．解：设圆（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝９的圆心为Ｃ， 则Ｃ（３，０），圆的半径为３． 因为Ｐ为弦ＭＮ的中点，所以ｋＣＰ·ｋＭＮ ＝－１． 又ｋＣＰ ＝ １－０ １－３＝－ １ ２，所以ｋＭＮ ＝２． 所以直线ＭＮ的方程为ｙ－１＝２（ｘ－１）， 即２ｘ－ｙ－１＝０． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．ｘ－ｙ＋１＝０；　５．（－∞，－１３）． ６．解：（１）因为ｘ２＋ｙ２ ＝０，所以ｘ＝０且ｙ＝０． 即方程表示一个点（０，０）． （２）原方程可化为（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２ ＝５． 即方程表示圆心为（１，１），半径为槡５的圆． （３）原方程可化为（ｘ＋ａ）２＋（ｙ＋ｂ）２ ＝ａ２＋ｂ２， 当ａ＝ｂ＝０时，方程表示一个点（０，０）， 当ａ２＋ｂ２≠ ０时，方程表示圆心为（－ａ，－ｂ），半径为 ａ２＋ｂ槡 ２的圆． 一、单项选择题 １～４　ＢＡＤＣ　５～８　ＢＣＢＡ 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 三、填空题 １２．（－２，１）；　１３．（－∞，１）； １４．（ｘ－４）２＋（ｙ－２）２＝１０（去掉（３，５），（５，－１）两点）． 四、解答题 １５．解：设圆心坐标为（ａ，－２ａ＋３），则圆的半径 ｒ＝ （ａ－０）２＋（－２ａ＋３－０）槡 ２ ＝ ５ａ２－１２ａ＋槡 ９＝ (５ ａ－ )６５ ２ ＋槡 ９ ５．当ａ＝ ６ ５时，ｒｍｉｎ＝ 槡３５ ５． (故所求圆的方程为 ｘ－ )６５ ２ (＋ ｙ－ )３５ ２ ＝ ９５． １６．解：如图，以ＡＢ所在直线为ｘ轴，弦 ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直角坐标 系．设圆弧的圆心为Ｃ，连接ＡＣ， 则ＡＯ＝ １２ｌ＝６， 所 以 ＯＣ ＝ ＡＣ２－ＯＡ槡 ２ ＝ ２９２－６槡 ２≈２８３７３， 即圆心的坐标为Ｃ（０，－２８３７３）， 所以圆弧 ) ＡＢ的方程为ｘ２＋（ｙ＋２８３７３）２＝２９２（－６≤ｘ≤ ６，ｙ≥０）． １７．解：（１）设圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则由已知 得 １２＋０２＋Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ４２＋０２＋４Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ６２＋（－２）２＋６Ｄ－２Ｅ＋Ｆ＝０ { ， 解得 Ｄ＝－５， Ｅ＝７， Ｆ＝４ { ． 故圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２－５ｘ＋７ｙ＋４＝０． （２）由圆的对称性可知，圆心Ｐ的横坐标为１＋４２ ＝ ５ ２， 故圆心 (Ｐ ５２， )２ ，故圆Ｐ的半径为ｒ＝｜ＡＰ｜ (＝ １－ )５２ ２ ＋（０－２）槡 ２ ＝ ５２， 故圆Ｐ (的标准方程为 ｘ－ )５２ ２ ＋（ｙ－２）２ ＝２５４． １８．解：（１）设圆的标准方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２， 得到圆心坐标为（ａ，ｂ），半径为ｒ， 将Ａ与Ｂ的坐标代入圆方程得： （－１－ａ）２＋（１－ｂ）２ ＝ｒ２， （－２－ａ）２＋（－２－ｂ）２ ＝ｒ２， 消去ｒ，整理得ａ＋３ｂ＋３＝０， ① 将圆心坐标代入ｘ＋ｙ－１＝０得ａ＋ｂ－１＝０， ② 联立①②解得ａ＝３，ｂ＝－２， ｒ２ ＝（－１－３）２＋（１＋２）２ ＝２５， 则圆Ｃ的标准方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． （２）设Ｎ（ｘ１，ｙ１），Ｇ（ｘ，ｙ）， 因为线段ＭＮ的中点是Ｇ， 所以由中点公式得 ｘ１＋３ ２ ＝ｘ， ｙ１＋４ ２ { ＝ｙ ｘ１ ＝２ｘ－３，ｙ１ ＝２ｙ－４{ ． 因为Ｎ在圆Ｃ上，所以（２ｘ－６）２＋（２ｙ－２）２ ＝２５， 即（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４， 所以点Ｇ的轨迹方程是（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４． １９．解：（１）设Ｐ（ｘ，ｙ），则｜ＰＡ｜２＝（ｘ＋１）２＋ｙ２，｜ＰＢ｜２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 所以 ｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝ （ｘ＋１）２＋ｙ槡 ２ （ｘ－３）２＋ｙ槡 ２ ＝ １３， 则９（ｘ＋１）２＋９ｙ２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 整理得曲线Ｃ的方程为ｘ２＋３ｘ＋ｙ２ ＝０． （２）由（１）得曲线Ｃ为圆，即Ｃ (： ｘ＋ )３２ ２ ＋ｙ２ ＝ ９４． 设其关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的圆的圆心为（ｘ，ｙ）， 则 ｘ－３２ ２ ＋ ｙ ２ －２＝０， ｙ ｘ＋３２ ＝１{ ， 解得 ｘ＝２，ｙ＝ ７２{ ． 所以曲线Ｃ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的曲线方程为（ｘ－ ２）２ (＋ ｙ－ )７２ ２ ＝ ９４． （３） (由点 ５２， )３ 到圆心Ｃ的距离为 (ｄ＝ ５２ ＋ )３２ ２ ＋（３－０）槡 ２ ＝５． 因为圆Ｃ的半径ｒ＝ ３２， (所以点 ５２， )３ 到圆Ｃ的最短距离为ｄ－ｒ＝５－３２ ＝７２ ＞３，故在圆Ｃ上不存在点Ｄ，使得Ｄ (到点 ５２， )３ 的距离为３． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与 圆相切”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ２．（２０２４江苏同步测试）圆（ｘ－３）２＋（ｙ＋２）２＝４ 与圆（ｘ－７）２＋（ｙ－１）２ ＝３６的位置关系是 （　　） （Ａ）相切 （Ｂ）内含 （Ｃ）相离 （Ｄ）相交 ３．（２０２４江西宜春校联考模拟预测）若直线上存在 到曲线Ｔ上一点的距离为ｄ的点，则称该直线为曲线 Ｔ 的ｄ距离可相邻直线．已知直线ｌ：３ｘ－４ｙ＋ｍ＝０为圆 Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ＋４）２＝９的２距离可相邻直线，则ｍ的 取值范围是 （　　） （Ａ）（－∞，－２４］∪［１４，＋∞） （Ｂ）［－２４，１４］ （Ｃ）（－∞，－４４］∪［６，＋∞） （Ｄ）［－４４，６］ ４．（２０２４湖北阶段练习）已知圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝４上恰 有三个点到直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ的距离等于１，则实数ｂ的取 值是 （　　） （Ａ）槡２，－槡２ （Ｂ）２，－槡２ （Ｃ）－槡２，－２ （Ｄ）－２，２ ５．（２０２４辽宁沈阳一模）已知有１００个半径互不相 等的同心圆，其中最小圆的半径为１，在每相邻的两个圆 中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为２，则这１００个圆 中最大圆的半径是 （　　） （Ａ）８ （Ｂ）９ （Ｃ）１０ （Ｄ）１００ ６．（２０２４安徽芜湖适应性 训练）“陶辛水韵”被评为芜 湖市新十景之一，每年入夏 后，千亩水面莲叶接天，荷花 映日，吸引远道游客纷至沓 来，坐上游船穿过一座座圆拱 桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度２０米，拱 高约５米．现有一船，水面以上高３米，欲通过圆拱桥，船 宽最长约为 （　　） （Ａ）１２米 （Ｂ）１３米 （Ｃ）１４米 （Ｄ）１５米 ７．（２０２４江苏淮安期末）如 图２，在平面直角坐标系中，Ｏ为 坐标原点，⊙Ｃ的方程为（ｘ－１）２ ＋（ｙ－１）２＝１，射线ＯＰ绕Ｏ点从 ｘ轴正半轴逆时针匀速旋转到ｙ轴 正半轴，所扫过的内部图形（图中 阴影部分）的面积Ｓ可表示为时间ｔ的函数ｙ＝Ｓ（ｔ），则 下列图象中与ｙ＝Ｓ（ｔ）图象类似的是 （　　） ８．（２０２４北京开学考试）平面内互不重合的点 Ａ１， Ａ２，Ａ３，Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，Ｂ４，若｜Ａ１Ｂ → ｉ＋Ａ２Ｂ → ｉ＋Ａ３Ｂ → ｉ｜＝ｉ，其中ｉ ＝１，２，３，４，则｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜的取值范围为 （　　） （Ａ [） ４３， ]８３ （Ｂ [） ４３，１６]３ （Ｃ [） ４３，１０]３ （Ｄ）［１，５］ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４山东淄博模拟）已知圆Ｏ１：ｘ ２＋ｙ２－２ｘ－３ ＝０和圆Ｏ２：ｘ ２＋ｙ２－２ｙ－１＝０的交点为Ａ，Ｂ，则 （　　） （Ａ）圆Ｏ１和圆Ｏ２有两条公切线 （Ｂ）直线ＡＢ的方程为ｘ－ｙ＋１＝０ （Ｃ）圆Ｏ２上存在两点Ｐ和Ｑ使得｜ＰＱ｜＞｜ＡＢ｜ （Ｄ）圆Ｏ１上的点到直线ＡＢ的最大距离为２＋槡２ １０．（２０２４湖南模拟）对于直线ｌ：ｘ－ｍｙ＋２－ｍ＝ ０与圆Ｃ：（ｘ－５）２＋（ｙ－１）２ ＝４，以下说法正确的有 （　　） （Ａ）ｌ过定点（－２，－１） （Ｂ）Ｃ被ｌ截得的弦长最长时，ｍ＝ ７２ （Ｃ）ｌ与Ｃ相切时，ｍ＝０或ｍ＝４５２８ （Ｄ）ｌ与Ｃ相切时，记两种情形下的两个切点分别为 Ａ，Ｂ，则｜ＡＢ｜＝ 槡２８ ５３５３ １１．（２０２４江苏南京期末）过点Ｍ（４，０）的直线与圆 （ｘ＋２）２＋（ｙ＋５）２ ＝２５交于Ａ，Ｂ两点，在线段ＡＢ上 取一点Ｑ，使得 １｜ＭＡ｜＋ １ ｜ＭＢ｜＝ ２ ｜ＭＱ｜，则线段｜ＭＱ｜ 的长可能为 （　　） （Ａ）９２ （Ｂ） １６ ３ （Ｃ） １１ ２ （Ｄ） ３５ ６ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４全国一模）直线ｙ＝－槡３（ｘ－２）截圆ｘ ２ ＋ｙ２ ＝４得到的劣弧所对的圆心角为 ． １３．（２０２４苏州自主学习测试）已知Ｐ是直线ｌ：ｋｘ＋ ｙ＋４＝０（ｋ＞０）上一动点，ＰＡ，ＰＢ是圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｙ ＝０的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ．若四边形ＰＡＣＢ的最 小面积为２，则ｋ＝ ． １４．（２０２４安徽黄山阶段测试）已知圆Ｃ１：ｘ ２＋ｙ２＋ ２ａｘ＋ａ２－４＝０（ａ∈Ｒ）与圆Ｃ２：ｘ ２＋ｙ２－２ｂｙ－１＋ｂ２ ＝０（ｂ∈ Ｒ）只有一条公切线，则 ａ＋ｂ的最小值为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）（２０２４福建南安一中）求半径为２，圆心 在直线ｌ１：ｙ＝２ｘ上，且被直线ｌ２：ｘ－ｙ－１＝０所截弦的 长为 槡２２的圆的方程． １６．（１５分）已知 ａ，ｂ，ｃ∈ Ｒ，３ａ２＋３ｂ２ ＝４ｃ２（ｃ≠ ０）． （１）求证：直线ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０与圆ｘ２＋ｙ２ ＝１交 于两不同点Ｍ，Ｎ； （２）求｜ＭＮ｜． １７．（１５分）（２０２４重庆巴南阶段练习）已知圆Ｃ的 方程：ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋ｍ＝０． （１）求ｍ的取值范围； （２）当圆Ｃ与圆Ｄ：（ｘ＋３）２＋（ｙ＋１）２ ＝１６相外 切时，求圆Ｃ的半径                                                                                                                                                             ． 书 １．直线４ｘ＋３ｙ＝４０和圆ｘ２＋ｙ２＝１００的位置关系 是 （　　） （Ａ）相交　　　　　　　（Ｂ）相离 （Ｃ）相切　　　 （Ｄ）无法确定 ２．直线槡３ｘ－ｙ＋ｍ＝０与圆ｘ ２＋ｙ２－２ｘ－２＝０相 切，则实数ｍ＝ （　　） （Ａ）±槡３ （Ｂ）－ 槡３３或槡３ （Ｃ）－槡３或 槡３３ （Ｄ）± 槡３３ ３．点Ｍ（３，０）是圆ｘ２＋ｙ２－８ｘ－２ｙ＋１０＝０内一 点，过点Ｍ最长的弦所在的直线方程是 （　　） （Ａ）ｘ＋ｙ－３＝０ （Ｂ）ｘ－ｙ－３＝０ （Ｃ）２ｘ－ｙ－６＝０ （Ｄ）２ｘ＋ｙ－６＝０ ４．已知圆的方程为 ｘ２＋ｙ２ ＝２，则经过圆上一点 （１，－１）的切线方程为 ． ５．圆（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝ｒ２与两坐标轴相切，则其 半径ｒ＝ ． ６．已知圆的方程为ｘ２＋ｙ２ ＝２，直线ｙ＝ｘ＋ｂ，当ｂ 为何值时，圆与直线相交、相切、相离？ １．圆Ｃ１：ｘ ２＋ｙ２＝１与圆Ｃ２：（ｘ－３） ２＋（ｙ－４）２＝１６ 的位置关系是 （　　） （Ａ）外离　　　　　　　（Ｂ）相交 （Ｃ）内切 （Ｄ）外切 ２．圆Ｃ１：ｘ ２＋ｙ２＋４ｘ＋８ｙ－５＝０与圆Ｃ２：ｘ ２＋ｙ２＋ ４ｘ＋４ｙ－１＝０的位置关系为 （　　） （Ａ）相交 （Ｂ）外离 （Ｃ）内切 （Ｄ）外切 ３．圆Ｃ１：（ｘ－１） ２＋（ｙ－２）２ ＝４与圆Ｃ２：（ｘ＋２） ２ ＋（ｙ＋２）２ ＝１的位置关系是 （　　） （Ａ）外离 （Ｂ）外切 （Ｃ）相交 （Ｄ）内切 ４．圆Ｃ１：ｘ ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０和圆Ｃ２：ｘ ２＋ｙ２ ＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０的公共弦所在直线的方程是 ． ５．若点Ａ（ａ，ｂ）在圆ｘ２＋ｙ２＝４上，则圆（ｘ－ａ）２＋ ｙ２ ＝１与圆ｘ２＋（ｙ－ｂ）２ ＝１的位置关系是 ． ６．求和圆（ｘ－２）２＋（ｙ＋１）２＝４相切于点（４，－１） 且半径为１的圆的方程． 书 例 已知Ｐ为直线ｙ＝ｘ＋１上任一点，Ｑ为圆Ｃ：（ｘ －３）２＋ｙ２ ＝１上任一点，求｜ＰＱ｜的最小值． 解析：这是个典型的直线与圆位置关系的最值问题， 一般地只需要过圆心作直线的垂线，计算出垂线段的距 离，然后把这个距离加上半径就是最大值，距离减去半径 就是最小值．所以这道题的结果是：槡２２－１． 变式一：由直线ｙ＝ｘ＋１上 的一点向圆Ｃ：（ｘ－３）２＋ｙ２＝１ 引切线，求切线长的最小值． 解：设过直线ｙ＝ｘ＋１上点 Ｐ作切线，切圆Ｃ于Ａ，如图１，则 ＰＡ２ ＝ＰＣ２－１． 所以要求切线长的最小值，也就是要求 ＰＣ的最 小值．又ＰＣｍｉｎ ＝ 槡２２，所以ＰＡｍｉｎ ＝槡７． 变式二：如图 ２，已知点 Ａ（０，１），Ｂ（２，３），Ｑ为圆Ｃ：（ｘ －３）２＋ｙ２ ＝１上任一点，求 Ｓ△ＱＡＢ的最小值． 解：已知 Ａ（０，１），Ｂ（２， ３）， 故可求得直线ＡＢ的方程为ｌＡＢ：ｙ＝ｘ＋１． 设ｈ为Ｑ到ｌＡＢ的距离，则Ｓ△ＱＡＢ ＝ １ ２｜ＡＢ｜·ｈ． 又因为｜ＡＢ｜＝ 槡２２， 所以要求Ｓ△ＱＡＢ的最小值，也就是要求 ｈ的最小 值． 由例题可知这个最小值为 槡２２－１， 所以Ｓ△ＱＡＢ的最小值为４－槡２． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$%&'()*+,-./0123+ ! 4 !"#$%&' 567 !8"2"9: ,;<=>?@ABCD E;?>?@ABCD ! ! " # $ % ! $ & $'!($ ! ! ) $ * ! & & +",#$$ ,"&#"$ $'!($ %&'()*+,-. /0#12%3456) 789:9%;<. = >?@&ABC?DE FG? 'HIJK#L MNOPQ%RST KUV#LWXVYZ %[\]K^_. `a 3bc&(#d[\ef gh,ijd-)#kl @m6nopiTqr 0st# u2,vw xyzZK%3456{ ,|}jM~u€ ‚ƒ#12„n…† ‡jˆ‰Š%?‹Œ Ž%‘#’“”~ •–—˜™š›?œ žŸ% 9.  9¡}yjˆ¢ £3¤¥6%K#12{ }n¦§ ¨%©# ª«¬ ¨%Ž­® 12¯%}°±²³ j´ µ#ª,}°± ²¶j´ µ®°·¸ ¹´ºª»¼%½¨# j´¾¿ÀÁ%½ ¨#1AÂ,ÃÄÅÆ ÇÈÉ. 12ÊËÌ Í%ÎM‹Ï%3¤ ¥6# ,|}–Ð%Ñ ÒjMÓÔ. Õfg}Ö×Ø Ùi%¤¥#ÚÉ45 ÛÜ ÝÞßàá%âãä å%jæçèy uéê%¢‡ë ì%íy3nu%îï å#ði%Kñònó óôôõöõ'%¤ d÷³#ø,}u¢ù 8Ü 6 3Õ,}45#{ }úH. 6ëìû0ü ý#3uþü%45ÿ Î!0,". þ#4 5#$%}BHª¸V %%'H. 6 3¼%ü# ¡}n &'()*+,1K -,{./0%12 3 ˜ 4 @ 5 6 = 7 899}Î:%;Ü 6 3×}Î:. u< n=Á7>*ȳ? @A6=78. B8? C8D8EFA8# ØsG8ñHbI’. °·,45#ΈJ) 7KÜ 6 ! ! ! FG HIJ ()*+, ! " K"L$M&'(N*+,-OG012:+ ! P .QR+ !2: LMÿN?NÿN%OPQR "STUVWXY ! $ ! - & ! * $ ! & . * $ . * $ . / . * $ . * $ 0 1 ! LSTUVWX"Y & / 0 ! * + $ 书 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）２０２４年７月 第１～４期参考答案 第１期２版 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．ＢＤ．　４．１２； ５．（１）槡３３或 － 槡３ ３，（２） ６π ７． ６．解：当２ｍ＝ｍ，即ｍ＝０时，直线ｌ垂直于ｘ轴，其斜率不存在； 当２ｍ≠ｍ，即ｍ≠０时，直线ｌ的斜率ｋ＝ ２－１ｍ－２ｍ＝－ １ ｍ． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．ＢＤ．　４．２ｘ－ｙ＋２＝０； ５．ｙ＝ ２ｘ， １ ３ｘ＋ ５０ ３ { ，０≤ｘ＜１０，１０≤ｘ≤４０． ６．解：经过点（１，２），且斜率为３ 的直线，即ｙ－２＝３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝３ｘ－１； 经过点（１，２），且斜率为 －３的直 线，即ｙ－２＝－３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝－３ｘ＋５． 图象如右图所示． 专项小练三 １．Ａ；　２．Ａ；　３．ＡＣ．　４．ｘ－４ｙ＋７＝０；　５．－３． ６．解：设ＡＣ边的中点为Ｄ，由中点坐标公式可求得Ｄ点的坐 标为（４，４），则直线ＢＤ即为所求． 由直线方程的两点式得 ｙ－０ ４－０＝ ｘ＋４ ４＋４， 即所求直线方程为ｘ－２ｙ＋４＝０． 第１期３，４版 直线的倾斜角、斜率，直线的方程同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＡＤＡＢ　５～８　ＡＤＤＤ 提示： ２．已知ｋｂ≠０，ｌ２：ｙ＝－ ｂ ｋｘ＋ｂ，由四个选项中的ｌ１可知ｋ＞ ０，可排除（Ａ），（Ｃ）；当ｂ＜０时，可排除（Ｂ）；当ｂ＞０时，（Ｄ）符 合题意． ３．由题意可知直线ｌ的斜率ｋ＝ｔａｎπ４ ＝１， 所以直线ｌ的方程为ｙ－３＝ｘ－１，即ｙ＝ｘ＋２， 所以它在ｙ轴上的截距为２． ４．因为直线ｌ的倾斜角为１５０°，所以ｔａｎ１５０°＝－槡３３， 由斜率的定义ｋ＝ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ 可知，取ｘ１ ＝ｙ１ ＝０， 解得一组解可以是ｘ２ ＝－３，ｙ２ ＝槡３， 所以直线的一个方向向量可以是（－３，槡３）． ５．由直线ｌ的方程为：２ｘ＋３ｙ－１＝０， 得斜率ｋ＝ｔａｎθ＝－２３， 则ｓｉｎ（θ－π）· (ｓｉｎ π２ － )θ ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ１ ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ ＝ －ｔａｎθ ｔａｎ２θ＋１ ＝ ( ２ ３ － )２３ ２ ＋１ ＝ ６１３． ６．由 (ｆ π４ ) (－ｘ ＝ｆ π４ )＋ｘ 知函数ｆ（ｘ）的图象关于 直线ｘ＝π４对称，所以ｆ（０） (＝ｆ π )２ ，所以ａ＝－ｂ．由直线ａｘ －ｂｙ＋ｃ＝０知其斜率ｋ＝ ａｂ ＝－１，所以直线的倾斜角为 ３π ４． ７．因为点（－１，２） (和 槡３３， )０ 在直线ｌ：ａｘ－ｙ＋１＝０（ａ≠ ０）的同侧，所以（－ａ－２＋１ (）· 槡３３ａ－０＋ )１ ＞０，即（ａ＋１）（ａ ＋槡３）＜０，所以－槡３＜ａ＜－１．又知直线ｌ的斜率ｋ＝ａ，即－槡３ ＜ｋ＜－１，又因为直线倾斜角范围是［０，π），所以直线ｌ的倾斜角 (的取值范围为 ２π３，３π)４ ． ８．ｍ（ｘ＋１）＋ｎ（ｙ＋２）＝０可化为ｍｘ＋ｎｙ＋ｍ＋２ｎ＝０， ① 要使ｌ与两坐标轴能围成三角形，则ｍｎ≠０且ｍ＋２ｎ≠０， 由①令ｘ＝０得ｙ＝－ｍ＋２ｎｎ ；令ｙ＝０得ｘ＝－ ｍ＋２ｎ ｍ ． 依题意， １ ２ (× －ｍ＋２ｎ)ｎ (× －ｍ＋２ｎ)ｍ ＝ １２ × ｍ２＋４ｍｎ＋４ｎ２ ｍｎ ＝ １ ２ × ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４ ＝６， 所以 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４＝１２或 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４＝－１２， 所以 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＝８或 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＝－１６． 设ｔ＝ ｍｎ，则ｔ＋ ４ ｔ ＝８或ｔ＋ ４ ｔ ＝－１６， 则ｔ２－８ｔ＋４＝０或ｔ２＋１６ｔ＋４＝０， 解得ｔ＝４± 槡２３或ｔ＝－８± 槡２ １５， 即 ｍ ｎ ＝４± 槡２３或 ｍ ｎ ＝－８± 槡２ １５， 所以这样的直线有４条． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．由ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０可知直线斜率ｋ＝－ａｂ ＞０， 直线在ｙ轴上的截距ｙ＝－ ｃｂ ＜０，满足条件的只有（Ｂ）， 所以不可能是（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．对于（Ａ）项，当ｘ＝２，ｙ＝６时，代入直线方程后得６≠２ －８，所以点（２，６）不在直线ｌ上，故（Ａ）项错误； 对于（Ｂ）项，易得直线ｌ的斜率为ｋ＝１，所以ｕ＝（１，１）为 直线ｌ的一个方向向量，故（Ｂ）项正确； 对于（Ｃ）项，令ｘ＝０得ｙ＝－８，所以直线ｌ在ｙ轴上的截距 为 －８，故（Ｃ）项错误； 对于（Ｄ）项，易得向量ｖ＝（１，－１）与直线ｌ的方向向量垂 直，故（Ｄ）项正确．故选（Ｂ）（Ｄ）． １１．对于（Ａ），整理ｍｘ＋ｙ＋１－３ｍ＝０，得ｍ（ｘ－３）＋ｙ＋ １＝０，令 ｘ－３＝０， ｙ＋１＝０{ ，解得 ｘ＝３， ｙ＝－１{ ，所以直线ｌ恒过点（３，－１）， （Ａ）正确； 对于（Ｂ），可知所求直线的斜率存在且不为０，设为ｋ， 则它的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ－１）． 令ｘ＝０，得ｙ＝１－ｋ，即该直线在ｙ轴上的截距为１－ｋ； 令 ｙ＝０，得ｘ＝１－１ｋ，即该直线在ｘ轴上的截距为１－ １ ｋ． 因为该直线在ｘ，ｙ轴上的截距相 等，所以１－ｋ＝１－１ｋ，解得ｋ＝±１， 所以所求直线的方程为ｘ－ｙ＝ ０或ｘ＋ｙ－２＝０，（Ｂ）错误； 对于（Ｃ），点Ｂ关于 ｘ轴的对称 点为Ｂ′（－１，－１），连接ＡＢ′交ｘ轴于 点Ｐ０，点Ｐ是 ｘ轴上任意一点，连接 ＢＰ０，ＡＰ，ＢＰ，ＰＢ′，如图１． 于是｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜＝｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ′｜≥｜ＡＢ′｜＝｜ＡＰ０｜＋ ｜Ｂ′Ｐ０｜＝｜ＡＰ０｜＋｜ＢＰ０｜， 当且仅当点Ｐ与Ｐ０重合时，等号成立， 因此（｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜）ｍｉｎ＝｜ＡＢ′｜＝ ３２＋４槡 ２ ＝５，（Ｃ）正确； 对于（Ｄ），直线ｌ与ｘ，ｙ轴的正半轴分别交于Ａ，Ｂ两点，可知 直线ｌ的斜率为负数，设直线ｌ：ｙ－２＝ｋ（ｘ－３），ｋ＜０， 令ｘ＝０，得ｙ＝２－３ｋ，令ｙ＝０，得ｘ＝３－２ｋ，可知２－３ｋ ＞０，３－２ｋ ＞０， 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ ×（２－３ｋ (） ３－２ )ｋ ＝ [１２ （－９ｋ）＋ ４ －ｋ＋ ]１２ ≥ １２（ 槡２ ３６＋１２）＝１２， 当且仅当 －９ｋ＝ ４－ｋ，即ｋ＝－ ２ ３时，等号成立， 所以△ＡＯＢ面积的最小值为１２，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．４；　１３．５；　１４．９１４． 提示： １２．设直线ＡＢ的倾斜角为α， 则直线ＡＢ的斜率ｋ＝ｔａｎα＝ｔａｎ４５°＝１， 又ｋ＝３ｍ－６２＋ｍ ＝１，解得ｍ＝４． １３．因为ｆ（２）＝ａ０＋１＝２，所以Ａ（２，２）； 由ｋｘ－ｙ＋２ｋ－１＝０得ｙ＋１＝ｋ（ｘ＋２），所以直线恒过定 点Ｂ（－２，－１），所以｜ＡＢ｜＝ （－２－２）２＋（－１－２）槡 ２ ＝５． １４．以Ｃ为原点，ＤＣ，ＢＣ边分别为ｘ轴，ｙ轴建立平面直角坐 标系，如图２，则Ｎ（－１２０，－８０），Ｍ（－６０，－２００）， Ｎ关 于 ｘ轴 的 对 称 点 为 Ｎ′（－１２０，８０），Ｎ′关于 ｙ轴的对称 点为Ｎ″（１２０，８０）， 直线ＭＮ″方向为本球射出方向， 故 (ｔａｎ π２ － )θ ＝８０＋２００１２０＋６０ ＝１４９，ｔａｎθ＝ ９ １４． 四、解答题 １５．解：（１）依题意，（－１，槡３）是直线ｌ的一个方向向量， 所以直线ｌ的斜率ｋ＝－槡３， 所以直线ｌ的倾斜角为１２０°． （２）直线的倾斜角是钝角，则直线斜率ｋＡＢ＝ ｍ－３ １－ｍ＋１＜０， 解得ｍ＜２或ｍ＞３． 所以实数ｍ的范围是（－∞，２）∪（３，＋∞）． １６．解：（１）由题图知点Ａ（６０，６），Ｂ（８０，１０）． 由直线方程的两点式可求得直线ＡＢ的方程是ｘ－５ｙ－３０＝０． （２）依题意，令ｙ＝０，解得ｘ＝３０，即旅客最多可免费携带 ３０千克的行李． １７．解：（１）由直线的两点式方程，得边 ＡＣ所在直线的方程 为 ｙ－４ ０－４＝ ｘ－０ －８－０，即ｘ－２ｙ＋８＝０． 由直线的两点式方程，得边 ＡＢ所在直线的方程为ｙ－４６－４＝ ｘ－０ －２－０，即ｘ＋ｙ－４＝０． （２）由题意，得点Ｄ的坐标为（－４，２）， 由直线的两点式方程，得中线ＢＤ所在直线的方程为ｙ－２６－２＝ ｘ－（－４） －２－（－４），即２ｘ－ｙ＋１０＝０． １８．解：（１）选择①：由题意可设直线ｌ２的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ＋４）， 因为直线ｌ２的斜率是直线ｙ＝－ １ ４ｘ的斜率的２倍， 所以ｋ＝－１２， 所以直线ｌ２的方程为ｙ－１＝－ １ ２（ｘ＋４），即ｘ＋２ｙ＋２＝０． 选择②：由题意可设直线ｌ２的方程为 ｘ ２ｍ＋ ｙ ｍ ＝１，ｍ≠０， 因为直线ｌ２过点Ａ（－４，１），所以 －４ ２ｍ＋ １ ｍ ＝１，解得ｍ＝－１． 所以直线ｌ２的方程为 ｘ －２＋ ｙ －１＝１，即ｘ＋２ｙ＋２＝０． （２）由（１）可知直线ｌ２的方程为ｘ＋２ｙ＋２＝０， 令ｙ＝０，可得ｘ＝－２，所以直线ｌ２在ｘ轴上的截距为 －２， 所以直线ｌ１在ｘ轴上的截距为 －２． 故直线ｌ１过点（－２，０），代入ａｘ＋２ｙ－１２＝０，得 －２ａ＋２× ０－１２＝０，解得ａ＝－６． １９．（１）证明：由ｋｘ－ｙ＋２＋３ｋ＝０可得：ｋ（ｘ＋３）＋２－ｙ＝０， 由 ｘ＋３＝０， ２－ｙ＝０{ ，可得 ｘ＝－３， ｙ＝２{ ，所以ｌ经过定点Ｐ（－３，２）， 即直线ｌ过定点（－３，２），且定点在第二象限， 所以无论ｋ取何值，直线ｌ始终经过第二象限． （２）解：设直线ｌ的倾斜角为α，则０＜α＜ π２， 可得｜ＰＡ｜＝ ２ｓｉｎα ，｜ＰＢ｜＝ ３ｃｏｓα ， 书 １７．解：（１）设圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则由已知 得 １２＋０２＋Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ４２＋０２＋４Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ６２＋（－２）２＋６Ｄ－２Ｅ＋Ｆ＝０ { ， 解得 Ｄ＝－５， Ｅ＝７， Ｆ＝４ { ． 故圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２－５ｘ＋７ｙ＋４＝０． （２）由圆的对称性可知，圆心Ｐ的横坐标为１＋４２ ＝ ５ ２， 故圆心 (Ｐ ５２， )２ ，故圆Ｐ的半径为ｒ＝｜ＡＰ｜ (＝ １－ )５２ ２ ＋（０－２）槡 ２ ＝ ５２， 故圆Ｐ (的标准方程为 ｘ－ )５２ ２ ＋（ｙ－２）２ ＝２５４． １８．解：（１）设圆的标准方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２， 得到圆心坐标为（ａ，ｂ），半径为ｒ， 将Ａ与Ｂ的坐标代入圆方程得： （－１－ａ）２＋（１－ｂ）２ ＝ｒ２， （－２－ａ）２＋（－２－ｂ）２ ＝ｒ２， 消去ｒ，整理得ａ＋３ｂ＋３＝０， ① 将圆心坐标代入ｘ＋ｙ－１＝０得ａ＋ｂ－１＝０， ② 联立①②解得ａ＝３，ｂ＝－２， ｒ２ ＝（－１－３）２＋（１＋２）２ ＝２５， 则圆Ｃ的标准方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． （２）设Ｎ（ｘ１，ｙ１），Ｇ（ｘ，ｙ）， 因为线段ＭＮ的中点是Ｇ， 所以由中点公式得 ｘ１＋３ ２ ＝ｘ， ｙ１＋４ ２ { ＝ｙ ｘ１ ＝２ｘ－３，ｙ１ ＝２ｙ－４{ ． 因为Ｎ在圆Ｃ上，所以（２ｘ－６）２＋（２ｙ－２）２ ＝２５， 即（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４， 所以点Ｇ的轨迹方程是（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４． １９．解：（１）设Ｐ（ｘ，ｙ），则｜ＰＡ｜２＝（ｘ＋１）２＋ｙ２，｜ＰＢ｜２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 所以 ｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝ （ｘ＋１）２＋ｙ槡 ２ （ｘ－３）２＋ｙ槡 ２ ＝ １３， 则９（ｘ＋１）２＋９ｙ２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 整理得曲线Ｃ的方程为ｘ２＋３ｘ＋ｙ２ ＝０． （２）由（１）得曲线Ｃ为圆，即Ｃ (： ｘ＋ )３２ ２ ＋ｙ２ ＝ ９４． 设其关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的圆的圆心为（ｘ，ｙ）， 则 ｘ－３２ ２ ＋ ｙ ２ －２＝０， ｙ ｘ＋３２ ＝１{ ， 解得 ｘ＝２，ｙ＝ ７２{ ． 所以曲线Ｃ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的曲线方程为（ｘ－ ２）２ (＋ ｙ－ )７２ ２ ＝ ９４． （３） (由点 ５２， )３ 到圆心Ｃ的距离为 (ｄ＝ ５２ ＋ )３２ ２ ＋（３－０）槡 ２ ＝５． 因为圆Ｃ的半径ｒ＝ ３２， (所以点 ５２， )３ 到圆Ｃ的最短距离为ｄ－ｒ＝５－３２ ＝ ７２ ＞３，故在圆Ｃ上不存在点Ｄ，使得Ｄ (到点 ５２， )３ 的距离为３． 第４期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｂ．　４．ｘ－ｙ－２＝０；　５．２． ６．解：已知圆的圆心为（０，０），半径为槡２， 圆心到直线的距离ｄ＝｜ｂ｜ 槡２ ． 当ｄ＜槡２，即 －２＜ｂ＜２时，直线与圆相交； 当ｄ＝槡２，即ｂ＝±２时，直线与圆相切； 当ｄ＞槡２，即ｂ＜－２或ｂ＞２时，直线与圆相离． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ．　４．４ｘ＋３ｙ－２＝０；　５．外切． ６．解：设所求圆的圆心为Ｐ（ａ，ｂ）， 所以 （ａ－４）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝１． ① （１）若两圆外切，则有 （ａ－２）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝１＋２＝３． ② 由①②，解得ａ＝５，ｂ＝－１， 所以所求圆的方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． （２）若两圆内切，则有 （ａ－２）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝２－１＝１． ③ 由①③，解得ａ＝３，ｂ＝－１， 所以所求圆的方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 综上，可知所求圆的方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋１）２＝１或（ｘ－ ３）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 第４期３，４版 直线与圆、圆与圆的位置关系同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＣＤＤＡ　５～８　ＣＢＡＤ 提示： ２．两圆的圆心分别为：Ａ（３，－２），Ｂ（７，１）， 半径分别为：ｒ＝２，Ｒ＝６， 两圆心距为：｜ＡＢ｜＝ （７－３）２＋（１＋２）槡 ２ ＝５， 而Ｒ－ｒ＜｜ＡＢ｜＜Ｒ＋ｒ，所以两圆相交． ３．由题意可得圆心Ｃ（１，－４）到直线ｌ的距离ｄ≤５， 即 ｜３－４×（－４）＋ｍ｜ ５ ≤５，解得ｍ∈［－４４，６］． ４．因为圆Ｏ上恰有三个点到直线ｌ的距离等于１， 所以圆心Ｏ（０，０）到直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ的距离ｄ＝１， 所以 ｜ｄ｜ 槡２ ＝１，解得：ｂ＝槡２或ｂ＝－槡２． ５．设这１００个圆的半径从小到大依次为ｒ１，ｒ２，…，ｒ１００， 则由题知，ｒ２１ ＝１． 因为每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为 ２，即ｒ２２－ｒ２１ ＝１，ｒ２３－ｒ２２ ＝１，…，ｒ２９９－ｒ２９８ ＝１，ｒ２１００－ｒ２１００ ＝１， 即 ｒ２２ ＝１＋ｒ２１＝２，ｒ２３＝１＋ｒ２２＝３，…，ｒ２１００＝１＋ｒ２９９＝１００， 所以ｒ１００ ＝１０． ６．如图１，拱形桥ＡＣＢ， 以ＡＢ所在的直线为ｘ轴，以线段 ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直 角坐标系，则 Ａ（－１０，０），Ｂ（１０，０）， Ｃ（０，５），圆心在ｙ轴上，设为Ｅ（０，ｂ）， 则有 ｜ＡＥ ｜＝｜ＣＥ ｜， 即 １００＋ｂ槡 ２ ＝｜５－ｂ｜， 整理可得２ｂ＋１５＝０，解得ｂ＝－１５２， 所以圆心为 (Ｅ ０，－１５)２ ，半径为｜ＣＥ｜＝｜５－ｂ｜＝２５２， 所以圆的方程为ｘ２ (＋ ｙ＋１５)２ ２ ＝６２５４． 设Ｄ（ａ，３），则有ａ２ (＋ ３＋１５)２ ２ ＝６２５４，解得ａ＝槡４６． 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为 槡２ ４６． 因为６５＜槡４６＜７，所以１３＜ 槡２ ４６＜１４， 所以船宽最长约为１３米． ７．当射线 ＯＰ绕 Ｏ点从 ｘ轴正半轴逆时针匀速旋转到射线 ＯＣ时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图２显示，变化 量ΔＳ也在变大； 当射线ＯＰ绕Ｏ点从射线ＯＣ逆时针匀速旋转到ｙ轴正半轴 时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图３显示，变化量 ΔＳ在变小，综合选项可得，选项（Ａ）符合． ８．设Ｇ为△Ａ１Ａ２Ａ３的重心， 则Ａ１Ｂ → ｉ＋Ａ２Ｂ → ｉ＋Ａ３Ｂ → ｉ＝Ａ１ → Ｇ＋ＧＢ→ ｉ＋Ａ２→ Ｇ＋ＧＢ→ ｉ＋Ａ３→ Ｇ＋ＧＢ→ ｉ ＝３ＧＢ→ ｉ， 因为｜Ａ１Ｂ → ｉ＋Ａ２Ｂ → ｉ＋Ａ３Ｂ → ｉ｜＝ｉ，所以｜ＧＢ → ｉ｜＝ ｉ ３ ＝ｒｉ，即 Ｂｉ在以点Ｇ为圆心，ｒｉ＝ ｉ ３为半径的圆上面． 设点Ｇ与坐标原点重合， 则｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜≥ｒ４ －ｒ１ ＝ ４ ３ － １ ３ ＝１，当且仅当Ｂ１，Ｂ２， Ｂ３都在线段ＯＢ４上时，等号成立， 又｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜≤ｒ１ ＋ｒ２＋ｒ２＋ｒ３＋ｒ３＋ｒ４ ＝ １ ３ ＋ ２ ３ ×２ ＋１×２＋４３ ＝５，当且仅当Ｂ１，Ｏ，Ｂ２在线段Ｂ３Ｂ４上面，且Ｂ１在 线段ＯＢ３上，Ｂ２在线段ＯＢ４上时，等号成立． 综上所述，｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜的取值范围为［１，５］． 二、多项选择题 ９．ＡＢＤ；　１０．ＡＢ；　１１．ＢＣＤ． 提示： ９．对于（Ａ），因为两个圆相交，所以有两条公切线，正确； 对于（Ｂ），将两圆方程作差可得 －２ｘ＋２ｙ－２＝０，即得公共 弦ＡＢ的方程为ｘ－ｙ＋１＝０，正确； 对于（Ｃ），直线ＡＢ经过圆Ｏ２的圆心（０，１），所以线段 ＡＢ是 圆Ｏ２的直径，故圆Ｏ２中不存在比ＡＢ长的弦，错误； 对于（Ｄ），圆Ｏ１的圆心坐标为（１，０），半径为２，圆心到直线 ＡＢ：ｘ－ｙ＋１＝０的距离为｜１＋１｜ 槡２ ＝槡２，所以圆Ｏ１上的点到直 线ＡＢ的最大距离为２＋槡２，正确． １０．对于（Ａ），将直线ｌ的方程变形为ｘ＋２－ｍ（ｙ＋１）＝０， 由 ｘ＋２＝０， ｙ＋１＝{ ０可得 ｘ＝－２， ｙ＝－１{ ， 所以直线ｌ过定点（－２，－１），（Ａ）正确； 对于（Ｂ），Ｃ被ｌ截得的弦长最长时，直线ｌ过圆心Ｃ（５，１）， 则７－２ｍ＝０，解得ｍ＝ ７２，（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），圆Ｃ的圆心为Ｃ（５，１），半径为ｒ＝２， 当直线ｌ与Ｃ相切时，则｜７－２ｍ｜ １＋ｍ槡 ２ ＝２， 解得ｍ＝４５２８，（Ｃ）错； 对于（Ｄ），由（Ｃ）可知，直线 ｌ与 Ｃ相切时只有一种情况， （Ｄ）错． １１．设圆心为Ｃ，则Ｃ（－２，－５）， 圆的半径为５，所以圆与ｘ轴相切． 设切点为 Ｐ，则 Ｐ（－２，０），连接 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，ＭＣ，则｜ＰＭ｜＝６， 因为∠ＭＰＡ＝∠ＭＢＰ，∠ＰＭＡ＝ ∠ＢＭＰ，所以△ＭＰＡ∽△ＭＢＰ， 所以｜ＰＭ｜２＝｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝３６． 设ＡＢ的中点为Ｎ，连接ＣＮ， 则ＣＮ⊥ＡＢ， 设圆心Ｃ到直线ＡＢ的距离ｄ，则０≤ｄ＜５， ｜ ＭＣ ｜＝ （４＋２）２＋５槡 ２ ＝ 槡６１， ｜ ＭＮ ｜＝ ｜ＭＣ｜２－ｄ槡 ２ ＝ ６１－ｄ槡 ２， ｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜＝２｜ＭＡ｜＋｜ＡＢ｜＝２｜ＭＡ｜＋２｜ＡＮ｜＝ ２｜ＭＮ｜＝２ ６１－ｄ槡 ２， 因为 ２ ｜ＭＱ｜＝ １ ｜ＭＡ｜＋ １ ｜ＭＢ｜＝ ｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜ ｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝ ｜ＭＮ｜ １８ ， 所以｜ＭＱ｜＝ ３６｜ＭＮ｜＝ ３６ ６１－ｄ槡 ２ ， 因为０≤ｄ＜５，所以 槡３６ ６１ 槡６１ ≤｜ＭＱ｜＜６．故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．６０°／π３；　１３．２；　１４．－槡２． 提示： １２．如图６，圆心（０，０）到直线槡３ｘ＋ ｙ－ 槡２ ３ ＝ ０的 距 离：｜ＯＤ｜＝ ｜槡２３｜ （槡３）２＋槡 １ ＝槡３，所以弦长： ｜ＡＢ｜＝２ ２２－（槡３）槡 ２ ＝２， 所以△ＯＡＢ为等边三角形，所以 ∠ＡＯＢ＝６０°． １３．圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０的圆心为（０，１），半径为１，因为四 边形 ＰＡＣＢ的面积 Ｓ＝ＰＡ·ＡＣ ＝ ＰＣ２－ＡＣ槡 ２·ＡＣ ＝ ＰＣ２－槡 １，而Ｓ最小值为２，所以ＰＣ的最小值为槡５，即圆心（０， １）到直线ｌ的距离｜０＋１＋４｜ ｋ２＋槡 １ ＝槡５，解得ｋ＝２． １４．圆Ｃ１：ｘ２＋ｙ２＋２ａｘ＋ａ２－４＝０的圆心Ｃ１（－ａ，０），半 径ｒ１ ＝２， 圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ｂｙ－１＋ｂ２＝０的圆心Ｃ２（０，ｂ），半径ｒ２＝１， 由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距｜Ｃ１Ｃ２｜ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝２－１＝１，可得ａ２＋ｂ２ ＝１． 设ａ＝ｃｏｓα，ｂ＝ｓｉｎα，ａ∈Ｒ， 所以ａ＋ｂ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ∈［－槡２，槡２］， 当且仅当α＋π４ ＝－ π ２ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ时， 即α＝－３４π＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ时，ａ＋ｂ的最小值为 －槡２． 四、解答题 由于版面有限，解答题答案见报纸． ! ! " !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 ! 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 !"#$ !"#$ ! " # $ ! % & ! ! $! $" ' ( ' " ! #$! $" ) % & ' # ! " $" $ $ $ $ $ $ $ $ (*+#'(& (*#'$" ( ! " ' , ) , ) # ( ! !! ' ! ) # & " ( ! ! " ! ! ' " ( ) ' " ( ) ! # ' ( ) ! ' - ! $ " # % ' ) , ( ! & ' # & ! ) ( ! % 书 所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜＝ １ ｓｉｎα ＋ １ｃｏｓα ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ． 令ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ， 因为０＜α＜ π２，可得 π ４ ＜α＋ π ４ ＜ ３π ４， 槡２ ２ ＜ (ｓｉｎ α＋ π )４ ≤１，则ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ∈（１，槡２］． 将ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα两边平方可得：ｔ２＝（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２ ＝ １＋２ｓｉｎα·ｃｏｓα，所以ｓｉｎαｃｏｓα＝ｔ ２－１ ２ ，所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜ ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ＝ ２ｔ ｔ２－１ ＝ ２ ｔ－１ｔ ， 因为ｙ＝ｔ－１ｔ在（１，槡２］上单调递增， 所以０＜ｔ－１ｔ≤ 槡２ ２， 故ｙ＝ １ ｔ－１ｔ ≥槡２，所以 ２ ｔ－１ｔ ≥ 槡２２，当且仅当ｔ＝槡２时 取等号，此时ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ＝槡２， 可得α＝ π４，所以ｋ＝ｔａｎα＝ｔａｎ π ４ ＝１， 所以直线ｌ的方程为ｘ－ｙ＋５＝０． 第２期２版 专项小练一 １．ＡＢＤ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．４；　５．垂直． ６．解：因为ｋＡＣ ＝ ２＋ 槡２２－２ ２－４ ＝－槡２， ｋＢＣ ＝ ２－ 槡２２－２ ０－４ ＝ 槡２ ２， 则ｋＡＣ·ｋＢＣ ＝－槡２×槡 ２ ２ ＝－１， 所以ＡＣ⊥ＢＣ．故△ＡＢＣ是直角三角形． 专项小练二 １．ＡＤ；　２．Ｃ；　３．Ｃ．　４．（－４，３）；　５．－３． ６．解：（１）解方程组 ３ｘ－ｙ＋４＝０， ｘ＋３ｙ＋２＝０{ ，得 ｘ＝－７５， ｙ＝－１５ { ， 所以这两条直线相交， (交点坐标是 －７５，－ )１５ ． （２）ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０可化为方程３ｘ－５ｙ＋１０＝０， 所以 ３ｘ－５ｙ＋１０＝０， ９ｘ－１５ｙ＋３０＝{ ０有无数多个解， 故ｌ１：３ｘ－５ｙ＋１０＝０与ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０重合． 专项小练三 １．Ｂ；　２．ＢＣＤ；　３．Ａ．　４．２或 －４；　５． 槡１２５５ ． ６．解：（１）由点到直线的距离公式可得 ｄ＝｜３×３－４×（－２）－１｜ ３２＋（－４）槡 ２ ＝１６５． （２）由直线ｙ＝６与ｘ轴平行，得ｄ＝｜６－（－２）｜＝８． （３）ｄ＝｜３｜＝３． 第２期３版 §１．４～§１．６同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＣＡＤ　５～８　ＡＢＢＡ 提示： １．因为 ｘ＋ｙ－５＝０， ３ｘ＋ｙ－３＝{ ０的解为 ｘ＝－１， ｙ＝６{ ，所以集合Ａ∩Ｂ中 的元素是两直线的交点（－１，６），即Ａ∩Ｂ＝｛（－１，６）｝． ２．由 ２ｘ＋ｙ－４＝０， ｘ－ｙ－２＝０{ ， ｘ＝２， ｙ＝０{ ，即两直线交点坐标为（２，０）， 代入ｋｘ－ｙ＋３＝０得：２ｋ－０＋３＝０ｋ＝－３２． 故选：（Ｃ）． ３．直线ｌ１：ｙ＝３ａｘ－２过定点Ａ（０，－２），直线ｌ２：ａ（２ｘ＋５ｙ） －（ｘ＋１）＝０过定点 (Ｂ －１， )２５ ， 所以｜ＡＢ｜＝ （－１－０）２ [＋ ２５ －（－２ ]）槡 ２ ＝１３５． ４．设Ｍ（ｘ，ｙ），且Ｍ１ → Ｍ ＝ ３２ＭＭ → ２， 则（ｘ－６，ｙ－２）＝ ３２（１－ｘ，７－ｙ）， 得 ｘ－６＝ ３２（１－ｘ）， ｙ－２＝ ３２（７－ｙ { ），解得 ｘ＝３，ｙ＝５{ ， 代入直线ｙ＝ｍｘ－７，得５＝３ｍ－７，解得ｍ＝４． ５．△ＡＢＣ的顶点为 Ａ（０，０），Ｂ（４，０），Ｃ（３，槡３），所以重心 (Ｇ ７３，槡３)３ ．设△ＡＢＣ的外心为Ｗ（２，ａ），则｜ＡＷ｜＝｜ＷＣ｜，即 ２２＋ａ槡 ２ ＝ （３－２）２＋（槡３－ａ）槡 ２，解得 ａ＝０，所以 Ｗ（２， ０），则该三角形的欧拉线即直线ＧＷ，其方程为ｙ－０＝ 槡３ ３ －０ ７ ３ －２ （ｘ －２），化简得槡３ｘ－ｙ－ 槡２３＝０． ６．当ｘ≥０时，由 －ａ｜ｘ｜＝－ａ＋ｘ可得，－ａｘ＝－ａ＋ｘ， 当ａ≠－１时，解得ｘ＝ ａａ＋１； 当ｘ＜０时，由 －ａ｜ｘ｜＝－ａ＋ｘ可得，ａｘ＝－ａ＋ｘ， 解得ｘ＝－ ａａ－１， 所以 ａ ａ＋１≥０， － ａａ－１＜０ { ，其中ａ＜０，解得ａ＜－１． ７．因为直线ｙ＝ｋｘ＋２０２３的斜率存在，所以ｘ１≠ｘ２， 由题意 ｙ１ ＝ｋｘ１＋２０２３， ｙ２ ＝ｋｘ２＋２０２３ { ， 则ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１ ＝ｘ１（ｋｘ２ ＋２０２３）－ｘ２（ｋｘ１ ＋２０２３）＝ ２０２３（ｘ１－ｘ２）≠０， 故ｌ１：ｘ１ｘ＋ｙ１ｙ＝１与ｌ２：ｘ２ｘ＋ｙ２ｙ＝１相交， 所以方程组总有唯一解，（Ａ），（Ｄ）错误，（Ｂ）正确； 若 ｘ＝１， ｙ＝{ ２是方程组的一组解，则 ｘ１＋２ｙ１ ＝１， ｘ２＋２ｙ２ ＝１ { ， 则点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）在直线ｘ＋２ｙ＝１，即ｙ＝－ １ ２ｘ＋ １ ２上， 但已知这两个点在直线ｙ＝ｋｘ＋２０２３上，而这两条直线不是 同一条直线，所以 ｘ＝１， ｙ＝{ ２不可能是方程组的一组解，（Ｃ）错误． ８．由题意，联立两直线方程 ｙ＝ｘ＋２， ｙ＝ｋｘ－４{ ，化简得（ｋ－１）ｘ＝６， ｋ－１＝－６，即ｋ＝－５时，ｘ＝－１，ｙ＝１； ｋ－１＝－３，即ｋ＝－２时，ｘ＝－２，ｙ＝０； ｋ－１＝－２，即ｋ＝－１时，ｘ＝－３，ｙ＝－１； ｋ－１＝－１，即ｋ＝０时，ｘ＝－６，ｙ＝－４； ｋ－１＝１，即ｋ＝２时，ｘ＝６，ｙ＝８； ｋ－１＝２，即ｋ＝３时，ｘ＝３，ｙ＝５； ｋ－１＝３，即ｋ＝４时，ｘ＝２，ｙ＝４； ｋ－１＝６，即ｋ＝７时，ｘ＝１，ｙ＝３． 所以ｋ的值可以取８个，选项（Ａ）正确． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＢＣＤ． 提示： ９．联立方程 ｘ＋ｙ－３＝０， ｙ＝ｋｘ＋３ｋ－２{ ，解得 ｘ＝５－３ｋｋ＋１， ｙ＝６ｋ－２ｋ＋１ { ， 因为两直线的交点在第四象限， 所以 ５－３ｋ ｋ＋１ ＞０， ６ｋ－２ ｋ＋１ ＜０ { ，解得 －１＜ｋ＜ １３．故选（Ａ）（Ｃ）． １０．对于（Ａ）项，当ｋ＝０时，直线ｌ２的方程为ｘ＝０，此时直 线ｌ２的倾斜角为 π ２，故（Ａ）项正确； 对于（Ｂ）项，当ｋ＝－１２时，直线ｌ２的方程为ｘ－ｙ－１＝０， 与ｌ１重合，此时两直线有公共点； 当ｋ≠－１２时，有１×ｋ－（－１）×（ｋ＋１）＝２ｋ＋１≠０， 即ｌ１，ｌ２一定相交． 综上所述，对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都有公共点，故 （Ｂ）项正确； 对于（Ｃ）项，由（Ｂ）可知，当ｋ＝－１２时，直线ｌ２与ｌ１重合， 故（Ｃ）项错误； 对于（Ｄ）项，要使直线ｌ１与直线ｌ２垂直，则应有ｋ＋１－ｋ＝ ０，该方程无解，所以对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都不垂直， 故（Ｄ）项正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把 平面分成７部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立： （１）直线ａｘ＋２ｙ＋８＝０过另外两条直线的交点． 由４ｘ＋３ｙ＝１０和２ｘ－ｙ＝１０的交点是（４，－２）， 代入解得：ａ＝－１； （２）直线ａｘ＋２ｙ＋８＝０分别与另外两条直线平行． 当ａｘ＋２ｙ＋８＝０与４ｘ＋３ｙ＝１０平行时， 有 ａ ４ ＝ ２ ３≠ ８ －１０，解得ａ＝ ８ ３； 当ａｘ＋２ｙ＋８＝０与２ｘ－ｙ＝１０平行时， 有 ａ ２ ＝ ２ －１≠ ８ －１０，解得ａ＝－４．故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２． 槡７ １０２０ ；　１３．槡２５；　１４．１． 提示： １２．由两直线平行可得ｍ＝２． 直线３ｘ＋ｙ－３＝０变形为６ｘ＋２ｙ－６＝０， 所以距离为ｄ＝ ｜１＋６｜ ６２＋２槡 ２ ＝ 槡７ １０２０ ． １３．设Ｂ关于直线ｙ＝ １３ｘ的对称点为Ｂ′（ｘ０，ｙ０）， 则 ｙ０－２ ｘ０－１ ＝－３， ｙ０＋２ ２ ＝ １ ３ × ｘ０＋１ ２ { ，解得Ｂ′（２，－１）． 由平面几何知识得 ｜ＡＣ｜＋｜ＢＣ｜的最小值即是｜Ｂ′Ａ｜＝ （２＋２）２＋（－１－１）槡 ２ ＝ 槡２５． １４．直线ｌ１：ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０，即ｍ（ｘ＋１）－ｙ＝０，恒过定点 （－１，０），直线ｌ３：（ｍ＋１）ｘ－ｙ＋（ｍ＋１）＝０，即ｍ（ｘ＋１）＋ｘ －ｙ＋１＝０，也恒过定点（－１，０）， 所以直线ｌ１与ｌ３相交于定点Ａ（－１，０）． 由 ｘ＋ｍｙ－ｍ（ｍ＋１）＝０， （ｍ＋１）ｘ－ｙ＋（ｍ＋１）＝０{ ，解得 ｘ＝０， ｙ＝ｍ＋１{ ，可知 直线ｌ２与直线ｌ３相交于点Ｂ（０，ｍ＋１）． 由题可得直线ｌ１与直线ｌ２相互垂直，所以△ＡＢＣ是Ｃ为直角 的直角三角形． 因为点Ａ到 ｌ２：ｘ＋ｍｙ－ｍ（ｍ＋１）＝０的距离 ｜ＡＣ｜＝ ｜－１－ｍ（ｍ＋１）｜ １＋ｍ槡 ２ ＝ｍ ２＋ｍ＋１ １＋ｍ槡 ２ ，点Ｂ到ｌ１：ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０的 距离｜ＢＣ｜＝｜－ｍ－１＋ｍ｜ ｍ２＋槡 １ ＝ １ ｍ２＋槡 １ ， 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ＝ １２｜ＡＣ｜｜ＢＣ｜＝ １ ２× ｍ２＋ｍ＋１ ｍ２＋１ ＝ (１２ １＋ ｍｍ２＋ )１ ， ｍ＜０时，△ＡＢＣ的面积不可能取到最大值； ｍ＝０时，Ｓ＝ １２； ｍ＞０时， ｍ ｍ２＋１ ≤ ｍ ２ ｍ槡 ２ ＝ １２，当且仅当ｍ＝１时，等号 成立，此时Ｓｍａｘ＝ (１２ １＋ )１２ ＝ ３４． 综上，当ｍ＝１时，△ＡＢＣ的面积Ｓ取得最大值 ３４． 四、解答题 １５．解：如图１，设Ｐ（０，３）点关于 直线ｘ－ｙ＋１＝０的对称点的坐标为 Ｐ′（ａ，ｂ）， 则 ａ ２ － ｂ＋３ ２ ＋１＝０， ｂ－３ ａ ＝－１ { ， 解得ａ＝２，ｂ＝１， 所以Ｐ′（２，１）． 设Ｑ（－２，３），Ｎ为直线ｘ－ｙ＋１＝０上的点， 则｜ＰＮ｜＝｜ＰＮ′｜．则 ｜ＱＮ｜＋｜ＰＮ｜＝｜ＱＮ｜＋｜Ｐ′Ｎ｜≥ ｜ＱＰ′｜，当且仅当Ｑ，Ｎ，Ｐ′三点共线时取等号． 而｜ＱＰ′｜＝ （－２－２）２＋（３－１）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以最短总路程为 槡２５． １６．解：（１）由 ２ｘ－ｙ＋３＝０， ３ｘ－ｙ＋２＝０{ ，解得 ｘ＝１， ｙ＝５{ ， 即两直线的交点坐标为（１，５）． 则直线经过点（１，５）和（２，３）， 由两点式方程得， ｙ－３ ５－３＝ ｘ－２ １－２， 化简得所求直线方程为２ｘ＋ｙ－７＝０． （２）由３ｘ＋ｙ－１＝０可得直线的斜率为 －３， 故平行于直线３ｘ＋ｙ－１＝０的直线的斜率为 －３， 结合（１）问可知：两条直线ｙ＝２ｘ＋３与３ｘ－ｙ＋２＝０的交 点为（１，５）， 由点斜式方程得，ｙ－５＝－３（ｘ－１）， 书 化简得所求直线方程为３ｘ＋ｙ－８＝０． １７．解：因为Ａ，Ｂ两点纵坐标不相等， 所以ＡＢ与ｘ轴不平行，而ＡＢ⊥ＣＤ， 所以ＣＤ与ｘ轴不垂直，则 －ｔ≠３，即ｔ≠－３． ①当ＡＢ与ｘ轴垂直时，－ｔ－３＝－２ｔ－４， 解得ｔ＝－１，此时Ｃ，Ｄ的纵坐标均为 －１， 所以ＣＤ∥ｘ轴，此时ＡＢ⊥ＣＤ，满足题意． ②当ＡＢ与ｘ轴不垂直时，由斜率公式 ｋＡＢ ＝ ４－２ －２ｔ－４－（－ｔ－３）＝－ ２ ｔ＋１， ｋＣＤ ＝ ３ｔ＋２－ｔ ３－（－ｔ）＝ ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ， 因为ＡＢ⊥ＣＤ，所以ｋＡＢ·ｋＣＤ ＝－１， 即 － ２ｔ＋１· ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ＝－１，解得ｔ＝１， 综上，ｔ的值为１或 －１． １８．解：（１）设ＡＢ边的垂直平分线所在的直线为ｌ， 由题可知ｋＡＢ ＝ ５－３ ２－１＝２，则ｋｌ＝－ １ ２， 又可知ＡＢ (的中点坐标为 ３２， )４ ， 所以ｌ的方程为ｙ－４＝－ (１２ ｘ－ )３２ ， 即ｙ＝－１２ｘ＋ １９ ４． （２）设Ｂ关于直线ｘ－ｙ＋３＝０的对称点Ｍ的坐标为（ａ，ｂ）， 则 ｂ－３ ａ－１＝－１， １＋ａ ２ － ３＋ｂ ２ ＋３＝０ { ，解得 ａ＝０，ｂ＝４{ ，所以Ｍ（０，４）， 由题可知Ａ，Ｍ两点都在直线ＡＣ上， 所以直线ＡＣ的斜率为５－４２－０＝ １ ２， 所以直线ＡＣ的方程为ｙ－４＝ １２（ｘ－０）， 所以ＡＣ所在直线的方程为ｘ－２ｙ＋８＝０． １９．解：显然四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形， 因为ａ＞０，根据等腰梯形的对称性可知：当ｂ＞１或ｂ≤０时 不符合题意，所以０＜ｂ≤１． 当ａ＝ １２，ｂ＝１时，设直线ＥＣ：ｙ＝ １ ２ｘ＋１与ｙ轴的交点 Ｆ（０，１），根据等腰梯形的对称性可知符合题意； 当ａ＞１２，ｂ＝１时，设直线ｙ ＝ａｘ＋１与梯形上、下底分别交于 Ｍ，Ｎ，如图２， 因为三角形 ＭＣＦ与三角形 ＮＥＦ全等， 所以直线ｙ＝ａｘ＋ (１ ａ＞ )１２ 将四边形ＡＢＣＤ分割为面积 相等的两部分； 当０＜ａ＜ １２时，设直线ｙ＝ｂ与ｙ轴交于Ｇ点，与梯形的 两腰交于Ｑ，Ｐ， 由题直线ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ＞０） 将四边形ＡＢＣＤ分割为面积相等 的两部分，则设该直线与梯形的 两腰交于Ｋ，Ｈ．如图３， 可知：直线ＡＤ：ｙ＝ｘ＋４，ＢＣ： ｙ＝４－ｘ， 联立 ｙ＝ｘ＋４， ｙ＝ａｘ＋ｂ{ ，解得 ｘ＝４－ｂａ－１， ｙ＝４ａ－ｂａ－１ { ，即 (Ｋ ４－ｂａ－１，４ａ－ｂａ－ )１ ， 同理可得：Ｑ（ｂ－４，ｂ）， (Ｈ ４－ｂａ＋１，４ａ＋ｂａ＋ )１ ，Ｐ（４－ｂ，ｂ）． 由题意可得：Ｓ梯形ＡＢＰＱ －Ｓ△ＧＱＫ＋Ｓ△ＨＧＰ ＝ １ ２Ｓ梯形ＡＢＣＤ， 即 （８＋８－２ｂ）ｂ ２ － １ ２（４－ｂ (） ｂ－４ａ－ｂａ－ )１ ＋ １２（４－ ｂ (） ４ａ＋ｂａ＋１ )－ｂ ＝６， 整理得ａ２ ＝ｂ ２－８ｂ＋６ －１０ (∈ ０， )１４ ，且０＜ｂ≤１， 解得４－槡１０＜ｂ≤１． 综上所述：ｂ的取值范围是（４－槡１０，１］． 第３期２版 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．（ｘ－２）２＋（ｙ＋１）２ ＝１；　５．４． ６．解：设圆（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝９的圆心为Ｃ， 则Ｃ（３，０），圆的半径为３． 因为Ｐ为弦ＭＮ的中点，所以ｋＣＰ·ｋＭＮ ＝－１． 又ｋＣＰ ＝ １－０ １－３＝－ １ ２，所以ｋＭＮ ＝２． 所以直线ＭＮ的方程为ｙ－１＝２（ｘ－１）， 即２ｘ－ｙ－１＝０． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．ｘ－ｙ＋１＝０；　５．（－∞，－１３）． ６．解：（１）因为ｘ２＋ｙ２ ＝０，所以ｘ＝０且ｙ＝０． 即方程表示一个点（０，０）． （２）原方程可化为（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２ ＝５． 即方程表示圆心为（１，１），半径为槡５的圆． （３）原方程可化为（ｘ＋ａ）２＋（ｙ＋ｂ）２ ＝ａ２＋ｂ２， 当ａ＝ｂ＝０时，方程表示一个点（０，０）， 当ａ２＋ｂ２≠ ０时，方程表示圆心为（－ａ，－ｂ），半径为 ａ２＋ｂ槡 ２的圆． 第３期３，４版 圆的标准方程与一般方程同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＡＤＣ　５～８　ＢＣＢＡ 提示： １．方程ｘ２＋ｙ２－６ｘ＝０可化为（ｘ－３）２＋ｙ２＝９，所以圆心 坐标为（３，０），半径为槡９＝３． ２．由题意知动点Ｐ的轨迹是以（１，３）为圆心，２为半径的圆， 结合图形可知该圆经过第一、二象限． ３．因为以Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）为直径的两端点的圆的方程 为（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０， 所以有（ｘ＋１）（ｘ－５）＋（ｙ－２）（ｙ＋６）＝０（ｘ２－４ｘ）＋ （ｙ２＋４ｙ）－１７＝０（ｘ－２）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． ４．由题意知Ｃ（６，－８），｜ＯＣ｜＝ ６２＋（－８）槡 ２ ＝１０．所以 以ＯＣ为直径的圆的半径为５，圆心为（３，－４），故所求圆的方程 为（ｘ－３）２＋（ｙ＋４）２ ＝２５． ５．把原圆的方程写成标准方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝１０， 由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝ｒ２， 把ｘ＝１，ｙ＝－１代入所设方程，得（１－２）２＋（－１＋３）２＝ｒ２， 所以ｒ２＝５，所以所求的圆的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝５，化 简为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋６ｙ＋８＝０． ６．由题意知，满足条件的点Ｐ在平面内所组成的图形的面积 是以６为半径的圆的面积减去以２为半径的圆的面积，即３２π． ７．（３λ＋１）ｘ＋（２λ＋１）ｙ＝５λ＋２整理为（３ｘ＋２ｙ－５）λ＋ ｘ＋ｙ－２＝０， 令 ３ｘ＋２ｙ－５＝０， ｘ＋ｙ－２＝０{ ， 解得 ｘ＝１， ｙ＝１{ ， 所以定点Ｐ的坐标为Ｐ（１，１）， 代入圆的方程中（１＋２）２＋（１＋ １）２ ＞４，所以Ｐ（１，１）在圆外． 设圆Ｃ的半径为ｒ＝２，所以｜ＭＰ｜ 的最大值应该为｜ＰＣ｜＋ｒ（如图１）， 又｜ＰＣ｜＝ （－２－１）２＋（－１－１）槡 ２ ＝槡１３， 所以｜ＭＰ｜的最大值为槡１３＋２． ８．由题易得，Ｐ在两圆外，则｜ＰＭ｜的最小值为｜ＰＣ１｜－１， 同理｜ＰＮ｜的最小值为｜ＰＣ２｜－３，则｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜的最小值 为｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜－４．作 Ｃ１（２，３）关于 ｘ轴的对称点 Ｃ′１（２， －３）（图略），所以｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜＝｜ＰＣ′１｜＋｜ＰＣ２｜≥｜Ｃ′１Ｃ２｜＝ 槡５２（当且仅当Ｃ′１，Ｐ，Ｃ２三点共线时，｜ＰＣ′１｜＋｜ＰＣ２｜取最小值）， 即（｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜）ｍｉｎ＝（｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜）ｍｉｎ－４＝ 槡５２－４． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．（Ａ）中，由ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ－４＝０， 得（ｘ－１）２＋（ｙ＋２）２ ＝９， 所以圆Ｃ的半径为３，其面积为π·３２ ＝９π，正确； （Ｂ）中，将ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０化为标准方程为 ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝１，故圆心为（０，１），错误； （Ｃ）中，圆心坐标为（－１，－１）， ｜ＡＢ｜＝ ４＋槡 １６＝ 槡２５，ｒ＝槡５， 所以以线段ＡＢ为直径的圆的方程为 （ｘ＋１）２＋（ｙ＋１）２ ＝５，正确； （Ｄ）中，由圆Ｃ：（ｘ－２）２＋（ｙ＋４）２ ＝５， 可得圆Ｃ的圆心坐标为（２，－４），半径为槡５， 则｜ＯＣ｜＝ ２２＋（－４）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以｜ＰＯ｜的最小值为｜ＯＣ｜－槡５＝槡５，错误． １０．依题意，１２ＡＢ·ＡＢ·ｓｉｎ π ３ ＝ 槡３ ４ＡＢ ２ ＝ 槡１２３， 解得ＡＢ＝ 槡４３．设ＡＢ边的中点为Ｄ， 则点Ｍ在ＣＤ上，且ＤＢ＝ 槡４３２ ＝ 槡２３， 且ＤＭ＝２，点Ｎ在以Ｍ为圆心，１为半径的圆上， →ＮＡ·→  ＮＢ＝（→ →ＮＤ＋ＤＡ）·（→ →  ＮＤ＋ＤＢ） ＝（→ＮＤ）２－（→  ＤＢ）２ →＝｜ＮＤ｜２－１２． 结合图形２可知 →｜ＮＤ｜ｍｉｎ＝２－１＝ １， →｜ＮＤ｜ｍａｘ＝２＋１＝３， 故→ＮＡ·→  ＮＢ∈［－１１，－３］． １１．选项（Ａ）：设ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ， 因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）３＋（－ｘ）＝－ｘ３－ｘ＝－ｆ（ｘ）， 所以函数ｙ＝ｘ３＋ｘ是奇函数，它的图象将圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝１ 的周长与面积分别等分，如图３所示， 所以函数ｙ＝ｘ３＋ｘ是圆Ｏ的一个太极函数，故（Ａ）正确； 选项（Ｃ）：如图４所示：函数ｙ＝ｇ（ｘ）是偶函数，ｙ＝ｇ（ｘ）也 是圆Ｏ的一个太极函数，故（Ｃ）不正确； 选项（Ｂ）：根据选项（Ｃ）的分析，圆 Ｏ的太极函数可以是偶 函数不一定关于原点对称，故（Ｂ）不正确； 选项（Ｄ）：因为ｙ＝ｓｉｎｘ是 奇函数，所以它的图象将圆 ｘ２ ＋ｙ２ ＝１的周长与面积同时等 分，如图５所示，因此函数 ｙ＝ ｓｉｎｘ是圆 Ｏ的一个太极函数， 故（Ｄ）正确． 三、填空题 １２．（－２，１）；　１３．（－∞，１）； １４．（ｘ－４）２＋（ｙ－２）２＝１０（去掉（３，５），（５，－１）两点）． 提示； １２．由题意得ｍ２＋１＝３ｍ－１，解得ｍ＝１或２． 当ｍ＝１时，方程为ｘ２＋ｙ２＋４ｘ－２ｙ＋５２ ＝０，即（ｘ＋２） ２ ＋（ｙ－１）２ ＝ ５２，圆心为（－２，１）； 当ｍ＝２时，方程为５ｘ２＋５ｙ２＋８ｘ－４ｙ＋１０＝０， (即 ｘ＋ )４５ ２ (＋ ｙ－ )２５ ２ ＝－６５，不表示圆． 故圆心坐标是（－２，１）． １３．圆的方程变为（ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２ ＝５－ａ， 所以其圆心为（－１，２），且５－ａ＞０，即ａ＜５． 又圆关于直线ｙ＝２ｘ＋ｂ成轴对称， 所以２＝－２＋ｂ，所以ｂ＝４． 所以ａ－ｂ＝ａ－４＜１．故答案为（－∞，１）． １４．设Ｃ（ｘ，ｙ），｜ＡＢ｜＝ （３－４）２＋（５－２）槡 ２ ＝槡１０， 因为△ＡＢＣ是以ＢＣ为底边的等腰三角形， 所以｜ＣＡ｜＝｜ＡＢ｜＝槡１０， 即点Ｃ的轨迹是以Ａ为圆心，槡１０为半径的圆． 又点Ａ，Ｂ，Ｃ构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点 Ｂ（３，５）及点 Ｂ关于点 Ａ对称的点（５， －１），所以点Ｃ的轨迹方程为（ｘ－４）２＋（ｙ－２）２＝１０（去掉（３， ５），（５，－１）两点）． 四、解答题 １５．解：设圆心坐标为（ａ，－２ａ＋３），则圆的半径 ｒ＝ （ａ－０）２＋（－２ａ＋３－０）槡 ２ ＝ ５ａ２－１２ａ＋槡 ９＝ (５ ａ－ )６５ ２ ＋槡 ９ ５．当ａ＝ ６ ５时，ｒｍｉｎ＝ 槡３５ ５． (故所求圆的方程为 ｘ－ )６５ ２ (＋ ｙ－ )３５ ２ ＝ ９５． １６．解：如图６，以ＡＢ所在直线为ｘ轴， 弦ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直角 坐标系．设圆弧的圆心为Ｃ，连接ＡＣ， 则ＡＯ＝ １２ｌ＝６， 所 以 ＯＣ ＝ ＡＣ２－ＯＡ槡 ２ ＝ ２９２－６槡 ２≈２８３７３， 即圆心的坐标为Ｃ（０，－２８３７３）， 所以圆弧 ) ＡＢ的方程为ｘ２＋（ｙ＋２８３７３）２＝２９２（－６≤ｘ≤ ６，ｙ≥０）． ! ! ! " !"#$ !"#$ !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 !! " ! " #$" $! # # " ! $! $ $%&%!&' ! & ' ! ! $ ! # & ( ) ! ! $ * # + , ! - ( . " / &01 & ! # $ * # 2 ( . & ) 3 4 ! " 5 *.2 3 ) ( ! " $# &0$ # 6$ & ! # $# & &07!$" ! ( $ # &0)*+ $ & ! , ! - ( 8 * $ # 2 &