1.1.5&1.1.6 第2课时 点到直线及两条平行直线间的距离公式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦点到直线及平行直线距离公式，以题载法构建“公式应用-几何转化-综合迁移”的方法体系，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|直接套用公式、平行条件判断、分类讨论斜率|从点到直线距离公式到平行直线距离公式的推导应用| |综合拓展|9-14题|对称点转化、几何意义求最值、存在性问题论证|结合图形性质实现代数运算与几何直观的融合，培养推理能力与创新意识|

第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式 1.已知点P（x0，y0）到直线x=1的距离为1，则x0=（　　） A．0或2　 B．1或2 C．0　 D．2 2.（2026•温州月考）两条平行直线2x－y＋3=0和ax－3y＋4=0间的距离为d，则（　　） A．a=6，d=　 B．a=－6，d= C．a=－6，d=　 D．a=6，d= 3.点P（x，y）在直线x＋y=4上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（　　） A．　 B． C.2　 D． 4.已知两条平行直线l1，l2分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是（　　） A．（0，＋∞）　 B．［0，5］ C．（0，5］　 D．［0， ］ 5.〔多选〕已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（　　） A．y=x＋1　 B．y=2 C．y=x　 D．y=2x＋1 6.〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1=0和l2：4x＋6y－9=0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　） A．2x＋3y－8=0　 B．4x＋6y＋5=0 C．6x＋9y－10=0　 D．12x＋18y－13=0 7.经过点P（－3，4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为　　　　　　　　． 8.点（0，－1）到直线y=k（x＋2）的距离的最大值是　　　　． 9.如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是　　　　． 10.（2026•丽水月考）已知直线l1经过点P（0，1），直线l2经过点Q（5，0），且l1∥l2. （1）求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程； （2）若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程． 11.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7=0和l2：x＋y－5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（　　） A．3　 B．2 C．3　 D．4 12.〔多选〕若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1=0与l2：x－y＋3=0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角可以是（　　） A.15°　　 B.45° C.60°　　 D.75° 13.若直线l1：y－2=（k－1）x和直线l2关于直线y=x＋1对称，则直线l2恒过定点　　　　． 14.已知直线l：x－y＋3=0，一束光线从点A（1，2）射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A． （1）试判断由此得到的△ABC的个数； （2）求直线BC的方程． 第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式 1.A　因为点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，所以｜x0－1｜＝1，解得x0＝0或x0＝2.故选A. 2.D　根据两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0，可得＝≠.可得a＝6.可得两条平行直线为6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，故它们间的距离d＝＝. 3.C　直线x＋y＝4即x＋y－4＝0，｜OP｜的最小值即点O到直线x＋y－4＝0的距离，为＝＝2. 4.C　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5. 5.BC　A中，点M（5，0）到直线y＝x＋1的距离为d1＝＝3＞4，故不是“切割型直线”；对于B，点M（5，0）到直线y＝2的距离d2＝2＜4，故B是“切割型直线”；对于C，点M（5，0）到直线y＝x的距离d3＝＝4，故C是“切割型直线”；对于D，点M（5，0）到直线y＝2x＋1的距离d4＝＝＞4，故D不是“切割型直线”. 6.BD　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D. 7.x＝－3或7x＋24y－75＝0 解析：（1）当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意； （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 8.　解析：因为直线y＝k（x＋2）恒过点A（－2，0），记B（0，－1），直线y＝k（x＋2）为直线l，则当AB⊥l时，此时点B（0，－1）到直线y＝k（x＋2）的距离最大，所以点（0，－1）到直线y＝k（x＋2）距离的最大值为｜AB｜＝＝. 9.2　解析：由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的对称点为C（－2，0），连接MD，NC，易知｜PM｜＝｜MD｜，｜PN｜＝｜NC｜，所以｜PM｜＋｜MN｜＋｜NP｜＝｜MD｜＋｜MN｜＋｜NC｜＝｜CD｜，故光线所经过的路程为｜CD｜＝2. 10.解：（1）连接PQ（图略），则当直线l1，l2均与直线PQ垂直时，l1与l2之间的距离最大. 因为直线PQ的斜率为＝－，所以此时直线l1与l2的斜率均为5，l1与l2之间的最大距离为＝， 直线l1的方程为y＝5x＋1，即5x－y＋1＝0， 直线l2的方程为y＝5（x－5），即5x－y－25＝0. （2）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，则l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2的方程为y＝k（x－5），即kx－y－5k＝0. 由题意得＝5，解得k＝， 所以直线l1的方程为y＝x＋1，即12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为y＝（x－5），即12x－5y－60＝0. ②若l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，符合题意. 综上所述，两直线的方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 11.A　设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝，所以｜m＋7｜＝｜m＋5｜，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为＝3.故选A. 12.AD　记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1，l2间的距离等于＝.又直线m被直线l1，l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于＝，所以直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，所以θ＝15°或θ＝75°，故选A、D. 13.（1，1）　解析：因为直线l1：y－2＝（k－1）x过定点（0，2），设点（0，2）关于直线y＝x＋1对称的点为（x0，y0），则＝－1且＝＋1，解得x0＝1，y0＝1.故直线l2恒过定点（1，1）. 14.解：（1）如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'（－3，m＋3）. 根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝·（x－m）， 由得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1）， 由 得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. （2）由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $