1.1.4 两条直线的平行与垂直(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦“两条直线的平行与垂直”，核心内容为根据斜率判定直线平行或垂直。课堂通过飞机拉烟情境提问，引导学生从倾斜角关系切入，衔接倾斜角和斜率的前期知识，搭建从具体现象到抽象判定的学习支架。 资料亮点在于情境化问题导入培养数学眼光，问题链设计与一题多解发展数学思维，分层练习（自我诊断、跟踪训练等）结合综合应用提升数学语言表达能力，助力学生掌握判定方法，提升数学运算与逻辑推理素养，适合教师引导学生自主探究与巩固。

1.4　两条直线的平行与垂直 课标要求 能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算）. 　　 　　如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？ 【问题】　（1）在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？ （2）若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两条直线平行与垂直 1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2（其中b1≠b2）. （1）l1∥l2⇔　　　　； （2）l1⊥l2⇔　　　　. 2.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为　　　　的直线，从而它们互相　　　　　　. 3.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则　　　　. 【想一想】 1.两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 2.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ 3.对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝（A1，B1），n2＝（A2，B2），能利用它的法向量判断l1和l2平行或垂直吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.（　　） （2）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.（　　） （3）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.（　　） 2.（2026·东营月考）两条直线x＋2y＋m＝0和2x－y＋n＝0的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.不平行也不垂直 D.与m，n的取值有关 3.与直线x－2y－1＝0平行，且经过点（2，－3）的直线的方程为（　　） A.x－2y＋1＝0 B.x＋y＋5＝0 C.x＋y－5＝0 D.x－2y－8＝0 4.过点P（1，－1）且垂直于l：x－2y＋1＝0的直线方程为（　　） A.x＋2y＋1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.x－2y－3＝0 D.2x－y＋3＝0 题型一　两条直线平行、垂直的判定 判断下列各组直线平行还是垂直： （1）l1：y＋2＝3（x－1），l2：y＝3x＋2； 尝试解答 （2）l1：y＝－5x＋2，l2：y＝x－1. 尝试解答 通性通法 1.判断两条不重合直线是否平行的方法 在判断两条不重合的直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在：若存在且相等，则两直线平行；若斜率都不存在，则两直线平行. 2.判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于－1，但应注意当有一条直线与x轴垂直（斜率不存在），另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 判断下列各组直线的位置关系（“垂直”“平行”或“既不垂直也不平行”）. （1）l1：y＝－2x＋1与l2：x＋2y－1＝0； （2）l1：y＝x＋3与l2：x－y－4＝0； （3）l1：＋＝1与l2：2x－3y＋1＝0； （4）l1：2x－5＝0与l2：3y－1＝0. 题型二　利用两条直线平行、垂直的条件求直线方程 〔一题多解〕已知直线l：x－2y－2＝0，则过点（0，1）与l平行的直线的方程是　　　　；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程是　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； （2）可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由直线所经过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所经过的点确定C2. 1.〔一题多解〕已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l'的方程： （1）经过点（－1，3），且与l平行； （2）经过点（－1，3），且与l垂直. 2.〔一题多解〕已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的a的值. （1）l1∥l2； （2）l1⊥l2. 题型三　直线平行与垂直的综合应用 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），R（－2t，2），其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状. 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）将本例改为已知“A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0），顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状.” 2.（变设问）将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），试求顶点R的坐标.” 通性通法 1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 2.判定几何图形形状的注意点 （1）在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标； （2）证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况； （3）判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况. 1.以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线的斜截式方程为（　　） A.y＝－3x－4 B.y＝3x－4 C.y＝3x＋4 D.y＝－3x＋4 2.已知直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），则a＝　　　　，b＝　　　　. 1.直线x＋ay－7＝0与直线（a＋1）x＋2y－14＝0平行，则a的值是（　　） A.1 B.－2 C.1或－2 D.－1或2 2.下列条件中，使得l1⊥l2的是（　　） ①l1的斜率为－，l2经过点A（1，1），B； ②l1的倾斜角为45°，l2经过点P（－2，－1），Q（3，－5）； ③l1经过点M（1，0），N（4，－5），l2经过点R（－6，0），S（－1，3）. A.①②　 B.①③ C.②③　 D.①②③ 3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0（m∈R）的两个根，则l1与l2的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 4.（2026·梅州月考）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝　　　　；当l1∥l2时，m＝　　　　. 完成课后作业　第一章　§1　1.4 答案 1.4　两条直线的平行与垂直 【基础落实】 新知初探 知识点 1.（1）k1＝k2　（2）k1k2＝－1 2.　平行或重合 3.l1⊥l2 想一想 1.提示：不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在. 2.提示：l1∥l2时，＝且≠，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1；l1⊥l2时，（－）（－）＝－1，即A1A2＋B1B2＝0. 3.提示：能.当n1∥n2时，l1∥l2；当n1⊥n2（n1·n2＝0）时，l1⊥l2. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.B　因为A1A2＋B1B2＝1×2－2×1＝0，所以两直线垂直. 3.D　与直线x－2y－1＝0平行，且经过点（2，－3）的直线的方程为y＋3＝（x－2），整理得x－2y－8＝0.故选D. 4.B　直线l：x－2y＋1＝0的斜率为k＝，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为－2，于是有y＋1＝－2（x－1），即2x＋y－1＝0，所以所求直线方程为2x＋y－1＝0.故选B. 【典例研析】 【例1】　解：（1）设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 在y轴上的截距分别为b1，b2， 直线l1的方程可化为y＝3x－5， 所以k1＝k2＝3，b1≠b2，故l1∥l2. （2）设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则由l1，l2的方程可知k1＝－5，k2＝， 因为k1k2＝（－5）×＝－1，所以l1⊥l2. 跟踪训练 解：（1）设l1与l2的斜率分别为k1与k2， 则k1＝－2，k2＝－，故k1≠k2且k1k2≠－1， 所以l1与l2既不垂直也不平行. （2）设l1与l2的斜率分别为k1与k2，在y轴上的截距分别为b1，b2， 由题意知k1＝1，k2＝1，故k1＝k2， 又因为b1≠b2，故l1∥l2. （3）设l1与l2的斜率分别为k1与k2， l1与l2的方程可化为l1：y＝－x＋3，l2：y＝x＋. 所以k1·k2＝×＝－1，故l1⊥l2. （4）l1与l2的方程可化为l1：x＝， l2：y＝. 因为l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故l1⊥l2. 【例2】　x－2y＋2＝0　2x＋y－1＝0 解析：法一　直线l：x－2y－2＝0的斜率为，所以平行于直线l的直线的斜率等于，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y＝x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2＝0.垂直于直线l的直线的斜率为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3＝－2（x＋1），所求直线方程为2x＋y－1＝0. 法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c＝0（c≠－2），又因为直线经过点（0，1），得c＝2，所求直线方程为x－2y＋2＝0.设垂直于直线l的直线方程为2x＋y＋m＝0，又因为直线经过点（－1，3），得m＝－1，所求直线方程为2x＋y－1＝0. 跟踪训练 1.解：法一　l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. （1）∵l'与l平行，∴l'的斜率为－. 又∵l'经过点（－1，3）， ∴所求方程为y－3＝－（x＋1）， 即3x＋4y－9＝0. （2）∵l'与l垂直，∴l'的斜率为， 又∵l'经过点（－1，3）， ∴所求方程为y－3＝（x＋1）， 即4x－3y＋13＝0. 法二　（1）由l'与l平行，可设l'的方程为3x＋4y＋m＝0（m≠－12）. 将点（－1，3）代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. （2）由l'与l垂直，可设l'的方程为4x－3y＋n＝0. 将（－1，3）代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 2.解：法一　由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3， A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a. （1）当l1∥l2时， 解得a＝2. （2）当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0， 即3a＋2（a＋1）＝0，解得a＝－. 法二　直线l1可化为y＝－x＋. （1）当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行； 当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋， ∵l1∥l2，∴－＝－且≠， 解得a＝2. （2）当a＝－1时，l2：x＝－与l1不垂直； 当a≠－1时，l2：y＝－x＋， ∵l1⊥l2，∴－·＝－1， 解得a＝－. 【例3】　解：由斜率公式得kOP＝＝t，kQR＝＝＝t，kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形. 母题探究 1.解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图， 由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行. 又因为kAB·kAD＝×（－3）＝－1， 所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形. 2.解：因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R（x，y）， 则由中点坐标公式知 解得所以R点的坐标是（－2t，2）. 跟踪训练 1.A　因为直线AB的斜率kAB＝＝，则垂直平分线的斜率k＝－3，又因为线段AB的中点为M（－2，2），所以所求直线方程为y－2＝－3（x＋2），即y＝－3x－4.故选A. 2.－　2　解析：由直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），得解得 随堂检测 1.B　由已知，得a（a＋1）－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 2.B　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，易得①③正确，故选B. 3.B　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×（－3）＝m2＋36＞0恒成立.故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B. 4.0　1　解析：若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，则m2－1＝0，且（－1－m）×1－m（－2m－2）≠0，解得m＝1. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $